第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解空間向量基本定理及其意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握空間向量的正交分解．(直觀想象)3．掌握在簡單問題中運用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量的方法．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01在平面內(nèi)，任意給定兩個不共線的向量a，b，根據(jù)平面向量基本定理，對于該平面內(nèi)的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得p＝xa＋yb．特別地，當(dāng)a，b為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的向量時，向量p就與坐標(biāo)(x，y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從而將向量運算用坐標(biāo)表示，簡化了向量運算，為研究問題帶來了極大的方便．那么，對于空間向量，有沒有類似平面向量基本定理的結(jié)論呢？如圖所示，設(shè)a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c來表示向量p?知識點1空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________．其中{a，b，c}叫做空間的一個____，a，b，c都叫做基向量．xa＋yb＋zc基底思考

對于基底{a，b，c}，三個基向量a，b，c中能否有一個為0?提示：因為向量0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，因此三個基向量均不為0．提醒

空間中任意三個不共面向量都可作為一組基底．知識點2空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量__________，且長度都為__，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像這樣，把一個空間向量分解為三個_________的向量，叫做把空間向量進行正交分解．兩兩垂直1兩兩垂直1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間向量的基底是唯一的． (

)提示：任意三個不共面向量都可以作為空間的一個基底．(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量． (

)提示：若a，b，c中有一個零向量，則a，b，c三向量共面不能構(gòu)成基底．×√

√√(5)空間的單位正交基底是唯一的． (

)提示：不唯一．(6)單位正交基底中每一個基向量是單位向量． (

)提示：由單位正交基底的定義可知正確．(7)對于單位正交基底{i，j，k}，2j＝0i＋2j＋0k． (

)提示：由向量正交分解知正確．×√√

關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1空間的基底類型2用基底表示空間向量類型3空間向量基本定理的應(yīng)用

反思領(lǐng)悟

基底判斷的基本思路和注意問題(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)注意問題：對于三個向量，若其中存在零向量，則這組向量不能作為基底；若其中存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．[跟進訓(xùn)練]1．若{a，b，c}是空間的一個基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為空間的一個基底？[解]

假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實數(shù)λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．∵{a，b，c}是空間的一個基底，∴a，b，c不共面．

反思領(lǐng)悟

用基底表示向量時：(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進行；(2)若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求．

類型3空間向量基本定理的應(yīng)用考向1

證明空間直線、平面的位置關(guān)系【例3】如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C．

反思領(lǐng)悟

(1)當(dāng)直接證明線線垂直但條件不易利用時，常?？紤]證明兩線段所對應(yīng)的向量的數(shù)量積等于零．利用向量證明垂直的一般方法是把線段轉(zhuǎn)化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算以及數(shù)量積和垂直條件來完成位置關(guān)系的判定．(2)證明直線與直線平行一般轉(zhuǎn)化為向量共線問題，利用向量共線的充要條件證明．[跟進訓(xùn)練]3．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°．求證：BD⊥平面ADC．

[跟進訓(xùn)練]4．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求線段PC的長．

考向3

求兩直線的夾角【例5】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分別為D1C1，C1B1的中點．

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的一個基底的向量組有(

)A．1個

B．2個C．3個

D．0個1234B

[①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作為空間的一個基底；②中，z＝c＋a與向量b，c不共面，可作為空間的一個基底；③中，x，y與a＋b＋c不共面，故②③正確．故選B．]√1234

√1234

√1234

1234

1234

回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．若{a，b，c}是空間的基底，則a，b，c滿足什么條件？提示：a，b，c不共面．2．?dāng)⑹隹臻g向量基本定理的內(nèi)容．提示：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb