微重點2函數(shù)的嵌套與旋轉(zhuǎn)、對稱問題函數(shù)的嵌套與旋轉(zhuǎn)、對稱問題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，主要與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點綜合，考查判斷函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)、求參數(shù)問題，以及求函數(shù)的函數(shù)值、值域等，難度較大，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)．考點一嵌套函數(shù)中的零點問題考向1函數(shù)的零點個數(shù)問題例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋1，x≥0，,－xex，x<0，))函數(shù)g(x)＝f(f(x))－eq\f(1,2)的零點個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1答案D解析令u＝f(x)，令g(x)＝0，則f(u)－eq\f(1,2)＝0，當(dāng)u≥0時，則f(u)＝ln(u＋1)，所以ln(u＋1)＝eq\f(1,2)，所以u＝eq\r(e)－1.當(dāng)u<0時，f(u)＝－ueu，則f′(u)＝－(u＋1)eu，當(dāng)u<－1時，f′(u)>0；當(dāng)－1<u<0時，f′(u)<0.此時，函數(shù)y＝f(u)在u＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝eq\f(1,e)<eq\f(1,2).所以當(dāng)u<0時，f(u)<eq\f(1,2)，則方程f(u)－eq\f(1,2)＝0在u<0時無解．再考慮方程f(x)＝eq\r(e)－1的根的個數(shù)，作出函數(shù)u＝f(x)與u＝eq\r(e)－1的圖象如圖所示，由于eq\r(e)－1>eq\f(1,2)>eq\f(1,e)，所以直線u＝eq\r(e)－1與函數(shù)u＝f(x)的圖象只有一個交點，因此，函數(shù)g(x)只有一個零點．考向2求參數(shù)的取值范圍例2(2022·安康質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－x2－4x－3，x≤0，))若函數(shù)y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6個零點，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(10,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(10,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析設(shè)t＝f(x)，則y＝g(t)＝t2＋mt＋1，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1有6個零點等價于g(t)＝0在[－3,1)上有兩個不同的實數(shù)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,g－3＝9－3m＋1≥0，,g1＝1＋m＋1>0，,－3<－\f(m,2)<1，))解得2<m≤eq\f(10,3).規(guī)律方法解決嵌套函數(shù)問題，一般方法是令內(nèi)層函數(shù)為t，構(gòu)造新的函數(shù)或方程，轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題，通過觀察分析函數(shù)圖象求解．跟蹤演練1(1)(2022·天津質(zhì)檢)已知定義域為(0，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足：?x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，則方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0答案A解析因為定義域為(0，＋∞)的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)滿足?x∈(0，＋∞)，有f(f(x)－lnx)＝1，則存在唯一正實數(shù)t使得f(t)＝1，且f(x)－lnx＝t，即f(x)＝t＋lnx，于是得f(t)＝t＋lnt＝1，而函數(shù)y＝t＋lnt在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)t＝1時，t＋lnt＝1，因此t＝1，f(x)＝1＋lnx，方程f(x)＝－x2＋4x－2＝1＋lnx，即lnx＝－x2＋4x－3，于是得方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個數(shù)是函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象公共點個數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象，如圖所示，觀察圖象知，函數(shù)y＝lnx與y＝－x2＋4x－3的圖象有3個公共點，所以方程f(x)＝－x2＋4x－2的解的個數(shù)為3.(2)(2022·江西重點中學(xué)聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,\f(2x,ex)，x>0，))若關(guān)于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e＋2,e))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e2＋2,e2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e2＋2,e2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e＋2,e)))答案D解析當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\f(2x,ex)，f′(x)＝eq\f(2－2x,ex)，所以當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\f(2x,ex)在x＝1處取最大值為eq\f(2,e).作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，因為[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0，即[f(x)－a＋1][f(x)－1]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a－1，當(dāng)f(x)＝1時，觀察圖象易知此時只有一個交點，即有一個根，要使關(guān)于x的方程[f(x)]2－af(x)＋a－1＝0恰有四個不同的實數(shù)根，則需要y＝a－1與f(x)圖象有三個不同交點，只需要0<a－1<eq\f(2,e)，即1<a<eq\f(e＋2,e).考點二函數(shù)的旋轉(zhuǎn)例3(多選)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1繞坐標(biāo)原點O旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為函數(shù)f(x)的圖象，關(guān)于此函數(shù)f(x)有如下四個命題，其中真命題是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)))C．f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．函數(shù)y＝f(x)－x有兩個零點答案AB解析雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，即f(x)為奇函數(shù)，故A正確；由雙曲線的頂點為(±eq\r(3)，0)，漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，可得f(x)的圖象的漸近線為x＝0和y＝±eq\f(\r(3),3)x，由圖象關(guān)于直線y＝eq\r(3)x對稱，可得f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)))，故B正確；由對稱性可得f(x)的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)60°位于一、三象限，按順時針旋轉(zhuǎn)60°位于二、四象限；f(x)的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)60°位于一、三象限，由圖象可得頂點為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(3,2)))，不是極值點，則f(x)的值域不是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))；f(x)的圖象按順時針旋轉(zhuǎn)60°位于二、四象限，由對稱性可得f(x)的值域也不是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，故C錯誤；當(dāng)f(x)的圖象位于一、三象限時，f(x)的圖象與直線y＝x有兩個交點，函數(shù)y＝f(x)－x有兩個零點；當(dāng)f(x)的圖象位于二、四象限時，f(x)的圖象與直線y＝x沒有交點，函數(shù)y＝f(x)－x沒有零點，故D錯誤．規(guī)律方法函數(shù)的旋轉(zhuǎn)，要使旋轉(zhuǎn)后需滿足函數(shù)的定義，則每個自變量，都有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng)．跟蹤演練2曲線y＝lnx繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的曲線的方程為________．答案y＝e－x解析設(shè)曲線y＝lnx上一點(a，b)繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，對應(yīng)點的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－b，,y＝a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝y(tǒng)，,b＝－x，))即－x＝lny，即y＝e－x.考點三函數(shù)的對稱問題例4已知函數(shù)f(x)＝ax－ex與函數(shù)g(x)＝xlnx＋1的圖象上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(e－1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e－1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e－1,2)，＋∞)) D．(－∞，e－1)答案A解析由已知可得，方程f(x)＝－g(x)在(0，＋∞)上有兩解，即a＝eq\f(ex,x)－lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上有兩解．設(shè)h(x)＝eq\f(ex,x)－lnx－eq\f(1,x)，則h′(x)＝eq\f(exx－1,x2)－eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x－1ex－1,x2)，令h′(x)＝0，得x＝1，∴當(dāng)0<x<1時，h′(x)<0；當(dāng)x>1時，h′(x)>0，∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝1時，h(x)取得最小值h(1)＝e－1，∵x→0時，h(x)→＋∞；x→＋∞時，h(x)→＋∞，∴實數(shù)a的取值范圍是(e－1，＋∞)．規(guī)律方法注意區(qū)分函數(shù)圖象關(guān)于點對稱和軸對稱、函數(shù)本身的對稱性和兩函數(shù)的對稱性，會在函數(shù)解析式中尋找對稱性．跟蹤演練3(2022·山東聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝1＋sinπx－xsinπx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(9,2)))上的所有零點之和為()A．0B．3C．6D．12答案C解析函數(shù)f(x)＝1＋sinπx－xsinπx的零點就是函數(shù)y＝sinπx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象公共點的橫坐標(biāo)．如圖，因為函數(shù)y＝sinπx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象均關(guān)于點(1,0)成中心對稱，且函數(shù)y＝sinπx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(9,2)))上共有6個公共點，它們關(guān)于點(1,0)對稱，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(9,2)))上共有6個零點，它們的和為3×2＝6.專題強化練1．(2022·山東省實驗中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))則函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,x＋12，x≤0.))①當(dāng)t>0時，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，由零點存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0；②當(dāng)t≤0時，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示，由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個交點；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個交點．綜上所述，函數(shù)y＝f(f(x)＋1)的零點個數(shù)為5.2．若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則實數(shù)a的值為()A．－15B．8C．－8D．4答案C解析由已知可得，±1是f(x)的兩個零點，因為函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，因此3和5也是f(x)的零點，即3和5是函數(shù)y＝x2＋ax＋b的零點，所以3＋5＝－a，解得a＝－8.3．將函數(shù)y＝－x2＋x(x∈[0,1])的圖象繞點(1,0)順時針旋轉(zhuǎn)θ角eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖象，則θ的最大值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,12)答案B解析由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減．設(shè)函數(shù)在x＝1處，切線斜率為k，則k＝f′(1)，∵f′(x)＝－2x＋1，∴k＝f′(1)＝－1，可得切線的傾斜角為135°，因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)θ后的切線傾斜角最多為90°，也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為135°－90°＝45°，即θ的最大值為45°，即eq\f(π,4).4．(2022·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2|x|－2|－1，則關(guān)于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0有7個不同實數(shù)解，則實數(shù)m，n滿足()A．m>0且n>0B．m<0且n>0C．0<m<1且n＝0D．－1<m<0且n＝0答案C解析令u＝f(x)，作出函數(shù)u＝f(x)的圖象如圖所示，由于方程u2＋mu＋n＝0至多兩個實根，設(shè)為u＝u1和u＝u2，由圖象可知，直線u＝u1與函數(shù)u＝f(x)圖象的交點個數(shù)可能為0,2,3,4，由于關(guān)于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0有7個不同實數(shù)解，則關(guān)于u的二次方程u2＋mu＋n＝0的一根為u1＝0，則n＝0，則方程u2＋mu＝0的另一根為u2＝－m，直線u＝u2與函數(shù)u＝f(x)圖象的交點個數(shù)必為4，則－1<－m<0，解得0<m<1.所以0<m<1且n＝0.5．(多選)(2022·徐州質(zhì)檢)若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且方程f[g(x)]＝x有實數(shù)解，則下列式子中可以為g[f(x)]的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)答案ACD解析由方程f[g(x)]＝x有實數(shù)解可得g{f[g(x)]}＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g[f(x)]有解．對于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有解，故A正確；對于B，x＝x＋1，即0＝1，方程無解，故B錯誤；對于C，當(dāng)ecosx＝x時，令h(x)＝ecosx－x，因為h(0)＝e>0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)<0，由零點存在定理可知，h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上存在零點，所以方程有解，故C正確；對于D，當(dāng)ln(|x|＋1)＝x時，x＝0為方程的解，所以方程有解，故D正確．6．(多選)(2022·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,－x2－4x，x<0，))方程f2(x)－t·f(x)＝0有四個實數(shù)根x1，x2，x3，x4，且滿足x1<x2<x3<x4，下列說法正確的是()A．x1x4∈(－6ln2,0]B．x1＋x2＋x3＋x4的取值范圍為[－8，－8＋2ln2)C．t的取值范圍為[1,4)D．x2x3的最大值為4答案BC解析f2(x)－t·f(x)＝0?f(x)[f(x)－t]＝0?f(x)＝0或f(x)＝t，作出y＝f(x)的圖象，當(dāng)f(x)＝0時，x1＝－4，有一個實數(shù)根；當(dāng)t＝1時，有三個實數(shù)根，所以共四個實數(shù)根，滿足題意；當(dāng)t＝4時，f(x)＝t只有兩個實數(shù)根，所以共三個實根，不滿足題意，此時與y＝ex的交點坐標(biāo)為(2ln2,4)．要使原方程有四個實數(shù)根，等價于f(x)＝t有三個實數(shù)根，等價于y＝f(x)與y＝t的圖象有三個交點，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(－8ln2,0]，故A錯誤，C正確；又因為x2＋x3＝－4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8＋x4的取值范圍為[－8，－8＋2ln2)，故B正確；因為x2＋x3＝－4，x2<x3<0，所以x2x3＝(－x2)·(－x3)<eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－x2＋x3,2)))2＝4，故D錯誤．7．(2022·青島質(zhì)檢)對于函數(shù)f(x)，若在其圖象上存在兩點關(guān)于原點對稱，則稱f(x)為“倒戈函數(shù)”，設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋sinx－m＋