2016年全國卷II高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學（第二模擬）一、選擇題：共12題1．若(m+i)2為實數(shù),其中i為虛數(shù)單位,則實數(shù)m的值為A.1 B.0 C.-1 D.±12．已知全集U={x∈Z|0<x<10},集合A={1,2,3,4},B={x|x=2a,a∈A},則(?UA)∩B=A.{6,8} B.{2,4} C.{2,6,8} D.{4,8}3．在二項式(+)n的展開式中,各項系數(shù)之和為A,各項二項式系數(shù)之和為B,且A+B=1056,則n的值為A.3 B.4 C.5 D.64．若變量x,y滿足不等式組,則()x+y的最小值為A. B. C. D.5．已知數(shù)列{}是公差為2的等差數(shù)列,且a1=-8,則數(shù)列{an}的前n項和Sn取最小值時n的值為A.4 B.5 C.3或4 D.4或56．若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a的值為A.-1或- B.- C.-2 D.-3或-7．設(shè)A,B是橢圓+y2=1上的兩個動點,O是坐標原點,且AO⊥BO,作OP⊥AB,垂足為P,則|OP|=A. B. C. D.8．已知函數(shù)f(x)=2cos(πx)·cos2-sin(πx)·sinφ-cos(πx)(0<φ<)的部分圖象如圖所示,則圖中的x0的值為A. B. C. D.9．運行如圖所示的程序框圖,則輸出的S為A.1008 B.2016 C.1007 D.-100710．已知O為等邊三角形ABC內(nèi)一點,且滿足+λ+(1+λ)=0,若三角形OAB與三角形OAC的面積之比為3∶1,則實數(shù)λ的值為A. B.1 C.2 D.311．已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球面上,SA是球的直徑,AC⊥AB,BC=SB=SC=2,則該球的表面積為A.4π B.6π C.9π D.12π12．已知函數(shù)f(x)=,且f(a2)=.若當0<x1<x2<1時,f(x1)=f(x2),則x1·f(x2)的取值范圍為A.(,] B.(,1] C.[,) D.[,1)

二、填空題：共4題13．計劃生育“二孩”政策開放,為此某街道計劃生育辦公室對本轄區(qū)滿足條件的10對夫妻中女方的年齡進行了統(tǒng)計,其莖葉圖如圖所示,圖中有一個數(shù)據(jù)較模糊,不妨記為x.已知10對夫妻中女方的年齡的平均數(shù)為29.2,則這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

14．如圖是某幾何體的三視圖,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,側(cè)視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的表面積為.

15．已知在銳角三角形ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.若AB=6,則AB邊上的高為.

16．已知雙曲線C:x2-=1,直線y=-2x+m與雙曲線C的右支交于A,B兩點(A在B的上方),且與y軸交于點M,則的取值范圍為.

三、解答題：共8題17．已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),數(shù)列{an}滿足:a1=2,an≠1且(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*).(1)證明:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.18．某市交管部門隨機抽取了89位司機調(diào)查有無酒駕習慣,匯總數(shù)據(jù)得下表:已知在這89人中隨機抽取1人,抽到無酒駕習慣的概率是.(1)請將上表中空白部分的數(shù)據(jù)補充完整;(2)若從有酒駕習慣的人中按性別用分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動,現(xiàn)從這8人中隨機抽取2人,記抽到女性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.19．如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD,E在AD上,且AB=BC=CD=DE=EA=2.(1)求證:平面PEC⊥平面PBD;(2)設(shè)直線PB與平面PEC所成的角為,求平面APB與平面PEC所成銳二面角的余弦值.20．已知直線l1:y=kx+過定點F,動圓過點F,且與直線l2:4y+1=0相切.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)若直線l3的傾斜角為,在y軸上的截距為-1,過l3上的動點M作曲線C的切線,切點分別記為A,B,判斷直線AB是否恒過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.21．已知函數(shù)f(x)=a(x-)-2lnx(a,b∈R),g(x)=x2.(1)若a=1,求函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)+2ln2的極值點;(2)試探究函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點處是否存在公切線?若存在,研究a值的個數(shù);若不存在,請說明理由.22．如圖,圓O的兩條弦AB、CD交于點E,EF∥CB,EF交AD的延長線于點F,FG切圓O于點G.(1)求證:△DFE∽△EFA;(2)若EF=1,求FG的長.23．已知在極坐標系中,圓C的圓心C(2,),半徑r=2.(1)求圓C的極坐標方程;(2)若α∈[,],直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l交圓C于A,B兩點,求弦長|AB|的取值范圍.24．已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=m|x|-2(m∈R).(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>3;(2)若不等式f(x)≥g(x)對任意的x∈R恒成立,求m的取值范圍.參考答案1.B【解析】本題主要考查復數(shù)的有關(guān)概念和乘法運算,考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況.解題時,先利用完全平方公式進行乘法運算,再根據(jù)實數(shù)的概念求解.∵(m+i)2=m2-1+2mi為實數(shù),∴2m=0,m=0,故選B.

2.A【解析】本題考查集合的定義以及集合的交、補運算等.首先根據(jù)集合的定義求出集合B,然后進行集合的運算;也可利用排除法進行求解.通解由已知得全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以?UA={5,6,7,8,9},而B={2,4,6,8},故(?UA)∩B={6,8},所以選A.優(yōu)解因為2,4∈A,所以2,4??UA,故2,4?(?UA)∩B,所以排除B、C、D,所以選A.

3.C【解析】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用.解題時,首先令x=1寫出A關(guān)于n的表達式,結(jié)合二項式系數(shù)之和為2n即可求得n的值.在二項式中令x=1,得各項系數(shù)之和A=4n,又B為各項二項式系數(shù)之和,則B=2n,故A+B=4n+2n=+2n=1056,得2n=32,n=5,選C.

4.C【解析】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域和指數(shù)函數(shù)的最值.一般地,線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解在可行域的邊界或頂點處獲得.通解作出約束條件表示的可行域,如圖中△OAB(內(nèi)部及邊界)所示,再作直線l:x+y=0,向上平移直線l,則z=x+y增大,當過點B(2,4)時,z=x+y取得最大值6,因此()x+y的最小值為.優(yōu)解由得頂點坐標分別為(-6,0),(0,0),(2,4),分別代入z=x+y知,z的最大值為6,因此()x+y的最小值為.

5.D【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和,考查考生的運算能力.根據(jù)題意,=a1+2(n-1)=2n-10,∴an=n(2n-10).由an=n(2n-10)>0得,n>5,∴當n<5時,an<0,當n=5時,an=0,當n>5時,an>0,∴當n=4或5時,Sn最小.

6.A【解析】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,考查考生的運算能力.設(shè)過(1,0)的直線與y=x3相切于點(x0,),則切線方程為y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=.當x0=0時,由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=-,當x0=時,由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1.

7.A【解析】本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及直角三角形的面積,考查考生的運算求解能力.解題時,結(jié)合圖形不妨設(shè)A(a,ka),B(-kb,b),代入橢圓方程進行化簡求解,注意三角形面積相等的應(yīng)用.設(shè)A(a,ka),B(-kb,b),則+k2a2=1,+b2=1.所以a2=,b2=,故|OP|=.

8.D【解析】本題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查考生的運算求解能力.解題時,先根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式,然后結(jié)合函數(shù)的圖象求得x0的值.f(x)=2cos(πx)·cos2-sin(πx)·sinφ-cos(πx)=cos(πx)·(2cos2-1)-sin(πx)·sinφ=cos(πx)·cosφ-sin(πx)·sinφ=cos(πx+φ).由題圖可知,cosφ=,又0<φ<,∴φ=,又cos(πx0+)=,∴πx0+,∴x0=.

9.A【解析】本題主要考查程序框圖.解題時,先根據(jù)程序框圖計算,然后從中找出規(guī)律即可,需注意循環(huán)結(jié)束的條件.k=1,S=0;k<2016,S=0+(-1)0×1=1,k=1+1=2;k<2016,S=1+(-1)1×2=-1,k=2+1=3;k<2016,S=-1+(-1)2×3=2,k=3+1=4;k<2016,S=2+(-1)3×4=-2,k=4+1=5;k<2016,S=-2+(-1)4×5=3,k=5+1=6;k<2016,S=3+(-1)5×6=-3,k=6+1=7;……;當k=2015時,k<2016,S=-1007+(-1)2014×2015=1008,k=2015+1=2016.故輸出的S為1008.

10.A【解析】本題考查平面向量基本定理、平面向量的線性運算等知識,考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.因為+λ+(1+λ)=0,所以++λ(+)=0.如圖所示,D,E分別為BC,AC的中點,由向量加法的平行四邊形法則可知+=2,λ(+)=2λ,故=-λ①,連接AD,在等邊三角形ABC中,因為S△AOC=S△AOB=×S△ABC=S△ABC=S△ADC,故點O到AC的距離等于點D到AC的距離的,故,=-②,由①②可知λ=.

11.B【解析】本題主要考查球的表面積、勾股定理等,考查考生的空間想象能力及運算求解能力.由題意知,AC⊥SC,AB⊥SB,又BC=SB=SC=2,所以Rt△SAC≌Rt△SAB,則AC=AB.又AC⊥AB,所以AC=AB=,SA=,則球的半徑R=,球的表面積為4πR2=6π.

12.B【解析】本題以分段函數(shù)為切入點,主要考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的值域等知識,考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸意識、綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.x1·f(x2)=x1·f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,從而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,確定變量的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.因為0<a<1,所以0<a2<a,故f(a2)=12a3+1=,解得a=.所以f(x)=.當0<x<時,f(x)=6x+1單調(diào)遞增,且1<f(x)<4,當≤x<1時,f(x)=x+2單調(diào)遞減,且2<f(x)≤3.因為當0<x1<x2<1時,f(x1)=f(x2),所以0<x1<≤x2<1.令f(x1)=2,得x1=,令f(x1)=3,得x1=,所以<x1≤.又x1·f(x2)=x1·f(x1)=x1(6x1+1)=6+x1,所以x1·f(x2)在(,]上單調(diào)遞增,故x1·f(x2)的取值范圍為(,1].

13.28.5【解析】本題考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)等統(tǒng)計知識,考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握情況和基本的計算能力.由題意,得=29.2,解得x=8,則這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=28.5.

14.2(π+)【解析】本題考查三視圖和幾何體表面積的求解,考查考生的空間想象能力和運算求解能力.由三視圖可得該幾何體為兩個半圓錐的對接圖形,且對接的是底面,由題意知,圓錐的底面圓的半徑為1,母線長為2,所以該幾何體的表面積為×π×2×2+2××2×=2(π+).

15.4+2【解析】本題主要考查三角形中的三角恒等變換等知識,考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸意識、綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力.由題意得??=2,因為<A+B<π,sin(A+B)=,所以tan(A+B)=-,所以=-

.將tanA=2tanB代入上式并整理得,2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=或tanB=(舍去),所以tanA=2tanB=2+,設(shè)AB邊上的高為CD,則AB=AD+DB=+.因為AB=6,所以CD=4+2.

16.(1,7+4)【解析】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,涉及二次函數(shù)的相關(guān)知識,對考生的運算求解能力要求較高.由可得x2-4mx+m2+3=0,由題意得方程在[1,+∞)上有兩個不相等的實根,設(shè)f(x)=x2-4mx+m2+3,則

,得m>1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),得x1=2m-,x2=2m+,所以=-1+,由m>1得,的取值范圍為(1,7+4).

17.(1)由(an-an+1)g(an)=f(an)(n∈N*)得,4(an-an+1)(an-1)=(n∈N*).由題意an≠1,所以4(an-an+1)=an-1(n∈N*),即3(an-1)=4(an+1-1)(n∈N*),所以.又a1=2,所以a1-1=1,所以數(shù)列{an-1}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an-1=()n-1,bn=

.則Tn=+++…++,①Tn=+++…++,②-②得,Tn=+++…+-=1+-=2--=2-.所以Tn=3-.【解析】本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項公式以及錯位相減法求和,考查考生的運算求解能力和推理論證能力.(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列;(2)由(1)得到an,再利用錯位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【備注】高考對于數(shù)列問題的考查一般是等差數(shù)列、等比數(shù)列兩個特殊數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式,利用裂項相消法、錯位相減法等求和,有時也與函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識綜合考查.

18.(1)由在這89人中隨機抽取1人,抽到無酒駕習慣的概率是,可得無酒駕習慣的人數(shù)為57.從而得下表:(2)由題意可知,抽取的8人中男性6人,女性2人.X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列為X的數(shù)學期望EX=0×+1×+2×.【解析】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識,考查考生的閱讀理解能力、運算求解能力、解決實際問題的能力.【備注】在計算離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差時,首先要搞清其分布特征和分布列,然后要準確運用公式求解.這類問題往往可以利用題目提供的信息,檢驗答案是否合理,若結(jié)果與題目本身的合理性矛盾,一般可以斷定出了錯誤.

19.(1)連接BE.在△PAD中,PA=PD,AE=ED,所以PE⊥AD.又平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,故PE⊥BD.在四邊形BCDE中,BC∥DE,且BC=DE,所以四邊形BCDE為平行四邊形,又BC=CD,所以四邊形BCDE為菱形,故BD⊥CE.又PE∩EC=E,所以BD⊥平面PEC,又BD?平面PBD,所以平面PEC⊥平面PBD.(2)取BC的中點F,連接EF.由(1)可知,△BCE是一個正三角形,所以EF⊥BC,又BC∥AD,所以EF⊥AD.又PE⊥平面ABCD,故以E為坐標原點,分別以直線EF、直線ED、直線EP作為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)PE=t(t>0),則D(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,t),F(,0,0),B(,-1,0).因為BD⊥平面PEC,所以=(-,3,0)是平面PEC的一個法向量,又=(,-1,-t),所以cos<,>==.由已知可得sin=|cos<,>|=,得t=2.故P(0,0,2),=(,-1,-2),又=(,1,0),設(shè)平面APB的法向量為n=(x,y,z),則由,可得,即.取y=-,則x=,z=,故n=(,-,)為平面APB的一個法向量,所以cos<,n>==.設(shè)平面APB與平面PEC所成的銳二面角為θ,則cosθ=|cos<,n>|=.【解析】本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征、面面垂直的證明、直線和平面所成的角以及二面角的求解、空間向量的應(yīng)用等,考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力等.(1)首先得到PE⊥BD,再分析四棱錐底面的性質(zhì),證明BD⊥CE,即可證得BD⊥平面PEC,最后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)果;(2)首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標系,利用已知的線面角確定P的坐標,然后利用兩個平面的法向量求解二面角即可.【備注】解決空間角的求解問題,首先需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立合理的空間直角坐標系,準確求出點以及向量的坐標是解決此類問題的基礎(chǔ),準確求解直線的方向向量與平面的法向量是關(guān)鍵,最后只需利用這些向量表示所求角即可.解題時,要注意向量的夾角與所求角之間的關(guān)系,進行正確轉(zhuǎn)化,如求解二面角時,要注意根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征準確判斷二面角的取值范圍;求解線面角時,要注意三角函數(shù)名稱的變化.

20.(1)因為直線y=kx+過定點F,所以點F的坐標為(0,).因為動圓過點F(0,),且與直線l2:4y+1=0相切,根據(jù)拋物線的定義,動圓圓心的軌跡C是以點F(0,)為焦點,以定直線y=-為準線的拋物線.設(shè)軌跡C:x2=2py(p>0),因為點F(0,)到準線l:y=-的距離為,所以p=,所以動圓圓心的軌跡C的方程為x2=y.(2)直線AB恒過定點(,1).理由如下:因為x2=y,所以y'=2x,設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則=y1,=y2,則過點A(x1,y1)的切線方程為y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-y1.過點B(x2,y2)的切線方程為y-y2=2x2(x-x2),即y=2x2x-y2.因為過點A,B的切線都過點M(x0,y0),所以y0=2x1x0-y1,y0=2x2x0-y2,所以點A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線y0=2xx0-y上,所以直線AB的方程為y0=2xx0-y,即2x0x-y-y0=0.因為直線l3的傾斜角為,在y軸上的截距為-1,所以直線l3∶y=x-1,又點M(x0,y0)是直線l3上的動點,所以x0-y0-1=0,所以直線AB的方程為2x0x-y-(x0-1)=0,即x0(2x-1)+(1-y)=0,由,得,所以直線AB恒過定點(,1).【解析】本題考查直線與圓相切、拋物線的定義和性質(zhì)等知識,意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力以及運算求解能力.【備注】存在型問題、定點問題都是高中數(shù)學的重要題型,解決這類問題的關(guān)鍵:一是進行演繹推理,或?qū)С雒芑蚩隙ńY(jié)論;二是判斷定點的坐標滿足所求的直線系方程,即可證出直線經(jīng)過該定點.同時,扎實的計算功底是解題的基礎(chǔ).

21.(1)當a=1時,f(x)=x--2lnx,定義域為(0,+∞),∴F(x)=x2-x++2lnx+2ln2(x>0),則F'(x)=2x-1-+,令F'(x)=0,得x=,F'(x),F(x)隨x的變化情況為∴F(x)的極小值點為x=,無極大值點.(2)假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點(x0,y0)處存在公切線,∵f(x)=a(x-)-2lnx,f'(x)=,g'(x)=2x,由f'(x0)=g'(x0)得,=2x0,即2-a+2x0-a=0,∴(+1)(2x0-a)=0?x0=,∵f(x)的定義域為(0,+∞),當a≤0時,x0=?(0,+∞),∴函數(shù)f(x)與g(x)的圖象不存在公共點.當a>0時,∵f()=a(-)-2lna2-2ln-2,g()=a2,令f()=g(),得a2-2ln-2=a2,即=ln(a>0).下面研究滿足此等式的a值的個數(shù):設(shè)t=,則a=2t,且t>0,方程=ln化為lnt=t2-1,分別畫出y=lnt和y=t2-1的圖象如圖所示,∵t=1時,lnt=0,t2-1=-<0,由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得y=lnt和y=t2-1的圖象有且只有兩個公共點(且均符合t>0),∴方程=ln有且只有兩個解.綜上,當a≤0時,函數(shù)f(x)與g(x)的圖象不存在公共點;當a>0時,函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點處存在公切線,且符合題意的a值有且僅有兩個.【解析】本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識,考查考生的運算求解能力、分析問題和解決問題的能力,考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等.【備注】高考對于函數(shù)與導數(shù)部分往往綜合考查曲線的切線,函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等,通過求導判斷出函數(shù)的單調(diào)性,特別是含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論比較復雜,分類標準要把握準確,既要注意符號,又要注意各函數(shù)零點的大小判斷,以及極大值、極小值的確定.對于不等式的證明問題,往往要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解答,而對于方程的解的個數(shù)的討論,則需要通過單調(diào)性和極值進行討論.

22.(1)∵EF∥CB,∴∠DEF=∠DCB,又∠DAB=∠DCB,∴∠DEF=∠DAB.又∠DFE=∠EFA,∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知△DFE∽△EFA,∴,∴EF2=FA·FD.又FG切圓O于點G,∴GF2=FA·FD.∴EF2=FG2,∴EF=FG.又EF=1,∴FG=1.【解析】本題主要考查相似三角形的判定、直線與圓的位置關(guān)系等知識,考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力.【備注