同學(xué)們好！2023/12/61ComputingMethods計算方法學(xué)習(xí)和了解科學(xué)計算的橋梁2023/12/62計算方法

能夠做什么？序言2023/12/63計算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機(jī)計算2023/12/64在計算機(jī)上是否根據(jù)數(shù)學(xué)公式編程就能得到正確結(jié)果?研究例子:求解線性方程組其準(zhǔn)確解為x1=x2=x3=1如把方程組的系數(shù)舍入成兩位有效數(shù)字它的解為x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...2023/12/65計算方法（數(shù)值分析）研究的對象研究數(shù)值方法的設(shè)計、分析和有關(guān)理論基礎(chǔ)與軟件實(shí)現(xiàn)。計算方法又稱：計算數(shù)學(xué)、數(shù)值方法、數(shù)值分析等。計算方法的分枝有最優(yōu)化方法、計算幾何、計算概率統(tǒng)計等2023/12/66課程性質(zhì)計算方法它屬于數(shù)學(xué)的范疇，在很多大學(xué)的數(shù)學(xué)系有一個計算數(shù)學(xué)專業(yè)（信息與計算科學(xué)），它二年的專業(yè)課（數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、微分方程的數(shù)值解）就濃縮為計算方法這門課。計算方法是一門抽象的理論課，同時又是一門實(shí)用的技術(shù)課，它是數(shù)學(xué)與計算機(jī)聯(lián)系起來的橋梁。

2023/12/67課程內(nèi)容連續(xù)系統(tǒng)的離散化離散性方程的數(shù)值求解2023/12/68授課目的使學(xué)生掌握用計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的一般思想方法和技術(shù)。計算方法是怎樣產(chǎn)生的呢？我們就得從經(jīng)典數(shù)學(xué)談起了。

2023/12/69經(jīng)典數(shù)學(xué)經(jīng)典數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中存在著一些難點(diǎn)，下面我們舉幾個例子。方程求根

代數(shù)方程，超越方程我們知道代數(shù)方程一、二次都很好求解，但當(dāng)次數(shù)增加時就困難了，實(shí)際上，有人論證過，當(dāng)n>4時無統(tǒng)一的求根方式，這不涉及到求方程的技巧問題。超越方程就更是如此了。

2023/12/610經(jīng)典數(shù)學(xué)

B.方程組求解（Ax＝b）我們在線性代數(shù)中學(xué)過比較著名的Cramer法則，當(dāng)det（A）!=0時，方程組有且僅有一個解。形式非常簡單，但計算量非常大。這樣用計算機(jī)去求解時，也將花費(fèi)成千上萬年（幾十階的方程組）更何況上百階的方程組在生產(chǎn)應(yīng)用中也比比皆是。2023/12/611經(jīng)典數(shù)學(xué)用Laplace展開計算行列式，共需（n＋1）n！=(n+1)!以上的乘法。對于一個20階的方程組，就需要21!≈5.11×10E19以上的乘法。所以，在每秒作30億次乘法的計算機(jī)上，用Cramer法則解20階的方程組，需要的時間大約為540年。2023/12/612經(jīng)典數(shù)學(xué)C.求定積分難點(diǎn)：1.原函數(shù)很難求出

2.原函數(shù)不能用有限的初等函數(shù)來表示。

2023/12/613經(jīng)典數(shù)學(xué)

這樣的話，經(jīng)典數(shù)學(xué)直接應(yīng)用于工程上很難辦，不能解決實(shí)際問題。人們尋找一種更簡便、近似的算法，這樣就慢慢發(fā)展形成了計算方法這門課。其實(shí)，從計算機(jī)誕生開始，它與計算機(jī)就機(jī)密地聯(lián)系在一起。2023/12/614什么是算法和計算量？算法：從給定的已知量出發(fā)，經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序，最后求出未知量的數(shù)值解，這樣構(gòu)成的完整計算步驟稱為算法。計算量：一個算法所需的乘除運(yùn)算總次數(shù)，單位是flop(FloatingOctalPoint

浮點(diǎn)八進(jìn)制).

計算量是衡量一個算法好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)。2023/12/6151、模型誤差2、觀測誤差3、截斷誤差4、舍入誤差第一章誤差1.1誤差的來源2023/12/616

十進(jìn)制規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)

x=0.a1a2...at10J

ai{0,1,2,…,9},a10，LJU一般情況：x=0.a1a2...at

J,=2,8,10,16,

ai{0,1,2,…,-1},LJUF(,t,L,U)表示以上數(shù)集全體加數(shù)0，它是計算機(jī)中使用有限離散集。計算機(jī)中的數(shù)系階尾數(shù)2023/12/617計算機(jī)中數(shù)的計算特點(diǎn):1.加法先對階,后運(yùn)算,再舍入2.乘法先運(yùn)算,再舍入3.不在計算機(jī)數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理例如:在四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計算機(jī)上計算1+104

解:1+104

=0.1000

101+0.1000

105

=0.00001

105+0.1000

105

(對階計算)=0.10001

105

=

0.1000

105=1042023/12/618絕對誤差：e*=x*-x,x*是近似數(shù),x是準(zhǔn)確數(shù)絕對誤差限

*：|e*|=|x*-x|

*

常表示為x=x*

或x*-

xx*+

相對誤差：e*r=(x*-x)/x*,x*是近似數(shù),x是準(zhǔn)確數(shù)相對誤差限

*r：|e*/x*|=|x*-x|/|x*|

*r相對誤差比絕對誤差更能反映準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差異例:考慮1.x*=10,x=11e*=-1e*r=-0.1

2.x*=1000,x=1001e*=-1e*r=-0.001

誤差定義2023/12/619如果|e*|=|x*-x|0.5

10-k稱近似數(shù)x*準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第k位,從這小數(shù)點(diǎn)后第k位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字.有效數(shù)字用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字有效數(shù)字越多,誤差越小,計算結(jié)果越精確2023/12/620例如:設(shè)x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?2023/12/621四則運(yùn)算的誤差絕對誤差：e=x*-x=xdx

相對誤差：er=(x*-x)/x*dx/x*=dlnx利用這個關(guān)系可以討論四則運(yùn)算的誤差和函數(shù)的誤差例如下列式子說明什么誤差結(jié)果?d(x+y)=dx+dydln(xy)=dlnx+dlnydln(xn)=ndlnx2023/12/622數(shù)值計算中值得注意的問題

一、防止相近的兩數(shù)相減(會耗失許多有效數(shù)字,可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做).例1:各有五位有效數(shù)字的23.034與22.993相減.

23.034-22.993=0.0410.041只有兩位有效數(shù)字,有效數(shù)字的耗失,說明準(zhǔn)確度減小,因此,在計算時需要加工計算公式,以免這種情況發(fā)生.例2:當(dāng)x較大時,計算2023/12/623二、防止大數(shù)吃小數(shù).

當(dāng)兩個絕對值相差很大的數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)"吃掉"從而引起計算結(jié)果很不可靠.

例:求一元二次方程x2-(109+1)x+109=0的實(shí)數(shù)根.采用因式分解法,很容易得到兩個根為x1=109,x2=1.如采用字長為8位的單精度計算機(jī)來計算,求得根為x1≈109,x2≈0.(怎樣計算可得較好的結(jié)果?)兩者結(jié)果不同,因為計算機(jī)計算時做加減法要“對階”,“對階”的結(jié)果使大數(shù)吃掉了小數(shù).產(chǎn)生了誤差.為了避免由于上述原因引起的計算結(jié)果嚴(yán)重失真,可以根據(jù)一些具體情況,存在需要把某些算式改寫成另一種等價的形式.三、防止接近零的數(shù)做除數(shù)分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤,因而產(chǎn)生大的誤差,此時可以用數(shù)學(xué)公式化簡后再做..2023/12/624四、注意計算步驟的簡化,減小運(yùn)算次數(shù).簡化計算步驟是提高程序執(zhí)行速度的關(guān)鍵，它不僅可以節(jié)省時間，還能減少舍入誤差。例1：計算9255的值，若逐個相乘要用254次乘法，但若寫成9255=9?

92?

94?

98?

916?

932?

964?

9128只需做14次乘法運(yùn)算即可。例2：設(shè)A、B、C、D分別是1020、2050、501、1100的矩陣，試按不同的算法求矩陣乘積E=ABCD.解：由矩陣乘法的結(jié)合律，可有如下算法1.E=((AB)C)D.計算量N=11500flop2.E=A(B(CD)).計算量N=125000flop3.E=(A(BC))D.計算量N=2200flop2023/12/625矩陣乘積AB的計算量分析a11a12a13…a1na21a22

a23…a2n...

...

…...am1am2

amm-1…amnb11b12b13…b1sb21b22

b23…b2s...

...

…...bn1bn2

bnn-1…

bns=[cij]ms因為cij=

aikbkj計算量為n所以上面AmnBns的計算量為N=mn

s2023/12/626學(xué)習(xí)方法1.注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構(gòu)造手法3.重視各