5.2動(dòng)能定理

必備知識(shí)清單

一、動(dòng)能

1.定義：物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能.

2.公式：￡k—pwz?2.

3.單位：焦耳,1J=1N-m=1kg-m2/s2.

4.標(biāo)矢性：動(dòng)能是標(biāo)量,動(dòng)能與速度方向無(wú)關(guān).

5.動(dòng)能的變化：物體末動(dòng)能與初動(dòng)能之差,即憐22—5孫2.

二、動(dòng)能定理

1.內(nèi)容：在一個(gè)過(guò)程中合力對(duì)物體所做的功，等于物體在這個(gè)過(guò)程中動(dòng)能的變化.

2.表達(dá)式：PT=AEk=Ek2—Eki=J?"錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！.

3.物理意義：合力的功是物體動(dòng)能變化的量度.

4.適用條件：

(1)動(dòng)能定理既適用于直線運(yùn)動(dòng)，也適用于曲線運(yùn)動(dòng).

(2)動(dòng)能定理既適用于恒力做功，也適用于變力做功.

(3)力可以是各種性質(zhì)的力，既可以同時(shí)作用，也可以分階段作用.

如圖1所示，物塊沿粗糙斜面下滑至水平面；小球由內(nèi)壁粗糙的圓弧軌道底端運(yùn)動(dòng)至頂端(軌

道半徑為R).

圖1

對(duì)物塊有％+恤+IVn=^niv2~^mvo2

對(duì)小球有一2/wgR+W^=^mv2—；陽(yáng)。o?

命題點(diǎn)精析(一)對(duì)動(dòng)能定理的理解和應(yīng)用

1.動(dòng)能定理表明了“三個(gè)關(guān)系”

(1)數(shù)量關(guān)系：合外力做的功與物體動(dòng)能的變化具有等量代換關(guān)系，但并不是說(shuō)動(dòng)能變化就

是合外力做的功.

(2)因果關(guān)系：合外力做功是引起物體動(dòng)能變化的原因.

(3)量綱關(guān)系：?jiǎn)挝幌嗤?，?guó)際單位都是焦耳.

2.標(biāo)量性

動(dòng)能是標(biāo)量，功也是標(biāo)量，所以動(dòng)能定理是一個(gè)標(biāo)量式，不存在方向的選取問(wèn)題.當(dāng)然動(dòng)能

定理也就不存在分量的表達(dá)式.

典型例題

I例12關(guān)于運(yùn)動(dòng)物體所受的合外力、合外力做的功及動(dòng)能變化的關(guān)系，下列說(shuō)

法正確的是()

A.合外力為零，則合外力做功一定為零

B.合外力做功為零，則合外力一定為零

C.合外力做功越多，則動(dòng)能一定越大

D.動(dòng)能不變，則物體合外力一定為零

【答案】A

【解析】由%=/7cosa可知，物體所受合外力為零，合外力做功一定為零，但合

外力做功為零，合外力不一定為零，可能是a=90。，A正確，B錯(cuò)誤；由動(dòng)能定

理％=M：k可知，合外力做功越多，動(dòng)能變化量越大，但動(dòng)能不一定越大，C錯(cuò)

誤；動(dòng)能不變，合外力做功為零，但合外力不一定為零，D錯(cuò)誤。

1練11在籃球比賽中，某位同學(xué)獲得罰球機(jī)會(huì)，他站在罰球線處用力將籃球投出，籃球

約以1m/s的速度撞擊籃筐.已知籃球質(zhì)量約為0.6kg,籃筐離地高度約為3m,忽略籃球受

到的空氣阻力，則該同學(xué)罰球時(shí)對(duì)籃球做的功大約為()

A.1JB.8J

C.50JD.100J

【答案】B

【解析】該同學(xué)將籃球投出時(shí)的高度約為/n=1.8m,根據(jù)動(dòng)能定理有力—用鼠分一心）=%7。2,

解得少=7.5J,故選項(xiàng)B正確.

【練2】（多選）如圖所示，一塊長(zhǎng)木板8放在光滑的水平面上，在B上放一物體4現(xiàn)以恒定

的外力拉8,由于/、8間摩擦力的作用，1將在3上滑動(dòng)，以地面為參考系，A.B都向

前移動(dòng)了一段距離.在此過(guò)程中（）

B-J

V//////////////////////////////////

A.外力下做的功等于N和8動(dòng)能的增量

B.8對(duì)力的摩擦力所做的功等于Z的動(dòng)能的增量

C.A對(duì)8的摩擦力所做的功等于8對(duì)4的摩擦力所做的功

D.外力廠對(duì)B做的功等于B的動(dòng)能的增量與B克服摩擦力所做的功之和

【答案】BD

【解析】N物體所受的合外力等于8對(duì)4的摩擦力，對(duì)/物體運(yùn)用動(dòng)能定理，則有8對(duì)4

的摩擦力所做的功等于/的動(dòng)能的增量，B正確；/對(duì)8的摩擦力與8對(duì)4的摩擦力是一

對(duì)作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于/在8上滑動(dòng)，A.8相對(duì)地面的位

移不相等，故二者做功不相等，C錯(cuò)誤：對(duì)8應(yīng)用動(dòng)能定理仍■一%則必二△&〃

+為?,即外力下對(duì)8做的功等于8的動(dòng)能的增量與8克服摩擦力所做的功之和，D正確；

根據(jù)功能關(guān)系可知，外力尸做的功等于力和8動(dòng)能的增量與產(chǎn)生的內(nèi)能之和，故A錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)精析（二）動(dòng)能定理的基本應(yīng)用

1.應(yīng)用流程

一

解

方

階

分

或

段

確定研究程

過(guò)

全

〔

對(duì)象和研得

列

程

出

程

究過(guò)程方

用

2.注意事項(xiàng)

（1）動(dòng)能定理中的位移和速度必須是相對(duì)于同一個(gè)參考系的，一般以地面或相對(duì)地面靜止的

物體為參考系.

（2）應(yīng)用動(dòng)能定理的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確分析研究對(duì)象的受力情況及運(yùn)動(dòng)情況，可以畫(huà)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程

的草圖，借助草圖理解物理過(guò)程之間的關(guān)系.

（3）當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)包含多個(gè)不同過(guò)程時(shí)，可分段應(yīng)用動(dòng)能定理求解；也可以全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能

定理.

(4)列動(dòng)能定理方程時(shí)，必須明確各力做功的正、負(fù)，確實(shí)難以判斷的先假定為正功，最后

根據(jù)結(jié)果加以檢驗(yàn).

【例2】如圖所示，飛機(jī)先在水平跑道上從靜止開(kāi)始加速滑行，行駛距離x=600

m后達(dá)到功=216km/h的速度起飛，飛機(jī)滑行過(guò)程可視為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所

受阻力大小恒為自身重力的0.1。起飛后，飛機(jī)以離地時(shí)的功率爬升f=20min,

上升了A=8000m,速度增力口至ij。2=720km/h。已知飛機(jī)的質(zhì)量〃?=1X10$kg,

重力加速度大小g取10m/s?。求：

8000m

二/_____,二二......-----

600m

(1)飛機(jī)在地面滑行時(shí)所受牽引力的大小G

(2)飛機(jī)在爬升過(guò)程中克服空氣阻力做的功有。

【答案】(1)4義1()5N(2)1.898X1O,OJ

【解析】(1)設(shè)飛機(jī)在地面滑行時(shí)加速度的大小為。，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得講=2ar,設(shè)

滑行過(guò)程中所受阻力為廠血，由牛頓第二定律得/典

聯(lián)立解得尸=4X105N;

(2)設(shè)飛機(jī)離地時(shí)的功率為P,由功率的表達(dá)式得

P=Fs,由動(dòng)能定理得

Pt—mgh—有=/〃。夕一；加。彳

解得1.898X10'°Jo

【練31(多選)如圖所示為一滑草場(chǎng).某條滑道由上下兩段高均為h,與水平面傾角分別為45°

和37。的滑道組成，載人滑草車(chē)與草地之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為".質(zhì)量為m的載人滑草車(chē)從坡頂

由靜止開(kāi)始自由下滑，經(jīng)過(guò)上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計(jì)載人滑草

車(chē)在兩段滑道交接處的能量損失，重力加速度為g,5出37。=0.6,cos37o=0.8).則()

A.動(dòng)摩擦因數(shù)〃=

B.載人滑草車(chē)最大速度為錯(cuò)誤！

C.載人滑草車(chē)克服摩擦力做功為〃陪〃

3

D.載人滑草車(chē)在下段滑道上的加速度大小為射

【答案】AB

【解析】對(duì)載人滑草車(chē)從坡頂由靜止開(kāi)始滑到底端的全過(guò)程分析，由動(dòng)能定理可知：mg-2h

一"〃?gcos45°-sjn^o—/zwgcos37。.s:；7G=0,解得"=*選項(xiàng)A正確：對(duì)經(jīng)過(guò)上段滑道

的過(guò)程分析，根據(jù)動(dòng)能定理有機(jī)g〃一〃加geos45。?不9a解得：Vm=\選項(xiàng)

B正確；載人滑草車(chē)克服摩擦力做功為2Mg/),選項(xiàng)C錯(cuò)誤；載人滑草車(chē)在下段滑道上的加

mgsin37°—“mgeos37°33

速度為a故大小為選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【練4】如圖所示，半徑為，?的半圓弧軌道48c固定在豎直平面內(nèi)，直徑ZC水平，一個(gè)質(zhì)量

為〃?的物塊從圓弧軌道N端正上方尸點(diǎn)由靜止釋放，物塊剛好從N點(diǎn)無(wú)碰撞地進(jìn)入圓弧軌

道并做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小等于物塊重力的2倍，重力加速度為g,

不計(jì)空氣阻力，不計(jì)物塊的大小，則：

(1)物塊到達(dá)/點(diǎn)時(shí)的速度大小和PA間的高度差分別為多少？

(2)物塊從Z運(yùn)動(dòng)到8所用時(shí)間和克服摩擦力做的功分別為多少？

【答案】(1而；(2)^J|mgr

■

【解析】⑴設(shè)物塊在8點(diǎn)時(shí)的速度為。，由牛頓第二定律得：FK-mg=m—,

因?yàn)镕N=2mg,所以o=y[gi-,

因?yàn)槲飰K從工點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道并做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以物塊到達(dá)4點(diǎn)時(shí)速度大小為；

設(shè)我間的高度差為力，從P到/的過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgh—^nw1,所以/?=；.

2

(2)因?yàn)槲飰K從Z點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道并做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以物塊從/運(yùn)動(dòng)到8所用時(shí)間t=~

從4運(yùn)動(dòng)到8由動(dòng)能定理有：mgi—Wu=0,解得：WiLf=mgr.

命題點(diǎn)精析(三)動(dòng)能定理與圖像綜合問(wèn)題

1.四類(lèi)圖像所圍“面積”的意義

2.解決動(dòng)能定理與圖像問(wèn)題的基本步驟

(

第

一觀察題目給出的圖像,弄清縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)

步

的物理及圖線所表示的物理意義

工St

第

二根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的物

步

—}理量間的函數(shù)關(guān)系式

f根據(jù)函數(shù)關(guān)系式找出圖線的斜率、截距、圖線的交

lg[點(diǎn)、圖線下的面積所對(duì)應(yīng)的物理意義，分析解答問(wèn)

一題，或利用函數(shù)圖線上的特定值代入函數(shù)關(guān)系式

步)

求物理量

I例3】某星球半徑為R=6X106m,假設(shè)該星球表面上有一傾角為。=30。的固定斜面體,

一質(zhì)量為m=lkg的小物塊在力尸作用下從靜止開(kāi)始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，力尸始終與斜面平

行，如圖甲所示.已知小物塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)"=坐，力產(chǎn)隨位移x變化的規(guī)律如

圖乙所示(取沿斜面向上為正方向)，如果小物塊運(yùn)動(dòng)12m時(shí)速度恰好為零，已知萬(wàn)有引力

常量G=6.67X10-*'N?m2/kg2.試求：(計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

甲乙

(1)該星球表面上的重力加速度g的大小；

(2)該星球的平均密度.

2

［答案】(1)6m/s(2)4X1()3kg/m3

【解析】(1)設(shè)該星球表面的重力加速度為g,

物塊上滑過(guò)程中力F所做的功

^=(15X6-3X6)J=72J,

由動(dòng)能定理得：%一/〃gsine?xigco§0?x=0,

解得：g=6m/§2.

(2)在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，〃ig=G

可得星球的質(zhì)量為：”啥

選

所以星球的密度〃=7===不急

____________3X6___________

4X3.14X6.67X10~"X6X106

■4XIO3kg/m\

【練5】如圖所示，一小物塊由靜止開(kāi)始沿斜面向下滑動(dòng)，最后停在水平地面上。

斜面和地面平滑連接，且物塊與斜面、物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為常數(shù)。該

過(guò)程中，物塊的動(dòng)能屏與水平位移x關(guān)系的圖像是()

【答案】A

【解析】設(shè)斜面傾角為仇物塊滑到斜面底端時(shí)的動(dòng)能為￡km，物塊在斜面上滑

行的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的水平位移為配，應(yīng)用動(dòng)能定理，在斜面上有(加gsin夕一〃〃zgcos

。)［二-%=Ek，在水平面上有一47ng(x—xo)=Ek—Ekm，即Ek=—xo)+Ekm，

vOS(/

綜上所述可知：兩段Ek—x圖線為線性關(guān)系，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

【練6】如圖8甲所示，在傾角為30。的足夠長(zhǎng)的光滑斜面N8的/處連接一粗糙水平面04,

0/長(zhǎng)為4m.有一質(zhì)量為，〃的滑塊，從O處由靜止開(kāi)始受一水平向右的力尸作用.尸只在

水平面上按圖乙所示的規(guī)律變化.滑塊與OA間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.25,g取10m/s2,試求:

(1)滑塊運(yùn)動(dòng)到Z處的速度大??；

(2)不計(jì)滑塊在N處的速率變化，滑塊沖上斜面N8的長(zhǎng)度是多少？

【答案］⑴5啦m/s(2)5m

【解析】⑴由題圖乙知，在前2m內(nèi)，F(xiàn)\=2mg,做正功,在第3m內(nèi)，F(xiàn)2=-0.5nig,

做負(fù)功，在第4m內(nèi)，/3=0.滑動(dòng)摩擦力衣=一“"?g=-0.25zng,始終做負(fù)功，對(duì)于滑塊在

上運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，由動(dòng)能定理得

廳加+/及+尸區(qū)=錯(cuò)誤!"屋錯(cuò)誤！-0

代入數(shù)據(jù)解得?！?5/m/s.

(2)對(duì)于滑塊沖上斜面的過(guò)程，由動(dòng)能定理得

—mgLsin30°=。一

解得Z=5m

所以滑塊沖上斜面AB的長(zhǎng)度Z,=5m.

核心素養(yǎng)大提升

動(dòng)能定理在多過(guò)程問(wèn)題中的應(yīng)用

1.應(yīng)用動(dòng)能定理解題的基本步驟

〔

解

方

確定研

程

究對(duì)象、

討

和研究

幾個(gè)力？論

過(guò)程做功是否做功？結(jié)

恒力還是正功還是果

變力？負(fù)功？一

2.求解多過(guò)程問(wèn)題抓好“兩狀態(tài)，一過(guò)程”

“兩狀態(tài)”即明確研究對(duì)象的始、末狀態(tài)的速度或動(dòng)能情況；“一過(guò)程”即

明確研究過(guò)程，確定這一過(guò)程研究對(duì)象的受力情況和位置變化或位移信息。

【例4】如圖所示，不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線下方懸掛一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端

固定在豎直光滑墻面上的。點(diǎn)。開(kāi)始時(shí)，小球靜止于Z點(diǎn)，現(xiàn)給小球一水平向

右的初速度，使其恰好能在豎直平面內(nèi)繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。垂直于墻面的釘子N

位于過(guò)O點(diǎn)豎直線的左側(cè)，ON與0Z的夾角為。(0＜。＜兀)，且細(xì)線遇到釘子后，

小球繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到釘子正下方時(shí)，細(xì)線剛好被

拉斷。已知小球的質(zhì)量為m,細(xì)線的長(zhǎng)度為L(zhǎng),細(xì)線能夠承受的最大拉力為7mg,

g為重力加速度。

?0

人

(1)求小球初速度的大小。0；

(2)求小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑/?與e的關(guān)系式；

(3)在細(xì)線被拉斷后，小球繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，試判斷它能否通過(guò)/點(diǎn)。若能，請(qǐng)

求出細(xì)線被拉斷時(shí)。的值；若不能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由。

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)設(shè)在最高點(diǎn)速度為01,在最高點(diǎn)，重力恰好提供向心力，所以〃?g=

根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)球從4點(diǎn)到最高點(diǎn)，有一房一；加比

解得00=錯(cuò)誤！。

4色

(2)以N為圓心，設(shè)最低點(diǎn)為落到最低點(diǎn)速度為o,有

7〃ig—"?g=錯(cuò)誤!

對(duì)A到M過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有

若N點(diǎn)在。點(diǎn)以下，則

AA—L—r—（L—尸）cos6

若N點(diǎn)在。點(diǎn)以上，則

AA=￡+(￡—z-)cos(7i-^)—r=L—(￡—r)cos0-r

3+2cos8

解得r=Lo

4+2cos6

(3)假設(shè)小球能通過(guò)/點(diǎn)，則

豎直方向：△〃=錯(cuò)誤!g/2

水平方向：(Z—r)sin0=vt

35

解得cos0=-2，與cos^e[-l,1]矛盾，所以假設(shè)不成立，小球不能通

過(guò)/點(diǎn)。

【練7】如圖所示，是一段位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，高度為從末端8處的切線方向水

平.一個(gè)質(zhì)量為機(jī)的小物體夕從軌道頂端/處由靜止釋放，滑到8端后飛出，落到地面上

的C點(diǎn)，軌跡如圖中虛線2c所示.已知它落地時(shí)相對(duì)于8點(diǎn)的水平位移0C=/.現(xiàn)在軌

道下方緊貼B點(diǎn)安裝一水平木板,木板的右端與B的距離班,讓P再次從N點(diǎn)由靜止釋放，

它離開(kāi)軌道并在木板上滑行后從右端水平飛出，仍然落在地面的C點(diǎn).求：(不計(jì)空氣阻力，

重力加速度為g)

(1)尸滑至8點(diǎn)時(shí)的速度大?。?/p>

(2)P與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃.

【答案】(2)券

【解析】

(1)物體P在AB軌道上滑動(dòng)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理mgh=-^mv(i2

得物體P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v0=y(2gh

(2)當(dāng)沒(méi)有木板時(shí)，物體離開(kāi)