專題4.4正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解正比例函數(shù)的概念，能正確畫出正比例函數(shù)的圖象；2.理解并掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)，解決簡單的實際問題．要點梳理【知識點一】正比例函數(shù)的定義1、正比例函數(shù)的定義一般的，形如（為常數(shù)，且≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù).其中叫做比例系數(shù).2、正比例函數(shù)的等價形式（1）、是的正比例函數(shù)；（2）、（為常數(shù)且≠0）；（3）、若與成正比例；（4）、（為常數(shù)且≠0）.【知識點二】正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)正比例函數(shù)（是常數(shù)，≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線.當(dāng)＞0時，直線經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當(dāng)＜0時，直線經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著的增大反而減小.【知識點三】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式由于正比例函數(shù)（為常數(shù)，≠0）中只有一個待定系數(shù)，故只要有一對，的值或一個非原點的點，就可以求得值.【典型例題】類型一、正比例函數(shù)的定義1．已知函數(shù)y=(m-3)x+(m2-9)，當(dāng)m取何值時，y是x的正比例函數(shù)?【答案】-3【分析】根據(jù)正比例函數(shù)定義即可求解．解：∵y=(m-3)x+(m2-9)是正比例函數(shù)，∴m2-9=0且m-3≠0，∴m=．【點撥】本題考查了正比例函數(shù)的定義，熟知正比例函數(shù)的定義“形如（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫正比例函數(shù)”是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若函數(shù)是關(guān)于的正比例函數(shù)，求、的值．【答案】當(dāng)，時，是的正比例函數(shù)．【分析】正比例函數(shù)的一般式為，要特別注意定義滿足，的指數(shù)為1．解：由題意，得，解得∴當(dāng)，時，是的正比例函數(shù)．【點撥】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，熟悉正比例函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，容易出錯的地方是忽略k≠0這個條件．【變式2】已知y=（k-3）x+-9是關(guān)于x的正比例函數(shù)，求當(dāng)x=-4時，y的值．【答案】24.試題分析：利用正比例函數(shù)的定義得出的值即可，得到函數(shù)解析式，代入的值，即可解答．解：當(dāng)且時，y是x的正比例函數(shù)，故當(dāng)k=-3時，y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=-4時，y=-6×（-4）=24．類型二、正比例函數(shù)的解析式2．已知與成正比例，且時．(1)試求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點在這個函數(shù)圖象上，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意可設(shè)，把條件代入可求得與的函數(shù)關(guān)系式；（2）把代入函數(shù)解析式可求得答案．解：(1)與成正比例，可設(shè)，當(dāng)時，，，解得，，與的函數(shù)關(guān)系式為；(2)當(dāng)時，代入函數(shù)解析式可得，解得．．【點撥】本題主要考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】已知，與成正比例，y2與成正比例，當(dāng)時，；當(dāng)時，．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）求當(dāng)時y的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程組，求出方程組的解即可；（2）把x=2代入函數(shù)解析式，即可得出答案．解：（1）設(shè)，，則，把，和，代入得：即，，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是，（2）把代入得：．【點撥】本題考查了用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．【變式2】正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點P，如圖所示，求這個正比例函數(shù)的解析式．【答案】y=x．【分析】把P點坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=kx中，即可得到k的值，進(jìn)而得到正比例函數(shù)的解析式．解：∵正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函數(shù)的解析式為：y=x．【點撥】此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．類型三、正比例函數(shù)的圖象3.已知函數(shù)y=x，請按要求解決下列問題：(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象；(2)點（m－1，m）在函數(shù)y=x的圖象上，求m的值．【答案】(1)畫圖象見分析(2)【分析】（1）利用兩點法畫出函數(shù)圖象；（2）將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，從而可求得m的值．解：(1)當(dāng)x=0時，y=0，當(dāng)x=2時，y=1，則圖象過點（0，0），（2，1）；∴函數(shù)y=x的圖象如圖所示：(2)∵點（m-1，m）在的函數(shù)y＝x上，∴m=（m-1），∴m=-1．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，依據(jù)一次函數(shù)的定義求得m的值是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點A（1，4）在正比例函數(shù)的圖象上，點B（3，n）在正比例函數(shù)的圖象上．(1)求m，n的值；(2)在x軸找一點P，使得PA＋PB的值最小，請求出PA＋PB的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解m、n值即可；（2）作點A關(guān)于x軸對稱的點，連接，交x軸于點P，此時PA＋PB的值最小，最小值為PA＋PB＝．過點作∥x軸，過點B作∥y軸，和相交于點H，求出的長即可．(1)解：∵點A（1，4）在正比例函數(shù)的圖象上，點B（3，n）在正比例函數(shù)的圖象上．∴∴．(2)解：作點A（1，4）關(guān)于x軸對稱的點，連接，交x軸于點P，此時PA＋PB的值最小，PA＋PB＝．過點作∥x軸，過點B作∥y軸，和相交于點H，在Rt△中，∠H＝90°，則，∴PA＋PB的最小值為．【點撥】本題考查正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、最短路徑問題、坐標(biāo)與圖形變化、勾股定理，熟練掌握最短路徑的解題方法是解答的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知正比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x，過正比例函數(shù)在第四象限圖象上的一點A作x軸的垂線，交x軸于點H，AH＝2，求線段OA的長．【答案】線段OA的長為．【分析】由AH⊥x軸，AH＝2得A點的縱坐標(biāo)為﹣2，代入可得A點的橫坐標(biāo)，利用勾股定理即可計算出OA的長．解：∵AH⊥x軸，AH＝2，點A在第四象限，∴A點的縱坐標(biāo)為﹣2，代入得，解得x＝4，∴A（4，﹣2），∴OH＝4，∴OA＝．【點撥】本題主要是考查了一次函數(shù)上的點的特征以及勾股定理求解邊長，熟練地利用一次函數(shù)表達(dá)式，求出其函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)，是求解該類問題的關(guān)鍵．類型四、正比例函數(shù)性質(zhì)4、已知，一次函數(shù)(1)當(dāng)a、n為何值時，y隨x的增大而增大？(2)當(dāng)a、n為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限？(3)當(dāng)a、n為何值時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點？【答案】(1)，n為任意實數(shù)；(2)且；(3)當(dāng)且．【分析】（1）由y隨x的增大而增大，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出并求解即可；（2）當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限時，由一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系可知且，求解即可；（3）根據(jù)一次函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，得出，，求解即可．(1)解：當(dāng)y隨x的增大而增大時，有，解得，∴當(dāng)，n為任意實數(shù)時，y隨x的增大而增大．(2)解：當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，可知，解得，∴當(dāng)且時，函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限．(3)解：若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，則有，，解得，，∴當(dāng)且時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點．【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是牢記一次函數(shù)的相關(guān)知識并熟練運用．舉一反三：【變式1】已知函數(shù)是關(guān)于x的正比例函數(shù)．(1)求k的值；(2)當(dāng)時，求y的取值范圍．【答案】(1)5(2)【分析】（1）由正比例函數(shù)的定義可得，解之即可；（2）由（1）得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)求出，即y的取值范圍．（1）解：由正比例函數(shù)的定義可得：，解得：k=5；（2）由（1）可得：函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時，，即．【點撥】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正比例函數(shù)的定義求出k值．【變式2】已知函數(shù)是正比例函數(shù)．(1)若函數(shù)關(guān)系式中y隨x的增大而減小，求m的值；(2)若函數(shù)的圖象過第一、三象限，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由函數(shù)關(guān)系式中y隨x的增大而減小，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出，解之即可得出m的取值范圍，進(jìn)而可確定m的值；（2）由函數(shù)的圖象過第一、三象限，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)可得出，解之即可得出m的取值范圍，進(jìn)而可確定m的值．(1)解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴，解得：．∵函數(shù)關(guān)系式中y隨x的增大而減小，∴，∴，∴．∵函數(shù)的圖象過第一、三象限，∴，∴，∴．【點撥】此題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的定義，牢記“當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大，且函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小，且函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限”是解題的關(guān)鍵．類型四、正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合5．已知正比例函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣2，4）．（1）如果點（a，1）和（﹣1，b）在函數(shù)圖象上，求a，b的值；（2）過圖象上一點P作y軸的垂線，垂足為Q，S△OPQ＝，求Q的坐標(biāo)．【答案】（1），

（2）（0，）或（0，）【分析】（1）設(shè)正比比例函數(shù)的解析式為y＝kx（k≠0），再把（﹣2，4）代入求出k的值，進(jìn)而得出其解析式，把點（a，1）和（﹣1，b）代入求出a、b的值即可；（2）設(shè)P（x，﹣2x），則Q（0，﹣2x），根據(jù)三角形面積公式即可得出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo).解：（1）設(shè)正比比例函數(shù)的解析式為y＝kx（k≠0），∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣2，4），∴4＝﹣2k，解得k＝﹣2，∴正比例函數(shù)的解析式為y＝﹣2x．∵點（a，1）和（﹣1，b）在函數(shù)圖象上，∴1＝﹣2a，b＝﹣1×（﹣2），解得，b＝2；（2）設(shè)P（x，﹣2x），則Q（0，﹣2x），∵S△OPQ＝，∴﹣x（﹣2x）＝，解得x＝，∴Q（0，）或（0，-）.【點撥】此題考查正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正比例函數(shù)的應(yīng)用，運算能力，正比例函數(shù)與幾何圖形面積問題.舉一反三：【變式1】已知：如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A，（1）請你求出該正比例函數(shù)的解析式；（2）若這個函數(shù)的圖象還經(jīng)過點B（m，m+3），請你求出m的值；（3）請你判斷點P（﹣，1）是否在這個函數(shù)的圖象上，為什么？【答案】（1）正比例函數(shù)解析式為y=﹣2x；（2）m=﹣1；（3）點P不在這個函數(shù)圖象上，理由見分析．【分析】（1）將點A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中求出k的值，即可確定出正比例解析式；（2）將點B（m，m+3）代入所求的解析式，即可求得m的值；（3）把x=-代入所求的解析式，求得y的值，比較即可.解：（1）由圖可知點A（﹣1，2），代入y=kx得：﹣k=2，k=﹣2，則正比例函數(shù)解析式為y=﹣2x；（2）將點B（m，m+3）代入y=﹣2