第十一講

20世紀數(shù)學概觀I

國際數(shù)學家大會純粹數(shù)學的發(fā)展數(shù)學基礎大論戰(zhàn)林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會

克萊因(德,1849-1925):數(shù)學現(xiàn)狀世界哥倫布博覽會:芝加哥18931897年國際數(shù)學家大會

龐加萊(法，1854-1912):關(guān)于純分析和數(shù)學物理的報告具有極高才智的人物在過去開始的事業(yè)，我們今天必須通過團結(jié)一致的努力和合作以求其實現(xiàn)。

林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會瑞士蘇黎世工業(yè)大學（1897年ICM在此舉行）林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會

揭開隱藏在未來之中的面紗,探索未來世紀的發(fā)展前景,誰不高興?我們下一代的主流數(shù)學將追求怎樣的特殊目標?在廣闊而豐富的數(shù)學思想領(lǐng)域,新世紀將會帶來怎樣的新方法和新成就?

23個數(shù)學問題外爾(德,1885-1955):希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手,他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠,跟著他跳進了數(shù)學的深河。魏伊(法,1906-1998):希爾伯特問題就是一張航圖,過去50年間,數(shù)學家總是按照這張航圖來衡量他們的進步。

2000年國際數(shù)學年

希爾伯特(德,1862－1943)：數(shù)學問題1900ICM

希爾伯特（德，1862－1943年）1880年柯尼斯堡大學，1885年博士，1893年教授

1895年哥廷根大學教授，1900年發(fā)表“數(shù)學問題”的著名演講，1910年鮑約獎，1930年退休不變量理論（1885－1893年）、代數(shù)數(shù)域理論（1893－1898年）、幾何基礎（1898－1902年）、變分法與積分方程（1899－1912年）、物理學（1912－1922年）、一般數(shù)學基礎（1917年以后）柯朗（德，1888－1972年）：希爾伯特那有感染力的樂觀主義，即使到今天也在數(shù)學中保持著他的生命力。唯有希爾伯特的精神，才會引導數(shù)學繼往開來，不斷成功。

林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會莫斯科1966赫爾辛基1978華沙1983京都1990希爾伯特：我們必須知道，我們必將知道。

林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會北京2002林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會馬德里2006林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I菲爾茲獎(1936-)

菲爾茲(加,1863-1932)

1924年多倫多ICM主席，強調(diào)數(shù)學發(fā)展的國際性

1932年蘇黎世ICM通過

1936年奧斯陸ICM頒發(fā)

1974年溫哥華ICM規(guī)定只授予40歲以下的數(shù)學家

1936-2006年,49人獲獎國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I菲爾茲獎(1936-)菲爾茲獎章(正面)(超越人類極限,掌握宇宙世界)菲爾茲獎章(反面)(全世界數(shù)學家聚會共同嘉獎對知識的卓越貢獻)國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I菲爾茲獎(1936-)1936年阿爾福斯(芬-美,1907-1996)關(guān)于復分析獲獎1936年道格拉斯(美,1897-1965)關(guān)于極小曲面獲獎國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I

1983年丘成桐(中-美,1949-)關(guān)于微分幾何獲獎菲爾茲獎(1936-)國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I2002年ICM江澤民主席與獲獎者

菲爾茲獎(1936-)國際數(shù)學家大會林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I菲爾茲獎(1936-)國際數(shù)學家大會

2006年陶哲軒(澳,1975-)關(guān)于偏微分方程、組合學、調(diào)和分析和加性數(shù)論的貢獻獲獎1983年7歲的陶哲軒和10年級學生一起參加數(shù)學考試林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I國際數(shù)學家大會菲爾茲獎(1936-)2006年8月23日央視報道林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I結(jié)構(gòu)數(shù)學與統(tǒng)一的數(shù)學20世紀的數(shù)學大致可以分成兩部分。20世紀前半葉被我稱為“專門化的時代”，這是一個希爾伯特的處理辦法大行其道的時代，即努力進行形式化，仔細地定義各種事物，并在每一個領(lǐng)域中貫徹始終。布爾巴基的名字是與這種趨勢聯(lián)系在一起的。在這種趨勢下，人們把注意力都集中于在特定的時期從特定的代數(shù)系統(tǒng)或者其它系統(tǒng)能獲得什么。20世紀后半葉更多地被我稱為“統(tǒng)一的時代”，在這個時代，各個領(lǐng)域的界限被打破了，各種技術(shù)可以從一個領(lǐng)域應用到另外一個領(lǐng)域，并且事物在很大程度上變得越來越有交叉性。我想這是一種過于簡單的說法，但是我認為這簡單總結(jié)了我們看到的20世紀數(shù)學的一些方面。《20世紀的數(shù)學》(2000年10月)阿蒂亞(英,1929－)1966年獲得菲爾茲獎2004年獲得阿貝爾獎林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I更高度的抽象集合論觀點與公理化方法集合對象的抽象推動數(shù)學研究的工具

20世紀數(shù)學抽象的范式

實變函數(shù)泛函分析抽象代數(shù)拓撲學概率論純粹數(shù)學的發(fā)展林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I實變函數(shù)論

分析的“分水嶺”

1930年尼古丁(波,1887-1974)的抽象測度論勒貝格1902年勒貝格(法,1875-1941)的《積分,長度與面積》建立了測度論和積分論波萊爾1898年波萊爾(法,1871-1956)的測度論1854年黎曼(德,1826-1866)定義了黎曼積分林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I泛函分析

創(chuàng)始時期(19世紀80年代至20世紀20年代):1906年弗雷歇(法,1878－1973),1922年列維(法,1886-1971)出版《泛函分析》

發(fā)展時期(20世紀20至40年代):1932年巴拿赫(波,1892-1945)的《線性算子論》,1940年蓋爾范德(蘇,1913-,W)的巴拿赫代數(shù)理論成熟時期(20世紀40年代起):施瓦茲(法,1915-2002,F)的廣義函數(shù)理論,格羅登迪克(法,1928-,F)的核空間理論巴拿赫

巴拿赫(波,1892-1945):1910年中學畢業(yè)后自修數(shù)學,后就讀于利沃夫工學院,1917年發(fā)表關(guān)于傅里葉級數(shù)收斂的論文

1920年利沃夫工學院助教,取得博士學位

1927年利沃夫工學院教授,形成利沃夫?qū)W派

1929年創(chuàng)辦《數(shù)學研究》,1932年出版《線性算子論》1936年奧斯陸ICM上作大會報告,1939年波蘭數(shù)學會主席,1939-1941年利沃夫大學校長德國占領(lǐng)波蘭期間,寄生蟲飼養(yǎng)員,后得胃癌去逝林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I抽象代數(shù)希爾伯特(德,1862-1943)的抽象思維及公理方法的產(chǎn)物經(jīng)典代數(shù)學:求解代數(shù)方程和代數(shù)方程組抽象代數(shù)學:公理化方法研究具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合創(chuàng)立者:諾特(德,1882-1935)與阿廷(奧,1898-1962)范?德?瓦爾登(荷,1903-1996)《近世代數(shù)學》(1930-1931)林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I抽象代數(shù)阿廷范?德?瓦爾登諾特

諾特(德,1882-1935):父親是埃爾朗根大學數(shù)學教授,1902年進入埃爾朗根大學,1903年在哥廷根大學學習,1907年通過博士論文答辯,從事不變量研究

1916-1933年在哥廷根大學,開創(chuàng)“近世代數(shù)”,1932年蘇黎世ICM上作一小時報告

1933年9月到美國賓州布林莫爾女子學院“根據(jù)現(xiàn)在的權(quán)威數(shù)學家們的判斷,諾特小姐是自婦女開始受到高等教育以來有過的最杰出的富有創(chuàng)造性的數(shù)學天才.在最有天賦的數(shù)學家辛勤研究了幾個世紀的代數(shù)學領(lǐng)域中,她發(fā)現(xiàn)了一套方法,當前一代年輕數(shù)學家的成長已經(jīng)證明了這套方法的巨大意義.”(愛因斯坦于《紐約時報》)林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I拓撲學七橋問題多面體1752年歐拉示性數(shù)V-E+F=2李斯廷1847年李斯廷(德,1808-1882)《拓撲學引論》歐拉1736年歐拉(瑞,1707-1783)解決哥尼斯堡七橋問題——形成林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I1736年歐拉(瑞,1707-1783)解決哥尼斯堡七橋問題拓撲學——形成林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I拓撲學——形成

默比烏斯

1858年默比烏斯(德,1790-1868)帶1874年克萊因(德,1849-1925)瓶克萊因

1895年龐加萊(法,1854-1912)發(fā)表《位置分析》龐加萊林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I拓撲學——默比烏斯帶林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I拓撲學——克萊因瓶林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I拓撲學——發(fā)展豪斯道夫

1914年豪斯道夫(德,1868-1942)《集合論綱要》布勞威爾萊夫謝茨

布勞威爾(荷,1881-1966)和萊夫謝茨(俄-美,1884-1972)的不動點定理E嘉當吳文俊

拓撲不變量林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I來源概率論1657年惠更斯(荷,1629-1695)在“論賭博中的機會”中提出數(shù)學期望

研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支帕斯卡(法,1962)惠更斯(荷蘭,1929)

賭博問題－－1654年帕斯卡(法,1623-1662)與費馬(法,1601-1665)通信討論“點問題”林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I概率論

拉普拉斯(法,1749-1827):1774年提出概率的嚴格定義,1812年出版《分析概率論》,嚴格證明了棣莫弗-拉普拉斯積分極限定理(中心極限定理),研究了統(tǒng)計問題

雅格布?伯努利:1713年出版《猜度術(shù)》,伯努利大數(shù)定律

棣莫弗(法,1667-1754):1738年出版《機會的學說》,發(fā)現(xiàn)二項分布的極限形式為正態(tài)分布林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I概率論柯爾莫哥洛夫

柯爾莫哥洛夫(蘇,1903-1987)《概率論基本概念》(1933)20世紀40年代后:法國學派、蘇聯(lián)學派、日本學派、美國學派

柯爾莫哥洛夫:幼年由姨媽撫育

1920年進入莫斯科大學,1922年成為魯金（蘇，1883－1950）的學生,1929年研究生畢業(yè)

1931年任莫斯科大學教授,1933年任數(shù)學所所長,1939年當選蘇聯(lián)科學院院士并任科學院斯捷克洛夫數(shù)學所所長,1980年獲得沃爾夫獎研究工作幾乎遍及一切數(shù)學領(lǐng)域,主要有調(diào)和分析、概率論、遍歷論和動力系統(tǒng),發(fā)表學術(shù)論文488篇

20世紀蘇聯(lián)最有影響的數(shù)學家、20世紀為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學家之一

林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)理邏輯弗雷格(德,1848-1925)1879年《概念語言》提供數(shù)理邏輯的體系,一切數(shù)學可以化歸為邏輯,成為數(shù)理邏輯和邏輯主義的奠基人和創(chuàng)始人

1884年《算術(shù)基礎》作為邏輯的延展建立數(shù)學,從邏輯推出算術(shù)由于羅素(英,1872-1970)的工作,弗雷格的工作受到重視邏輯代數(shù)

施羅德(德,1841-1902)《邏輯代數(shù)講義》(1890-1905)把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰

施羅德數(shù)學基礎林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)理邏輯皮亞諾(意,1858-1932)

以簡明的符號及公理體系為數(shù)理邏輯和數(shù)學基礎的研究開創(chuàng)了新局面

1889年《算術(shù)原理新方法》完成了整數(shù)的公理化處理,給出了自然數(shù)公理

1895-1908年5卷本的《數(shù)學公式匯編》試圖從邏輯記號的若干基本公理出發(fā),建立整個數(shù)學體系,希望將數(shù)理邏輯的概念應用在數(shù)學各分支的所有已知結(jié)果上對羅素(英,1872-1970)及布爾巴基學派的工作產(chǎn)生影響數(shù)學基礎林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)學基礎邏輯主義羅素(英,1872-1970)受弗雷格(德,1848-1925)和皮亞諾(意,1858-1932)的影響1903年《數(shù)學的原理》,1910－1913年《數(shù)學原理》

數(shù)學就是邏輯

1920年來中國講學一年,1950年獲得諾貝爾文學獎

直覺主義

布勞威爾(荷,1881-1966)

受龐加萊(法,1854-1912)的影響

1907年《論數(shù)學基礎》

數(shù)學獨立于邏輯，數(shù)學的基礎是“原始知覺”構(gòu)造主義林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)學基礎形式主義綱領(lǐng)1900年希爾伯特問題:連續(xù)統(tǒng)假設；算術(shù)公理的相容性

1922年提出希爾伯特綱領(lǐng):將數(shù)學形式化,構(gòu)成形式系統(tǒng),通過有限的證明方法,借助超限公理,導出無矛盾的數(shù)學系統(tǒng)

1928年提出4個實施步驟:希爾伯特(德,1862-1943)

分析的無矛盾性選擇公理的無矛盾性算術(shù)及分析形式的完全性一階謂詞邏輯的完全性林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)學基礎《數(shù)學原理》《論數(shù)學基礎》《數(shù)理邏輯基礎》林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I1903年羅素悖論.把集合分成兩類：凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合，凡以自身做為元素的集合稱為第二類的集合，每個集合或為第一類集合或為第二類集合．設M表示第一類集合全體所成的集合．若M是第一類集,則M

M,由M的定義,M

M,矛盾;若M是第二類集,則M

M,由M的定義,M

M,矛盾.

數(shù)學基礎公理集合論

康托(德,1845-1918)意識到不加限制地談論“集合的集合”會導致矛盾.1900年巴黎ICM上龐加萊(法,1854-1912)說:絕對的嚴密性已經(jīng)達到了.

集合論矛盾的出現(xiàn)，形成第三次數(shù)學危機，動搖了整個數(shù)學的基礎,導致了策梅羅系統(tǒng)的誕生.羅素(英,1872-1970)

林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I策梅羅(德,1871-1953)數(shù)學基礎公理集合論1963年柯恩(美,1934-2007,F)證明了連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性

哥德爾(奧-美,1906-1978)科恩(美,1934-2007)

公理集合論的主要開創(chuàng)者

1904年發(fā)表“每一集合都能夠被良序地證明”,提出了良序定理,選擇公理

1908年給出策梅羅系統(tǒng)

1921-1923年費蘭克爾(德,1891-1965)提出“替換公理”,1925年馮?諾伊曼(匈-美,1903-1957)提出“正則公理”

1929-1930年策梅羅確定為“策梅羅-費蘭克爾公理系統(tǒng)”(ZF系統(tǒng),ZFC系統(tǒng))1938年哥德爾(奧-美,1906-1978)證明了選擇公理、連續(xù)統(tǒng)假設的相容性林壽數(shù)學史第十一講：20世紀數(shù)學概觀I數(shù)學基礎哥德爾時代哥德爾(奧-美,1906-1978)

亞里士多德、萊布尼茨以來最偉大的邏輯學家數(shù)學家、哲學家

1906－1924