課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會運(yùn)用三角函數(shù)的正弦、余弦、正切的和與差、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值。②會運(yùn)用相應(yīng)的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的證明。會運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換，并能解決與三角函數(shù)有關(guān)的計算、化簡、證明等問題.知識點(diǎn)01：半角公式①②③知識點(diǎn)02：輔助角公式：(其中)知識點(diǎn)03：萬能公式①②③題型01降冪公式【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，解得：.故選：B【典例2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知，則的值是.【答案】【詳解】由題得，則，兩邊同時平方可得，故.故答案為：.【變式1】（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則．【答案】/【詳解】解：由，，得，所以．故答案為：【變式2】（2023春·湖北恩施·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．【答案】/【詳解】因?yàn)椋?，函?shù)的最小正周期為.故答案為：.題型02利用半角公式、萬能公式求值【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）已知，則．【答案】或【詳解】方法一：因?yàn)椋裕?，可得，，則，，所以．故，將代入可得，將代入可得，故或；方法二：因?yàn)?，所以．若，則；若，則．故答案為：或【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由可得，整理得到：，故或，因，故，所以．（2）．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．【變式2】（2023春·高一單元測試）已知，，則的值為.【答案】2【詳解】由題意得，即，，，，.故答案為：2【變式3】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知，α為第四象限角，求，，.【答案】答案見解析【詳解】，，.∵為第四象限角，∴為第二、四象限角．當(dāng)為第二象限角時，；當(dāng)為第四象限角時，.題型03簡單的三角恒等變換【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）化簡．【答案】【詳解】法1：由倍角公式，得．原式．法2：．【典例2】（2023春·四川瀘州·高一瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求的值；【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1），故的最小正周期為，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），解得，因?yàn)?，所以，故，故，所?【變式1】（2023秋·河南鄭州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；(2)求時，函數(shù)的值域.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸為(2)【詳解】（1）.所以的最小正周期為，由解得，所以的對稱軸為.（2）由于，，所以.即的值域?yàn)?【變式2（2023秋·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)最大值為，最小值是；(3)【詳解】（1），函數(shù)的最小正周期；（2），，所以，則所以函數(shù)的最大值為，最小值是；（3）若，則，由題意可知，，得，所以的取值范圍是.題型04輔助角公式的應(yīng)用【典例1】（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A．π B． C．2π D．【答案】A【詳解】由，故函數(shù)的最小正周期為.故選：A【典例2】（2023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，即（2）由可得，，令，解得；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【典例3】（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，且，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以．所以?）因?yàn)?，由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式1】（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．【答案】；【詳解】因?yàn)椋瑒t函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:，解得：.故答案為：.【變式2】（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的最大值為．【答案】3【詳解】依題意，，所以當(dāng)，即時，.故答案為：3【變式3】（2023秋·廣西百色·高三貴港市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在上恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【詳解】，當(dāng)時，，在上恰有個零點(diǎn)，，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.題型05三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2023春·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在半徑為、圓心角為的扇形弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)、在上，則這個矩形面積的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，矩形面積為，扇形的半徑為，圓心角為，所以，，，所以．化簡得：，，當(dāng)，即時，取最大值．故選：B.【典例2（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在凸四邊形ABCD中，，，若，則四邊形ABCD面積的最大值為.【答案】【詳解】連接，作垂直交于點(diǎn)，設(shè)角，，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在三角形中，，，，，設(shè)，則，，在三角形中，，，，，所以四邊形的面積為，此時，故答案為：．【變式1】（2023春·四川達(dá)州·高一校考期中）如圖所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．【答案】當(dāng)時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．【詳解】解：在中，，，，在中，，∴，∴，設(shè)矩形ABCD的面積為S，則，由，得，所以當(dāng)，即時，，因此，當(dāng)時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為．【變式2】（2023春·上海青浦·高一?？茧A段練習(xí)）已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點(diǎn).ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為.(1)當(dāng)時，求矩形的面積的值.(2)求關(guān)于角的解析式，并求的最大值.【答案】(1)(2)；時，.【詳解】（1）在中，，，在中，，∴，∴，∴.當(dāng)時，.（2）由（1）知由得，所以當(dāng)，即時，.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·四川資陽·高二四川省樂至中學(xué)?？奸_學(xué)考試）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由二倍角公式和輔助角公式化簡可得，其中，由三角函數(shù)的周期公式可得最小正周期.故選：C2．（2023春·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）求值：（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【詳解】，故選：3．（2023春·廣東陽江·高一廣東兩陽中學(xué)校考期末）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】A選項(xiàng)：，函數(shù)的周期為，A不正確；因?yàn)?，函?shù)的周期為，但，不是偶函數(shù)，B不正確；因?yàn)?，函?shù)的周期為，且，是偶函數(shù)，C正確；因?yàn)?，函?shù)的周期為，是偶函數(shù)，D不正確；故選：C.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A5．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知，，則等于（）A． B．－C． D．【答案】A【詳解】,，，.故選：A.6．（2023春·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，那么為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.7．（2023春·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）若，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，所以，.故選：D.8．（2023春·高一課時練習(xí)）若，，則的值為（

）A．2 B． C．－2 D．【答案】A【詳解】由，，兩式相除得.故選：A.二、多選題9．（2023秋·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】.故選：BD10．（2023春·高一課時練習(xí)）若，則的值可能為（

）A． B．2 C． D．－2【答案】CD【詳解】，∵，∴，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.故選：CD.三、填空題11．（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.【答案】【詳解】，又∵，∴，，所以，故函數(shù)在上的值域是.故答案為：12．（2023秋·高一課時練習(xí)）在中，，則.【答案】/【詳解】故答案為：四、解答題13．（2023秋·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)常數(shù)，函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)若，求方程在區(qū)間上的解.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，又∵為偶函數(shù)，∴，即，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，故，解之得，，∵，∴.14．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中），直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），設(shè)的最小正周期為，因?yàn)橹本€、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，所以，因?yàn)?，所以，解得；?），由得，，即.B能力提升1．（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形內(nèi)接于半徑為1、中心角為（其中）的扇形，且，求矩形面積的最大值，并求此時的長．【答案】矩形面積的最大值為，此時的長為.【詳解】如圖:設(shè)的角平分線分別交于,,則.因此矩形的面積為矩形面積的2倍.因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，所以在中,,即,.因?yàn)樵谥?,所以,而,因