11.3多邊形及其內(nèi)角和11.3.1多邊形人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)多邊形的定義及相關(guān)概念觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.什么是三角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.探究新知知識(shí)點(diǎn)1問題1：?jiǎn)栴}2：【思考】

比較多邊形的定義與三角形的定義，為什么要強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”呢？怎樣命名多邊形呢？這是因?yàn)槿切沃械娜齻€(gè)頂點(diǎn)肯定都在同一個(gè)平面內(nèi)，而四點(diǎn)，五點(diǎn)，甚至更多的點(diǎn)就有可能不在同一個(gè)平面內(nèi).

多邊形用圖形名稱以及它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母表示.字母要按照頂點(diǎn)的順序書寫，可以按順時(shí)針或逆時(shí)針的順序.探究新知內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角.根據(jù)圖示，類比三角形的有關(guān)概念，說明什么是多邊形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角、外角．頂點(diǎn)邊外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角.n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)外角．多邊形按它的邊數(shù)可分為：三角形，四邊形，五邊形等等.其中三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.探究新知問題3：（1）（2）

如圖（1）這樣，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形.ABCDEFGH此類多邊形被一條邊所在的直線分成了兩部分，不在這條直線同側(cè)是凹多邊形.探究新知問題4：請(qǐng)分別畫出下列兩個(gè)圖形各邊所在的直線，你能得到什么結(jié)論？例1

凸六邊形紙片剪去一個(gè)角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形說明．解：∵六邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)有增加1、減少1、不變?nèi)N情況，∴新多邊形的邊數(shù)為7、5、6三種情況，如圖所示.素養(yǎng)考點(diǎn)1多邊形的截角問題探究新知探究新知一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條.歸納總結(jié)①從所截角的兩邊截，邊數(shù)增加1.②從所截角的相鄰兩角的頂點(diǎn)截，邊數(shù)減少1.③從所截角的一邊及相鄰角的頂點(diǎn)截，邊數(shù)不變.1.

下列圖形包含了哪些多邊形？六邊形四邊形五邊形和六邊形鞏固練習(xí)多邊形的對(duì)角線ABCDE定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

線段AC是五邊形ABCDE的一條對(duì)角線，多邊形的對(duì)角線通常用虛線表示.知識(shí)點(diǎn)2探究新知三角形六邊形四邊形八邊形……五邊形請(qǐng)畫出下列圖形從某一頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)：多邊形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形n邊形從同一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的條數(shù)分割出的三角形的個(gè)數(shù)01235n-312346n-2探究新知從n(n≥3)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出(n-3)條對(duì)角線.將多邊形分成(n-2)個(gè)三角形.n(n≥3)邊形共有對(duì)角線條.探究新知?dú)w納總結(jié)例2過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線的條數(shù)與這些對(duì)角線分該多邊形所得三角形的個(gè)數(shù)的和為21，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則有(n-3)條對(duì)角線，所分得的三角形個(gè)數(shù)為n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．答：該多邊形的邊數(shù)有13條．素養(yǎng)考點(diǎn)2利用多邊形的對(duì)角線相關(guān)公式求邊數(shù)探究新知2.畫一畫：畫出下列多邊形的全部對(duì)角線.鞏固練習(xí)3.觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，解答下列問題：十邊形有多少條對(duì)角線？n邊形呢？鞏固練習(xí)解：∵四邊形的對(duì)角線條數(shù)為4×(4－3)×＝2.五邊形的對(duì)角線條數(shù)為5×(5－3)×＝5.六邊形的對(duì)角線條數(shù)為6×(6－3)×＝9.∴十邊形的對(duì)角線條數(shù)為10×(10－3)×＝35.n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(n－3).鞏固練習(xí)正多邊形的概念定義像正方形這樣，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形.正三角形正方形正五邊形正六邊形知識(shí)點(diǎn)3探究新知下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請(qǐng)說明為什么？（四條邊都相等）（四個(gè)角都相等）答：都不是，第一個(gè)圖形不符合四個(gè)角都相等；第二個(gè)圖形不符合各邊都相等.

判斷一個(gè)多邊形是不是正多邊形，各邊都相等，各角都相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)具備.注意探究新知想一想4.下列屬于正多邊形的特征的有(

)①各邊相等；②各個(gè)內(nèi)角相等；③各個(gè)外角相等；④各條對(duì)角線都相等；⑤從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線將n邊形分成面積相等的(n－2)個(gè)三角形．A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)

D．5個(gè)B鞏固練習(xí)

通過畫出多邊形的對(duì)角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是_________度．連接中考鞏固練習(xí)解析：從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，則將多邊形分割為3個(gè)三角形．所以該多邊形的內(nèi)角和是3×180°=540°．5401.下列多邊形中，不是凸多邊形的是（）ABCDB基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測(cè)2.九邊形的對(duì)角線有（）A.25條

B.31條

C.27條

D.30條C課堂檢測(cè)基礎(chǔ)鞏固題3.把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是（）六邊形

B.五邊形C.四邊形

D.三角形A1.若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引10條對(duì)角線，則這是

邊形.十三2.過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)角線，把這個(gè)八邊形分割成

個(gè)三角形.六能力提升題課堂檢測(cè)過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒有對(duì)角線，k邊形共有k條對(duì)角線，則(m－k)n為多少？解：∵m＝10，n＝3，k＝5.∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125.課堂檢測(cè)拓廣探索題多邊形定義前提條件是在一個(gè)平面內(nèi)對(duì)角線它是多邊形的一條重要線段，在今后通常作對(duì)角線把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形和四邊形的問題正多邊形定義既是判定也是性質(zhì)課堂小結(jié)定義用途公式連接多邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的總條數(shù)（n-3）條，多邊形對(duì)角線的總條數(shù)你知道長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)角和是多少度？

三角形內(nèi)角和是多少度？三角形內(nèi)角和是180°.都是360°.猜想任意四邊形的內(nèi)角和是多少度？

多邊形的內(nèi)角和探究新知知識(shí)點(diǎn)1問題1：?jiǎn)栴}2：?jiǎn)栴}3：猜想：四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°.你能用以前學(xué)過的知識(shí)說明一下你的結(jié)論嗎？解法一：如圖，連接AC，所以四邊形被分為兩個(gè)三角形，所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×2=360°.ABCD探究新知猜想與證明問題4：解法二：如圖，在CD邊上任取一點(diǎn)E，連接AE，DE，所以該四邊形被分成三個(gè)三角形，所以四邊形ABCD的內(nèi)角和為180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3–180°

=360°.ABCDE探究新知解法三：如圖，在四邊形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，連接AE，BE，CE，DE，把四邊形分成四個(gè)三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE探究新知ABCDP解法四：如圖，在四邊形外任取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個(gè)公共頂點(diǎn)的四個(gè)三角形.所以四邊形ABCD內(nèi)角和為180°×3–180°=360°.這四種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化到已經(jīng)學(xué)了的三角形內(nèi)角和求解.結(jié)論：

四邊形的內(nèi)角和為360°.探究新知例1如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？試說明理由.解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，因?yàn)椤螧＋∠D=360°–（∠A＋∠C）=360°–

180°=180°.所以ABCD如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).素養(yǎng)考點(diǎn)1運(yùn)用四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明或計(jì)算探究新知1.如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)．鞏固練習(xí)解：連接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.∵在四邊形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.ACDEBABCDEF你能仿照求四邊形內(nèi)角和的方法，選一種方法求五邊形和六邊形內(nèi)角和嗎?內(nèi)角和為180°×3=540°.內(nèi)角和為180°×4=720°.探究新知問題5：n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個(gè)數(shù)從多邊形的一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)圖形邊數(shù)······0n–31231234n–2（n–2）·180o1×180o=180o2×180o=360o3×180o=540o4×180o=720o························由特殊到一般

探究新知分割多邊形三角形分割點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系頂點(diǎn)邊上內(nèi)部外部轉(zhuǎn)化思想多邊形的內(nèi)角和公式n邊形內(nèi)角和等于(n–2)×180°.注意：①n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，每增加一條邊其內(nèi)角和增加180°.②多邊形的內(nèi)角和是180°的整倍數(shù).探究新知

歸納總結(jié)例2一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，則（n–2）?180=360+720，解得n=8，∵這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，（8–2）×180°=1080°，∴它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°．素養(yǎng)考點(diǎn)2利用多邊形內(nèi)角和公式求角度或邊數(shù)探究新知2.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和完成下列題目.(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A．4條B．5條C．6條D．7條(2)若一個(gè)多邊形的邊數(shù)為8條，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是(

)A．900°B．540°C．1080°D．360°(3)若一個(gè)多邊形增加一條邊，那么它的內(nèi)角和(

)A．增加180°B．增加360°C．減少360°D．不變CCA鞏固練習(xí)例3已知n邊形的內(nèi)角和θ=（n–2）×180°．（1）甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°．甲、乙的說法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n．若不對(duì)，說明理由；解：∵360°÷180°=2，

630°÷180°=3......90°，∴甲的說法對(duì)，乙的說法不對(duì)，

360°÷180°+2=4．故甲同學(xué)說的邊數(shù)n是4；探究新知（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x．解：依題意有（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．探究新知3.如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．分析：根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度數(shù)可求∠EAB+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的角度和，進(jìn)一步求得∠P的度數(shù)．鞏固練習(xí)解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA=180°?(∠EAB+∠ABC)=180°?×230°=65°．鞏固練習(xí)241324132413241324132413241324132413241324132413用形狀、大小完全相同的任意四邊形可拼成一塊無空隙的地板，你知道這是為什么嗎？

探究新知多邊形的外角和如圖，在五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做五邊形的外角和．任意一個(gè)外角和它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？五個(gè)外角加上它們分別相鄰的五個(gè)內(nèi)角和是多少？EBCD123

45A互補(bǔ)5×180°=900°知識(shí)點(diǎn)2探究新知EBCD123

45A五邊形外角和=360°=5個(gè)平角–五邊形內(nèi)角和=5×180°–(5–2)×180°結(jié)論：五邊形的外角和等于360°.這五個(gè)平角和與五邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？探究新知在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．n邊形外角和n邊形的外角和等于360°.–(n–2)×180°=360°=n個(gè)平角–n邊形內(nèi)角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n邊形的外角和又是多少呢？與邊數(shù)無關(guān)探究新知回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？為什么？每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是每個(gè)外角的度數(shù)是練一練：(1)若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是120°，那么這是正____邊形.(2)已知多邊形的每個(gè)外角都是45°，則這個(gè)多邊形是______邊形.六正八探究新知例4

已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n–2)?180°，多邊形外角和等于360°，∴(n–2)?180°=2×360o.解得

n=6.∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6.素養(yǎng)考點(diǎn)3多邊形的內(nèi)角和公式和外角和公式的綜合應(yīng)用探究新知例5已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角的比都是7:2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解法一：設(shè)這個(gè)多邊形的內(nèi)角為7x

°，外角為2x°，根據(jù)題意得7x+2x=180，解得x=20.即每個(gè)內(nèi)角是140°，每個(gè)外角是40°.360°÷40°=9.答：這個(gè)多邊形是九邊形.還有其他解法嗎？探究新知解法二：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n

，根據(jù)題意得解得n=9.答：這個(gè)多邊形是九邊形.探究新知4.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求∠BED的度數(shù)．解：由題意得AB=AE，所以∠AEB=(180°–∠A)=36°，所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.鞏固練習(xí)1.已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．6

B．7

C．8

D．9連接中考鞏固練習(xí)解析：正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=