第02講圓垂徑定理1.掌握垂徑定理及其推論；2.利用垂徑定理及其推論進(jìn)行簡單的計算和證明.知識點1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分知識點2垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【題型1運用垂徑定理直接求線段的長度】【典例1】（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【變式11】（2023春?開福區(qū)校級月考）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式12】（澄城縣期末）如圖，⊙O中，OD⊥弦AB于點C，交⊙O于點D，OB＝13，AB＝24，則OC的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式13】（2023?宿州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若OE＝CE＝2，則BE的長為（）A． B． C．1 D．2【題型2垂徑定理在格點中的運用】【典例2】（2023?平遙縣二模）如圖所示，一圓弧過方格的格點AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【變式21】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【變式22】（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過A（2，2），B（4，0），O三點，那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）A．點D B．點E C．點F D．點G【變式23】（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一圓弧過正方形網(wǎng)格的格點A，B，C，已知A點的坐標(biāo)為（﹣3，5），B點的坐標(biāo)為（1，5），C點的坐標(biāo)為（4，2），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為．【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】【典例3】（2023?尋烏縣一模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式31】（2021秋?瑤海區(qū)期末）如圖，在⊙O中，OE⊥弦AB于點E，EO的延長線交弦AB所對的優(yōu)弧于點F，若AB＝FE＝8，則⊙O的半徑為（）A．5 B．6 C．4 D．2【變式32】（2022秋?宜春期末）已知：如圖，⊙O的直徑AC與弦BD（不是直徑）交于點E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的長．【題型4同心圓與垂井定理綜合】【典例4】（2022秋?梁山縣期末）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【變式41】（2022秋?嘉興期中）已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D（如圖）．（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長．【變式42】（2022秋?浦江縣校級月考）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的長；（2）若大圓半徑為13cm，求小圓的半徑．【題型5垂徑定理的實際應(yīng)用】【典例5】（2022秋?贛縣區(qū)期末）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半徑．【變式51】（2022秋?信都區(qū)校級期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米【變式52】（2023?武義縣一模）如圖，一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式53】（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學(xué)）一面墻上有一個矩形門洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是（）【典例6】（2023?迎澤區(qū)校級一模）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【變式61】（2021秋?恩施市校級期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5mm，則此貨船是否能順利通過這座圓弧形拱橋并說明理由．【變式62】（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度．【變式63】（2022秋?南寧期中）如圖是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其為圓弧型，跨度AB（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高（弧的中點到弦的距離）為0.8米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端（點BEF，求支撐桿EF的高度．1．（2021?鄂州）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米2．（2021?涼山州）點P是⊙O內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）4．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為．6．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CDcm，ABcm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．1．（2023秋?洞頭區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為10，弦長AB＝16，弦心距OC的長為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023秋?東城區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，直徑AB⊥CD垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么線段AE的長為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2022秋?中山市期末）點P是⊙O內(nèi)一點，過點P的最長弦的長為10，最短弦的長為6，則OP的長為（）A．8 B．2 C．5 D．44．（2023秋?綏陽縣期中）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，若OM的長為整數(shù)，則這樣的點M有幾個？（）A．4 B．5 C．7 D．95．（2023秋?硚口區(qū)期中）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑是（）A．24厘米 B．26厘米 C．28厘米 D．30厘米6．（2023秋?鼓樓區(qū)校級月考）一面墻上有一個矩形門洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是（）7．（2022秋?曲靖期末）下列說法中，正確的是（）A．弦是直徑 B．半圓是弧 C．過圓心的線段是直徑 D．平分弦的直徑垂直于弦8．（2023秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．9．（2023秋?無錫月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，BE＝2，CD＝8，則⊙O半徑為（）A．2 B．3 C．5 D．810．（2023?衢州二模）一次綜合實踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，Dcm，AB＝3cm，CD＝4cm．請你幫忙計算紙杯的直徑為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm11．（2022秋?桃城區(qū)校級期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤1612．（2023秋?思明區(qū)校級期中）如圖，當(dāng)寬為3cm的刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點處的讀圖如圖所示（單位：cm），那么該圓的半徑為（）A． B． C．5cm D．4cm13．（2023?鼓樓區(qū)校級三模）如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（）A． B．π C．2π D．4π14．（2023秋?南京期中）根據(jù)江心洲地質(zhì)水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構(gòu)機，是目前世界上最先進(jìn)的盾構(gòu)設(shè)備之一，被譽為“國之重器”．如圖1，盾構(gòu)機核心部件——刀盤的形狀是一個圓形．如圖2，當(dāng)機器暫停時，刀盤露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中點到弦的距離CD）3m，求盾構(gòu)機刀盤的半徑．15．（2023秋?福州期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB上一點，且點P是弦CD的中點．（1）依題意作弦CD；（尺規(guī)作圖不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AP＝8，CD＝32，求⊙O的半徑．16．（2023秋?蕭山區(qū)期中）已知一座圓弧形拱橋，圓心為點O，橋下水面寬度