專題6.7平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（重難點題型精講）1．平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使.若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.(2)定理的實質(zhì)由平面向量基本定理知，可將任一向量在給出基底{，}的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，這就是平面向量基本定理的實質(zhì).2．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)正交分解不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取{，}作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)①.其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①叫做向量的坐標(biāo)表示.

顯然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).(3)點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系

3．平面向量線性運算的坐標(biāo)表示(1)兩個向量和（差）的坐標(biāo)表示由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

這就是說，兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示由=(x,y)，可得=x+y，則=(x+y)=x+y，即=(x,y).

這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示由于向量=(,)，=(,)等價于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.

這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.(2)平面向量長度（模）的坐標(biāo)表示若=(x,y)，則或.

其含義是：向量的長度(模)等于向量的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.

如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(,)，(,)，那么=(-,-)，||=.

5．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示(1)共線的坐標(biāo)表示①兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)=(,)，=(,)，其中≠0.我們知道，，共線的充要條件是存在實數(shù)，使=.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(,)=(,)，即，消去，得-=0.這就是說，向量，(≠0)共線的充要條件是-=0.②三點共線的坐標(biāo)表示若A(,)，B(,)，C(,)三點共線，則有=，

???????從而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，當(dāng)這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.

(2)夾角的坐標(biāo)表示設(shè)，都是非零向量，=(,)，=(,)，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得==.(3)垂直的坐標(biāo)表示設(shè)=(,)，=(,)，則+=0.

即兩個向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.【題型1用基底表示向量】【方法點撥】用基底表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基底表示向量的唯一性求解.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E為CD中點，AE與BD交于點F，若AC=a，A．112a+14b B．3【變式1-1】（2022·浙江·模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設(shè)AE=A．67a+C．34a+【變式1-2】（2022春·四川綿陽·高一期末）在△ABC中，點D在BC邊上，且BD=2DC.設(shè)AB=a，AC=b，則AD可用基底A．12(aC．13a+【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E是邊CD的中點，AE與BD交于點F．若AB=a，AD=b，則A．14a+34b B．2【題型2平面向量基本定理的應(yīng)用】【方法點撥】結(jié)合題目條件，利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022春·山東·高一階段練習(xí)）已知G是△ABC的重心，點D滿足BD=DC，若GD=xAB+yA．13 B．12 C．2【變式2-1】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）在△ABC中，D為邊BC的中點，E在邊AC上，且EC=2AE，AD與BE交于點F，若CF=λAB+μAC，則A．?12 B．?34 C．【變式2-2】（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若ED=xAB+yADx,y∈RA．1 B．?1 C．12 D．【變式2-3】（2022秋?安徽期末）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若AE→=λAB→+μA．12 B．13 C．14 【題型3平面向量的坐標(biāo)運算】【方法點撥】(1)向量的線性運算的坐標(biāo)表示主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運算，另外解題過程中要注意方程思想的運用.(2)利用向量線性運算的坐標(biāo)表示解題，主要根據(jù)相等向量的坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解.【例3】（2022秋·新疆喀什·高一階段練習(xí)）若a=(3,2),b=(0,?1)，則4A．(5,12) B．(12,6) C．(12,5) D．(?12,?5)【變式3-1】（2022·高二課時練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線.若AD=2,4，AC=1,3，則A．?2,4

B．?3,?5

C．3,5

D．?3,?7【變式3-2】（2022春·廣西南寧·高一期末）已知向量a=(?1,2),b=(3,?5)，則3A．(3,?4) B．(0,?4) C．(3,6) D．(0,6)【變式3-3】（2022春·河南平頂山·高一期末）已知向量a=2,?1，b=1,6，c=7,3，則c可用A．3a+b B．a(chǎn)+3b 【題型4向量共線、垂直的坐標(biāo)表示】【方法點撥】向量共線、垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用有兩類：一是判斷向量的共線（平行）、垂直；二是根據(jù)向量共線、垂直來求參數(shù)的值；根據(jù)題目條件，結(jié)合具體問題進(jìn)行求解即可.【例4】（2022秋·河南南陽·高二開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=(1,?2),(1)若(3a?b(2)若(a?tb【變式4-1】（2022春·廣東潮州·高一期中）已知a（1）當(dāng)k為何值時，ka?b（2）若AB=2a+3b,【變式4-2】（2023·高一單元測試）已知a=1,2，(1)當(dāng)k為何值時，ka+b(2)當(dāng)k為何值時，ka+b【變式4-3】（2022秋·河南開封·高三階段練習(xí)）已知向量a=3,2(1)當(dāng)2a-b(2)當(dāng)c=-8,-1，a∥b+c【題型5向量坐標(biāo)運算與平面幾何的交匯】【方法點撥】利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關(guān)的幾何問題，其解題的關(guān)鍵在于把其他語言轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.常用方法是建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.【例5】（2022春·吉林長春·高一階段練習(xí)）如圖，已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點，∠OAB=∠ABC=120°，(1)求AB坐標(biāo)；(2)若四邊形ABCD為平行四邊形，求點D坐標(biāo)．【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，EC=2DE，F(xiàn)C=2(1)用AB，AD表示AG；(2)若AB=6，AD=32，∠BAD=45°，如圖建立直角坐標(biāo)系，求GB【變式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圓圓心為O點，直徑AB=2，C為半圓弧上靠近點A的三等分點，若P為半徑OC上的動點，以O(shè)點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．(1)求點A、B、C的坐標(biāo)；(2)若PA=34CA?(3)試求點P的坐標(biāo)，使PA?【變式5-3】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0),C(1,3)，點M滿足OM=12(1)求與OC共線的單位向量a的坐標(biāo)；(2)求∠OCM的余弦值；(3)是否存在實數(shù)λ，使(OA?λOP【題型6向量坐標(biāo)運算與三角函數(shù)的交匯】【方法點撥】先運用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的相關(guān)知識(平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平面向量模與夾角的坐標(biāo)表示、平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示等)將問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題(如化簡、求值、證明等)，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識求解即可.【例6】（2022秋·江蘇鹽城·高三期中）已知O為坐標(biāo)原點，OA=(1,(1)若α=π3，求(2)若α∈