第四章幾何圖形初步（知識歸納+15題型突破）1.了解并掌握立體圖形的分類，正方體的展開圖及三個方向看立體圖形畫圖與求小立方體．2.了解并掌握線段與線段的中點的定義，會求線段的和與差．3.了解并掌握角與角的中點的定義，會求角的和與差．一、柱、錐、球立體圖形：有些幾何圖形（圓柱、圓錐、球、長方體、正方體等）各部分不在一個平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形.棱柱、棱錐是常見的立體圖形.生活中常見的物體都是立體圖形.二、從正面、左面、上面看立體圖形能力要求：①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?注意：①看的見得棱畫實線，看不見的棱畫虛線；②圓錐從上面看不要丟了圓心點.三.正方體的表面展開圖正方形展開圖的知識要點：1.正方體的表面展開圖一共有11種可能.第一類：有6種.特點：是4個連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個正方形.簡稱“141型”第二類：有3種.特點：是有3個連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個和兩個相連的正方形;簡稱“132型”第三類：僅有一種.特點：是兩個連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個連成一排的正方形；簡稱“222型”第四類：僅有1種，三個連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個連成一排的正方形，可簡稱“33型”注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對面的方法：（1）中間隔“一”是對面：中間相隔一個正方形的兩個正方形是相對面；（2）“Z”字兩端是對面：呈“Z”字形排列的四個正方形首尾兩個正方形是相對面；（3）間二、拐角鄰面知：中間隔兩個正方形的兩個正方形是相鄰面，呈拐角形狀的三個小正方形，只有一個相鄰正方形的兩個正方形是相鄰面.四.其他立體圖形的展開圖常見的幾何體的展開圖有圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐.特殊：球沒有展開圖①圓柱的表面展開圖是兩個圓（作底面）和一個長方形（作側(cè)面）.②圓錐的表面展開圖是一個圓（作底面）和一個扇形（作側(cè)面）③棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形（作底面）和幾個長方形（作側(cè)面）五.點、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點、線、面之間的關(guān)系：點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.六、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別注意：表示直線和線段的兩個大寫字母可以交換位置.七、計數(shù)問題1.平面上有個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：．2.若在線段AB上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點，則又增加了3條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當(dāng)線段AB上增加到n個點(即增加n－2個點)時，線段的總條數(shù)為.用到類似知識點問題：單循環(huán)比賽場數(shù)問題、雙循環(huán)比賽場數(shù)問題、握手次數(shù)問題、多邊形對角線條數(shù)問題、車站設(shè)計票價問題等.八、基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．細(xì)節(jié)剖析①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：十．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD.（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：細(xì)節(jié)剖析①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.十一．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.（2）.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．(3)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：細(xì)節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當(dāng)一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（4）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細(xì)節(jié)剖析①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（5）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（6）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.十二．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.十三．角的互余互補關(guān)系余角補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.細(xì)節(jié)剖析①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.十四.鐘面角鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°.技巧：鐘面角問題一般可以看做是行程問題里的追擊問題.十五．方位角以正北、正南方向為基準(zhǔn)，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.細(xì)節(jié)剖析（1始邊旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【題型一立體圖形的分類】例題：如圖，下列幾何體，是柱體的有______，球體的有______．（填序號）【答案】①②⑥⑤【分析】根據(jù)立體圖形的特征即可得到答案．【詳解】解：柱體的有①②⑥；球體有⑤．故答案為：①②⑥，⑤【點睛】本題考查了認(rèn)識立體圖形，熟知立體圖形的特征并知道他們的名稱是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，請將下列幾何體分類．【答案】答案不唯一，見解析【分析】對于立體圖形的分類，可按照不同標(biāo)準(zhǔn)進行，①按照立體圖形的種類分類；②根據(jù)立體圖形包含的平面類型分類．【詳解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一類，都是柱體；（2）是錐體；（4）是球體．方法二：（1）、（3）是一類，全是由平面構(gòu)成的；（2）、（5）是一類，既有平面，又有曲面；（4）是一類，只有曲面．【點睛】本題考查立體圖形的認(rèn)識，掌握分類時的標(biāo)準(zhǔn)選擇是解題關(guān)鍵．2．下列是我們常見的幾何體，按要求將其分類（只填寫編號）．(1)如果按“柱”“錐球”來分，柱體有______，椎體有______，球有______；(2)如果按“有無曲面”來分，有曲面的有______，無曲面的有______．【答案】(1)①②⑥；③④；⑤(2)②③⑤；①④⑥【分析】（1）根據(jù)立體圖形的特點從柱體的形狀特征考慮．（2）根據(jù)面的形狀特征考慮．【詳解】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圓柱，（3）是圓錐，（4）是棱錐，（5）是球，（6）是三棱柱，∴柱體有（1），（2），（6），錐體有（3），（4），球有（5），故答案為：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它幾何體無曲面，∴按“有無曲面”來分，有曲面的有（2），（3），（5），無曲面的有：（1），（4），（6），故答案為：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）．【點睛】本題考查了認(rèn)識立體圖形，解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識柱體的形狀特征．【題型二正方體幾種展開圖的識別】例題：下列圖形中，不是正方體的平面展開圖的是（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)正方體的展開圖對本題進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)正方體的十一種展開圖可知，B選項不能折成正方體，故選：B．【點睛】本題主要考查的是正方體的展開圖，熟記十一種模型規(guī)律，以及不能折疊的“凹”，“田”兩種特殊形態(tài)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.下列圖形中不能折疊成正方體的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)立方體的展開圖判斷即可．【詳解】A選項的圖形可以折疊成正方體；B選項的圖形可以折疊成正方體；C選項的圖形可以折疊成正方體；D選項的圖形不能折疊成正方體；故選D．【點睛】本題考查了正方體的展開圖，能組成正方體的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形態(tài)要記牢．2.2022年11月，黨的二十大報告熱詞雙語說逐漸更新，第①期提到了“中國式現(xiàn)代化”，將這六個漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖所示是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“國”字所在面相對面上的漢字是（）A．式 B．現(xiàn) C．代 D．化【答案】C【分析】根據(jù)正方體的展開圖進行判斷即可．【詳解】解：在原正方體中，與“國”字所在面相對面上的漢字是代，故選：C．【點睛】本題主要考查正方體的展開圖相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手是解題的關(guān)鍵．3.如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經(jīng)過折疊能圍成此正方體紙盒的是（

）A．B．

C．

D．

【答案】B【分析】四個選項中的圖都是正方體展開圖的“”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰．【詳解】解：四個選項中的圖都是正方體展開圖的“”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰；A、C、D選項折成正方體后有圖案的面有兩個相對，不符合題意；B選項折成正方體后，有圖案的三個面兩兩相鄰；

的展開圖是

故選：B．【點睛】正方體展開圖“1?4?1”結(jié)構(gòu)，折成正方體后，兩個“1”相對，“4”組成側(cè)面，間隔面相鄰．關(guān)鍵是明白有圖案的三個面兩兩相鄰．4.如圖，已知一個正方體是三個面分別標(biāo)有〇、◎、※三種圖案，則它的展開圖可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進行判斷即可．【詳解】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，選項A中“〇面”“◎面”“※面”的對面都是“空白”，故選項A符合題意；選項B中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項B不符合題意；選項C中的“〇面”與“◎面”是對面，與題意矛盾，故選項C不符合題意；選項D中的“◎面”與“※面”是對面，與題意矛盾，故選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查正方體的展開圖，掌握正方體表面展開圖的特征是正確解答本題的關(guān)鍵．【題型三從三個方向看幾何體】例題：如圖所示幾何體，從正面看是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】從正面看，看到的圖形分為三層，再根據(jù)每一層小正方形的位置即可得到答案．【詳解】解：從正面看，看到的圖形分為三層，最下面一層有3個小正方形，中間一層中間和右邊各有1個小正方形，上面一層最右邊有1個小正方形，即看到的圖形為

，故選B．【點睛】本題主要考查了從不同的方向看幾何體，正確根據(jù)幾何體的形狀得到從正面看到的圖形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，是一個幾何體從正面、左面、上面看得到的圖形，則這個幾何體是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)從不同方向看到的圖形還原幾何體即可．【詳解】解：觀察從正面、左面、上面看得到的圖形發(fā)現(xiàn)，這個幾何體是長方體和圓錐的組合圖形．故選：B．【點睛】本題主要考查了從不同方向看幾何體，熟練掌握從不同方向看幾何體得到的圖形形狀是解題的關(guān)鍵．2.如圖是由5個相同的正方體組成的立體圖形，從正面看到的平面圖形是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)從正面看到的圖形分析，有2層，下面一次是三個正方形，上面一層有1個正方形，在最右邊，據(jù)此即可求解．【詳解】解：從正面看到的平面圖形有2層，下面一次是三個正方形，上面一層有1個正方形，在最右邊，故選：A．【點睛】本題考查了從正面看立體圖形，理解題意是解題的關(guān)鍵．3．如圖所示的物體是一個幾何體，則從正面看到的圖形是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)從正面看到的圖形求解即可．【詳解】解：由題意得從正面看到的圖形是故選C．【點睛】本題考查從不同方向看幾何體，抓住從正面看圖形的特點，靈活進行空間想象是解題關(guān)鍵．4.如圖所示的幾何體從正面看到的圖形（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)從正面看到的形狀即可得到答案．【詳解】解：幾何體從正面看到的圖形是．故選：D．【點睛】此題考查了從不同方向看幾何體，題目比較簡單．【題型四畫三個方向看幾何體的圖形】例題：如圖，是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體，請畫出這個幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的平面圖形．（用陰影表示）【答案】見詳解【分析】想象出從三個方向看的圖形，畫出即可；【詳解】解：三個平面圖形如圖所示：從正面看：從左面看：從上面看：【點睛】本題考查了幾何體的從不同方向看的圖形，空間想象能力是本題的解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖是由11個大小相同的小立方塊搭成的幾何體．從正面、左面、上面觀察該幾何體，分別在方格紙中畫出你所看到的幾何體的形狀圖．【答案】見解析【分析】根據(jù)從不同方向看到的幾何體的開狀畫出相應(yīng)的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，【點睛】此題考查了從不同方向看幾何體，解題的關(guān)鍵是明確從不同方向看到的圖形的形狀以及畫法．2.如圖是由7個完全相同的小正方體搭成的幾何體，請分別畫出從正面、左面和上面看到的這個幾何體的形狀圖．【答案】見解析【分析】根據(jù)從不同方向看幾何體的特點畫圖即可．【詳解】解：如圖所示．【點睛】此題考查了從不同方向看幾何體，擁有良好的空間想象能力是解題的關(guān)鍵．【題型五根據(jù)三視圖求原幾何體的表面積和體積】例題：如圖，是一個幾何體分別從正面、左面、上面看的形狀圖．(1)該幾何體名稱是；(2)根據(jù)圖中給的信息，求該幾何體的表面積和體積．【答案】(1)長方體(2)表面積280cm2，體積300cm3【分析】（1）根據(jù)從不同方向看到的圖形判定幾何體的形狀即可；（2）根據(jù)長方體的表面積公式及體積公式進行求解即可．【詳解】（1）解：這個幾何體是長方體，故答案為：長方體；（2）這個長方體的表面積＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．體積＝10×5×6＝300（cm3）．【點睛】本題考查根據(jù)從不同方向看到的圖形判定幾何體，幾何體的表面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，是某幾何體的展開圖．（1）畫出這個幾何體從正面，左面，上面看到的平面圖形；（2）求這個幾何體的體積（結(jié)果保留）．【答案】(1)詳見解析;(2)500π【分析】(1)從展開圖可得原幾何體是圓柱,根據(jù)從不同角度看物體按要求畫出圖形即可．(2)根據(jù)圓柱的體積公式代入求值即可．【詳解】(1)(2)根據(jù)題意．【點睛】本題考查從不同角度看物體作圖及圓柱的體積計算,關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識．2．如圖是3個幾何體的平面展開圖．(1)請寫出對應(yīng)幾何體的名稱：①；②；③(2)圖③中，側(cè)面展開圖的寬（較短邊）為，圓的半徑為，求圖③所對應(yīng)幾何體的表面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)圓錐；三棱柱；圓柱(2)【分析】（1）根據(jù)幾何體的展開圖，可得答案；（2）根據(jù)圓柱的表面積公式，可得答案．【詳解】（1）解：對應(yīng)幾何體的名稱：①圓錐；②三棱柱；③圓柱．故答案為：圓錐；三棱柱；圓柱．（2）∵側(cè)面展開圖的寬（較短邊）為，圓的半徑為，∴圓柱的表面積為：．∴圖③所對應(yīng)幾何體的表面積．【點睛】本題考查幾何體的展開圖和圓柱的表面積．熟練掌握幾何體的展開圖及圓柱表面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．【題型六畫直線、射線、線段】例題：已知A，B，C，D四點．(1)畫線段，射線，直線；(2)連接，與直線交于點E；(3)連接，并延長與射線交于點F．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)線段、射線、直線的定義分別畫出即可；（2）根據(jù)連接兩點即為線段得出即可；（3）根據(jù)延長線段的方法得出即可．【詳解】（1）解：線段，射線，直線即為所求；（2）解：如圖，點E即為所求；（3）解：如圖，點F即為所求．【點睛】此題主要考查了線段、射線、直線的定義以及其畫法，熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，平面上有四個點，根據(jù)下列語句畫圖：(1)畫線段交于點；(2)作射線；(3)取一點，使點既在直線上又在直線上；(4)在線段延長線上作線段．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)作圖見詳解(4)作圖見詳解【分析】（1）根據(jù)線段的概念“有兩個端點，不可延伸”，由此即可求解；（2）根據(jù)射線的概念“有一個端點，向一邊無限延伸”，由此即可求解；（3）根據(jù)直線的概念“無端點，向兩邊無限延伸”，兩直線相交，由此即可求解；（4）根據(jù)線段的特點，作線段等于已知線段的方法即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點，（2）解：如圖所示，端點為點，作射線，（3）解：如圖所示，連接向兩邊無限延伸，交于點，（4）解：如圖所示，連接并延長至點，使得，【點睛】本題主要考查直線，射線，線段的定義及表示，作法，掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．2.如圖，平面內(nèi)四點A、B、C、D，根據(jù)下列語句畫圖：(1)畫直線；(2)畫射線；(3)畫線段；(4)延長線段與直線相交于點E．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義作圖即可．【詳解】（1）如圖所示直線即為所求；（2）如圖所示射線即為所求；（3）如圖所示線段即為所求；（4）如圖所示點E即為所求．【點睛】本題考查了線段、射線、直線的定義，解題的關(guān)鍵是注意射線有一個端點，另一端無限延伸；直線沒有端點；線段有兩個端點．【題型七兩點確定一條直線、兩點之間線段最短】例題：要在墻上定一根木條，至少要用兩顆釘子，這是因為．【答案】兩點確定一條直線【分析】運用直線的性質(zhì)直接解答即可．【詳解】解：由直線的性質(zhì)知：在墻上固定一根木條至少要兩個釘子，這是因為兩點確定一條直線．故答案為：兩點確定一條直線．【點睛】本題主要考查了直線的性質(zhì)，熟練掌握兩點確定一條直線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.生活中有下列現(xiàn)象如圖所示．對于這個現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋．【答案】兩點確定一條直線【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩點彈出一條墨線，利用了“兩點確定一條直線”；故答案為：兩點確定一條直線．【點睛】本題考查了“兩點確定一條直線”，解題的關(guān)鍵是從實際應(yīng)用中找到數(shù)學(xué)原理．2.如圖，學(xué)生要去博物館參觀，從學(xué)校A處到博物館B處的路線共有（1）（2）（3）三條．假設(shè)行走的速度不變，為了節(jié)約時間，盡快從A處趕到B處，你認(rèn)為應(yīng)該走第條路線（只填編號），理由是．【答案】（2）兩點之間，線段最短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短原理解答即可．【詳解】根據(jù)兩點之間線段最短，∴選擇第（2）條路線，故答案為：（2），兩點之間，線段最短．【點睛】本題考查了兩點之間線段最短原理，熟練掌握原理是解題的關(guān)鍵．3.如圖：“小草青青，足下留情”，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋出這一不文明現(xiàn)象的原因是：，【答案】兩點之間線段最短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短即可求解．【詳解】解：依題意，為抄近路踐踏草坪是因為兩點之間線段最短，故答案為：兩點之間線段最短．【點睛】本題考查了兩點之間線段最短，熟練掌握兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【題型八線段的應(yīng)用】例題：2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】20【分析】先求得單程的車票數(shù)，在求出往返的車票數(shù)即可．【詳解】解：5個點中線段的總條數(shù)是（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應(yīng)印制（種），故答案為：20．【點睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有個點，則線段的數(shù)量有條”．【變式訓(xùn)練】1.由汕頭開往廣州東的D7511動車，運行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動車制作的車票一共有（

）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種【答案】D【分析】從汕頭要經(jīng)過6個地方，所以要制作6種車票；從潮汕要經(jīng)過5個地方，所以制作5種車票；以此類推，則應(yīng)分別制作4、3、2、1種車票，因為是來回車票，所以需要×2，即可得出答案．【詳解】共制作的車票數(shù)＝2×（6＋5＋4＋3＋2＋1）＝42（種）．故選：D．【點睛】本題考查了線段、射線、直線等知識點，解此題的關(guān)鍵是能得出規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)來解決實際問題．2.乘特快列車從濟南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過泰安站、曲阜東站、滕州東站，最后到達(dá)棗莊站，那么從濟南西站到棗莊站這段線路的火車票價格最多有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】根據(jù)題意確定出數(shù)學(xué)模型，五點確定出線段的條數(shù)，計算即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意得：從濟南西站到棗莊站這段線路的火車票價格最多有：種故選C．【點睛】本題考查了直線、射線、線段，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．【題型九與線段中點的有關(guān)計算】例題：如圖，線段，C是線段上一點，，M是的中點，N是的中點(1)圖中共有條線段(2)求線段的長【答案】(1)10(2)【分析】（1）根據(jù)線段有兩個端點，寫出所有線段后計算個數(shù)；（2）由M是中點可得長度，求出的長，由N是中點知，進而可得長．【詳解】（1）圖中的線段有、、、、、、、、、這10條．故答案為：10；（2）∵，M是的中點，∴．∵，，∴，又∵N是的中點，∴；∴．【點睛】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．?dāng)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知線段上有兩點，，且，點，分別為，的中點，．求的長．【答案】【分析】先根據(jù)設(shè)，則，再利用中點的性質(zhì)用x表示出的長，然后利用計算出x的值，再利用，就可以得到的長.【詳解】解：因為，所以設(shè)，，．因為，分別是，的中點，所以，．所以，所以．所以．【點睛】本題考查線段的和差，中點定義，巧設(shè)未知數(shù)表示線段的長是解題的關(guān)鍵．2.已知，在線段上．(1)如圖，共有________條線段；(2)如圖，．①比較線段的大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）；②若，，則的長為________；(3)若，且為的中點，求與的數(shù)量關(guān)系．（溫馨提醒：重新畫圖）．【答案】(1)6(2)①=；②20(3)【分析】（1）根據(jù)圖形依次數(shù)出線段的條數(shù)即可；（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)即可得到答案；②依據(jù)線段的和差關(guān)系進行計算，即可得出的長；（3）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，則，利用中點的性質(zhì)分別表示出與的長度，分析關(guān)系即可．【詳解】（1）解：圖中有線段：，，，，，，共6條．（2）解：①因為，所以，即．②因為，，所以，因為，所以，所以．（3）解：如圖1，當(dāng)點在的延長線上，設(shè)，則．因為為的中點，所以，所以，所以，所以．如圖2，當(dāng)點在線段上時，設(shè)，則．因為為的中點，所以，所以，所以，所以．【點睛】本題主要考查了線段的長度計算和線段中點的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段的和、差、倍、分及計算方法．【題型十角的概念及表示方法】例題：下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故錯誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長度沒有關(guān)系，故錯誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎(chǔ)知識，要熟練掌握，比較簡單．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）確定以這個字母為頂點的角只有1個，從而可得答案；（2）根據(jù)角的定義分別確定以B為頂點的角即可；（3）分別確定以A，B，C，E為頂點的小于平角的角即可．【詳解】（1）解：能用一個字母表示的角有：，．故答案為：，．（2）以為頂點的角有：，，．故答案為：，，．（3）圖中共有7個小于平角的角，分別是：，，，，，，．故答案為：7．【點睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關(guān)鍵．2.根據(jù)給出的圖回答下列問題：(1)表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？(3)以為頂點的角有幾個？請表示出來．(4)與是同一個角嗎？請說明理由．(5)圖中共有幾個小于平角的角？【答案】(1)不正確，可表示為(2)(3)3個，見解析(4)見解析(5)11個【分析】（1）、（2）根據(jù)角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根據(jù)角的定義和表示方法回答即可．【詳解】（1）不正確，因為以為頂點的角不止一個，所以這樣的表示方法不正確，可表示為；（2）圖中可以用一個字母表示；（3）以A為頂點的角有3個，分別是、、；（4）因為這兩個角的頂點不同，所以不是同一個角．（5）圖中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11個小于平角的角．【點睛】本題考查的是角的定義和角的表示方法，掌握角的定義和角的表示方法是解題的關(guān)鍵．【題型十一鐘面角】例題：8點30分時刻，鐘表上時針與分針?biāo)M成的角為度．【答案】【分析】根據(jù)鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是，鐘面上8點30分時，時針和分針之間相差個大格，用，即可得出答案．【詳解】解：鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，則每一份是，∴8點30分時，時針和分針?biāo)鶌A的角是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了鐘面上角的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握鐘表上一個大格之間的夾角為．【變式訓(xùn)練】1.李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了°，時針走了°．【答案】21017.5【分析】先求出分針1分鐘走，時針1分鐘走，然后再根據(jù)時間求出分針和時針走的角度即可．【詳解】解：∵分針1小時走，時針1小時走，∴分針1分鐘走，時針1分鐘走，∴李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了，時針走了．故答案為：210；17.5．【點睛】本題主要考查了鐘表上的角度問題，解題的關(guān)鍵是求出分針1分鐘走，時針1分鐘走．2.我校下午到校時間為14時10分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為度．【答案】【分析】鐘表里，每一大格所對的圓心角是，每一小格所對的圓心角是，根據(jù)這個關(guān)系，求解即可．【詳解】解：時鐘指示14時10分時，分針指到2，時針指到2與3之間，時針從2到這個位置經(jīng)過了10分鐘，時針每分鐘轉(zhuǎn)，因而轉(zhuǎn)過，時針和分針?biāo)傻匿J角是．故答案為：．【點睛】本題考查鐘面角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)表面上每一格，每一小格所對的圓心角是的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)．【題型十二三角板中角度計算問題】例題：將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于．【答案】/20度【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是角的和差計算，明確圖形中相關(guān)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，_________（用含α的式子表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知求得，利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用平角的定義，可求；（2）利用（1）中方法可求．【詳解】（1）解：，，．∵平分，，，；（2）解：，，，∵平分，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的性質(zhì)，平角的定義，正確使用角平分線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如圖所示，以直線上的一點O為端點，在直線的上方作射線，使．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（）在直線的上方．設(shè)．(1)當(dāng)時，求的大?。?2)若時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角的和差運算求解即可；（2）首先根據(jù)題意表示出，，然后作差求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∵，∴．∵，∴．（2）解：當(dāng)時，∵，∴．∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查角的加減運算，能夠熟練根據(jù)要求列角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型十三與角平分線的有關(guān)計算】例題：已知O為直線上一點，是直角，平分．(1)如圖①，若，則__________；若，則__________；與的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)當(dāng)射線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)（1）；；(2)仍然成立，理由見解析【分析】（1）先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可；（2）設(shè)，仿照（1）中方法，先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可．【詳解】（1）解：∵是直角，，∴，∵平分，∴，∴，則，若，則，故答案為：；；．（2）解：仍然成立，理由為：如圖2，設(shè)，∵是直角，∴，∵平分，∴，∴，則．【點睛】本題考查直角、平角定義、角平分線的定義，根據(jù)相關(guān)定義求解是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，是平角，分別是的平分線．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；（2）根據(jù)由（1）的方法得，，把代入即可求解．【詳解】（1）解：因為分別是的平分線，所以，．因為，所以．所以．（2）解：由（1）的方法得，．∴當(dāng)度時，則．【點睛】考查角平分線的意義、互為補角的意義，通過圖形直觀得出各個角之間的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，等量代換是常用的方法．2.（1）如圖1所示，已知，平分，、分別平分、，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）中把“平分”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）中把“平分”改為“是外的一條射線且點C與點B在直線的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請你直接寫出的度數(shù)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；（3）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】解：（1）∵，平分，∴，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵、分別平分、，∴，，∴；（3）∵、分別平分、，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．【題型十四求一個角的余角或補角】例題：已知，則的余角等于．【答案】【分析】根據(jù)余角的定義進行計算即可．【詳解】解：，的余角．故答案為：．【點睛】本題考查的是余角的定義，即如果兩個角的和是，則這兩個角叫互為余角．掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知與互余，，則的補角的度數(shù)是．【答案】/115度【分析】先根據(jù)余角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)補角的定義求出的補角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵與互余，，∴，∴，∴的補角的度數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了余角與補角的定義，熟知兩個角的度數(shù)之和為，則這兩個角互余，兩個角度數(shù)之和為，則這兩個角互補是解題的關(guān)鍵．2．一個角的補角是這個角的