實(shí)用文檔1.設(shè)是離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明其功率譜。證明：將通過沖激響應(yīng)為的LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)其頻率響應(yīng)為輸出隨機(jī)過程的功率譜為輸出隨機(jī)過程的平均功率為當(dāng)頻率寬度時(shí)，上式可表示為由于頻率是任意的，所以有3、已知：狀態(tài)方程觀測(cè)方程濾波初值請(qǐng)簡(jiǎn)述在此已知條件下卡爾曼濾波算法的遞推步驟。解：步驟1狀態(tài)一步預(yù)測(cè)，即步驟2由觀測(cè)信號(hào)z(n)計(jì)算新息過程，即步驟3一步預(yù)測(cè)誤差自相關(guān)矩陣步驟4新息過程自相關(guān)矩陣步驟5卡爾曼增益或步驟6狀態(tài)估計(jì)步驟7狀態(tài)估計(jì)自相關(guān)矩陣或步驟8重復(fù)步驟1-7，進(jìn)行遞推濾波計(jì)算4、經(jīng)典譜估計(jì)方法：

直接法：又稱為周期圖法，它把隨機(jī)序列x(n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算x(n)的離散傅里葉變換，得到X(k),然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)的真實(shí)功率普估計(jì)自相關(guān)法：1949年，Tukey根據(jù)Wiener—Khintchine定理提出了對(duì)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行譜估計(jì)的自相關(guān)法，即利用有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再對(duì)該自相關(guān)函數(shù)球傅立葉變換，從而得到譜的估計(jì)。1958年，Blackman和Tukey在出版的有關(guān)經(jīng)典譜估計(jì)的專著中討論了自相關(guān)譜估計(jì)法，所以自相關(guān)法又叫BT法。5、假定輸入信號(hào){x(t)}是一個(gè)零均值的高斯白噪聲，其功率譜為，且線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為求輸出y(t)=x(t)*h(t)的功率譜及協(xié)方差函數(shù)。解：由題知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為有此得由輸出功率譜與輸入功率譜、系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系，得輸出的協(xié)方差函數(shù)為功率譜的傅里葉反變換，故有6、BT譜估計(jì)的理論根據(jù)是什么？請(qǐng)寫出此方法的具體步驟。答：（1）相關(guān)圖法又稱BT法，BT譜估計(jì)的理論根據(jù)是：通過改善對(duì)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法，來對(duì)周期圖進(jìn)行平滑處理以改善周期圖譜估計(jì)的方差性能。（2）此方法的具體步驟是：=1\*GB3①給出觀察序列，估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)：=2\*GB3②對(duì)自相關(guān)函數(shù)在（-M，M）內(nèi)作Fourier變換，得到功率譜：式中，一般取，為一個(gè)窗函數(shù)，通常可取矩形窗。可見，該窗函數(shù)的選擇會(huì)影響到譜估計(jì)的分辨率。7、對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)，試寫出相應(yīng)的維納－辛欣定理的主要內(nèi)容。答：(1)連續(xù)時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：(2)離散時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：離散時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：8、舉例說明卡爾曼濾波的應(yīng)用場(chǎng)景。答：假設(shè)要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)用一分鐘來做時(shí)間單位）。假設(shè)經(jīng)驗(yàn)不是100%的可信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲?，F(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)榧俣囟仁呛愣ǖ?，所以k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，預(yù)測(cè)的不確定度是4度，二者平方相加再開方，就是5）。然后，從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的covariance來判斷。因?yàn)镵g^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較小（比較相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。9、離散時(shí)間信號(hào)是一個(gè)一階的AR過程，其相關(guān)函數(shù)，兩觀測(cè)數(shù)據(jù)為，其中和不相關(guān)，且是一個(gè)均值是0，方差為的白噪聲，設(shè)計(jì)維納濾波器。解：由題意，可寫出維納霍夫方程：由于和不相關(guān)，故因此有，代入得：解方程得：所以，維納濾波器的傳遞函數(shù)，其中和由上式給出。11、如圖(a)所示系統(tǒng)，其中，系統(tǒng)中理想帶通濾波器的頻率響應(yīng)如圖(b)所求，其相頻特性，請(qǐng)分別畫出和的頻譜圖，并注明坐標(biāo)值。 答案：12、AR譜估計(jì)的基本原理是什么？與經(jīng)典譜估計(jì)方法相比，其有什么特點(diǎn)？答：（1）AR譜估計(jì)的基本原理是：階的AR模型表示為：其自相關(guān)函數(shù)滿足以下YW方程：取，可得到如下矩陣方程：在實(shí)際計(jì)算中，已知長(zhǎng)度為N的序列，可以估計(jì)其自相關(guān)函數(shù)，再利用以上矩陣方程，直接求出參數(shù)及，于是可求出的功率譜的估計(jì)值。13、已知信號(hào)模型為s（n）=s(n-1)+w(n),測(cè)量模型為x(n)=s(n)+v(n),這里w(n)和v(n)都是均值為零的白噪聲，其方差分別為0.5和1，v(n)與s(n)和w(n)都不相關(guān)?，F(xiàn)設(shè)計(jì)一因果IIR維納濾波器處理x(n)，以得到對(duì)s(n)的最佳估計(jì)。求該濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程。解：根據(jù)信號(hào)模型和測(cè)量模型方程可看出下列參數(shù)值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。將它們代入Ricatti方程Q=P－a2RP/(R+c2P)得0.5=P－P/(1+P)解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。再計(jì)算維納增益G和參數(shù)f:G=cp/(R+c2P)=1/(1+1)=0.5f=Ra/(R+c2P)=1/(1+1)=0.5故得因果IIR維納濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程分別如下：Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1)（n）=0.5(n-1)+0.5x(n)14、簡(jiǎn)述AR模型功率譜估計(jì)步驟。步驟1：根據(jù)N點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)uN（n）估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，得，m=0,1,2,…,p,即步驟2：用p+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，通過直接矩陣求逆或者按階數(shù)遞推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程式，得到p階AR模型參數(shù)的估計(jì)值和步驟3：將上述參數(shù)代入AR（p）的功率表達(dá)式中，得到功率譜估計(jì)，即一．填空1. 在隨機(jī)信號(hào)處理中，當(dāng)滿足（樣本數(shù)量足夠大或者樣本數(shù)量趨于無窮大）的條件時(shí)，時(shí)間平均和統(tǒng)計(jì)平均趨于一致。2. 在信號(hào)檢測(cè)常用的四種準(zhǔn)則中，（Bayes最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則）主要是考慮發(fā)生錯(cuò)誤給判決造成的代價(jià)最小，因此該準(zhǔn)則必須需要知道（先驗(yàn)概率）和（代價(jià)函數(shù)）這兩個(gè)應(yīng)用條件。3. Cramer-Rao不等式是用于描述估計(jì)量有效性下限的重要公式，對(duì)一個(gè)估計(jì)量進(jìn)行估計(jì)的最小方差是（）。該不等式可借用Fisher信息量加以描述，請(qǐng)給出Fisher信息量的數(shù)學(xué)表達(dá)式（）。4. 一般采用（協(xié)方差函數(shù)或者自相關(guān)函數(shù)）和（偏相關(guān)函數(shù)）這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)AR/MA/ARMA三種模型進(jìn)行識(shí)別：如果（偏相關(guān)函數(shù)）是截尾的，則說明該時(shí)間序列適于用AR模型建模。5. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信號(hào)（低）（高還是低？）頻段頻率。二．推演題1. 某獨(dú)立觀測(cè)序列其均值為m，方差為。現(xiàn)有兩種估計(jì)算法：算法A：均值估計(jì)為，算法B：均值估計(jì)為請(qǐng)對(duì)這兩種估計(jì)算法的無偏性和有效性進(jìn)行討論。（12分）答：算法A：均值估計(jì)為，則，， 均值估計(jì)是無偏估計(jì) 算法B：均值估計(jì)為，則， 均值估計(jì)是有偏估計(jì) 所以，算法A比算法B更有效。2. 對(duì)于平穩(wěn)Poisson隨機(jī)過程X(t)，已知在任一區(qū)間中發(fā)生n個(gè)事件的概率為。求的最大似然估計(jì)，并討論該估計(jì)量的無偏性。（10分）答：(1) 函數(shù)（2），所以該估計(jì)量是無偏估計(jì)。3. 設(shè)脈沖信號(hào)s(t)如下圖所示，求其匹配濾波器的傳輸函數(shù)與輸出信號(hào)。（8分）解：先求s(t)的頻譜再取觀測(cè)時(shí)刻t0=T，則可得匹配濾波器的傳輸函數(shù)為：因?yàn)槌闃訒r(shí)間，為使延時(shí)最小，即T0=T此H(w)為匹配濾波器的傳輸函數(shù)，其中K為常數(shù)。匹配濾波器的沖擊響應(yīng)為匹配濾波器的輸出信號(hào)為：三．問答題（共50分）1. 現(xiàn)代信號(hào)處理與傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理相比，一個(gè)最大的區(qū)別在于處理的信號(hào)是統(tǒng)計(jì)性的隨機(jī)信號(hào)而不再是確定性信號(hào)，請(qǐng)回答下述問題：（1）當(dāng)研究寬平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，需要有各態(tài)歷經(jīng)性的理論基礎(chǔ)來支撐，請(qǐng)對(duì)該性質(zhì)加以論述。答：若獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列為一個(gè)隨機(jī)過程，其均值為，方差為，則由大數(shù)定律可知大數(shù)定律表明，隨時(shí)間n的無限增長(zhǎng)，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)按時(shí)間平均以越來越大的概率近似于過程的統(tǒng)計(jì)平均。也就是說，只要觀測(cè)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，則隨機(jī)過程的每個(gè)樣本函數(shù)都能夠“遍歷”各種可能狀態(tài)。隨機(jī)過程的這種特性叫做各態(tài)歷經(jīng)性。（2）白噪聲是現(xiàn)代信號(hào)處理中常用的一種隨機(jī)信號(hào)，請(qǐng)從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度對(duì)其加以闡述。答：設(shè)為實(shí)值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，在時(shí)域中，其自相關(guān)函數(shù)僅在0點(diǎn)有一個(gè)沖擊函數(shù)，在其他點(diǎn)均為0；在頻域中，譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，則稱X(t)為白噪聲過程。（3）為了便于分析和設(shè)計(jì)，白化濾波器被提了出來，請(qǐng)從其作用和應(yīng)用兩個(gè)方面對(duì)其加以闡述。答：白化濾波器的作用是將一個(gè)有色噪聲轉(zhuǎn)化為白噪聲。其應(yīng)用舉例可從廣義匹配濾波器或者ARMA模型出發(fā)來舉。（4）濾波器設(shè)計(jì)中的恒Q特性是什么？在信號(hào)處理分析中有什么特點(diǎn)？答：Q值（品質(zhì)因數(shù)）定義：＝帶寬/中心頻率在小波變換中，小波基函數(shù)ψ(t)的Q值：；ψ(t/a)的Q值保持不變：不論a為何值(a>0)，ψ(t/a)始終和ψ(t)具有相同的品質(zhì)因數(shù)Q。由于恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，小波變換可以提供在時(shí)、頻平面上長(zhǎng)度可調(diào)的分析窗口。（5）對(duì)頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)，如果采用傳統(tǒng)的DFT變換進(jìn)行分析，將無法反映出頻變特性。請(qǐng)給出一種合理的方法對(duì)其進(jìn)行處理，并評(píng)價(jià)該方法的優(yōu)劣。答：只要能提出一種時(shí)頻聯(lián)合分析的方法即可。如STFT、Gabor變換、小波變換等。2. 與傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理相比，現(xiàn)代信號(hào)處理另一個(gè)最大的區(qū)別在于更多的關(guān)注信號(hào)之間的關(guān)系，如相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)、信噪比等，請(qǐng)回答下述問題：（1）信噪比是衡量信號(hào)與噪聲之間的能量差異的相對(duì)值，在通信系統(tǒng)、信號(hào)處理中被廣泛使用，請(qǐng)給出至少兩個(gè)實(shí)例，并加以分析討論。SNR信噪比或PSNR峰值信噪比均可，但需要說明信號(hào)與噪聲能量的定義，并舉出相應(yīng)的實(shí)例。（2）Wiener濾波器是現(xiàn)代信號(hào)濾波處理的經(jīng)典，其核心在于考察濾波器輸入輸出信號(hào)之間的關(guān)系，請(qǐng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型對(duì)其加以描述。濾波器的理想輸出為s(t+a)估計(jì)誤差為e(t)=s(t+a)-y(t)估計(jì)誤差的平方為：而代入上式，兩邊取數(shù)學(xué)期望，得到均方誤差：其中，Rs s(t)的自相關(guān)函數(shù)，Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相關(guān)函數(shù)Rs,x s(t)和x(t)之間的互相關(guān)函數(shù)若信號(hào)s(t)和噪聲n(t)不相關(guān)，且噪聲均值為零，即E[n(t)]=0，則有：維納濾波就是希望求出最優(yōu)h(u)，使得最小。（3）自適應(yīng)濾波器是利用誤差信號(hào)調(diào)整濾波器的傳輸函數(shù)，從而達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)。請(qǐng)從現(xiàn)代信號(hào)處理的角度出發(fā)闡述自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)最優(yōu)的含義，并舉例說明。答：從信號(hào)處理角度，自適應(yīng)濾波器系統(tǒng)最優(yōu)的含義是誤差信號(hào)最小，系統(tǒng)的輸出信號(hào)與指導(dǎo)信號(hào)之間的“距離”最小。舉例可舉信道均衡/估計(jì)，系統(tǒng)辨識(shí)等。（4）功率譜密度是對(duì)時(shí)域自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換得到的結(jié)果。請(qǐng)闡述在工程中對(duì)功率譜密度進(jìn)行測(cè)量有何應(yīng)用？答：（a），有些信號(hào)處理系統(tǒng)，需要預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度（或者自相關(guān)函數(shù)）。如：維納濾波器、MMSE算法。（b），若知道功率譜密度，可估計(jì)出線性系統(tǒng)的參數(shù)。用白噪聲激勵(lì)，通過功率譜估計(jì)FR。（c），利用功率譜密度，可從寬帶信號(hào)中檢測(cè)出窄帶信號(hào)。（寬帶噪聲下的窄帶通信系統(tǒng)）1、證明：若相關(guān)矩陣的特征值λ1，λ2，…λ3各不相同，則特征向量q1,q2…q3相互正交。證明:設(shè)qi和qj分別為相關(guān)矩陣R的特征值λi和λj對(duì)應(yīng)的特征向量（λi≠λj），則有Rqi=λiqi兩邊左乘qjH，有qjHRqi=λiqjHqi又因?yàn)镽qj=λiqj，利用R的Hermite對(duì)稱性，其共軛轉(zhuǎn)置為qjHR=λjqjH兩邊右乘qi，得qjHRqi=λiqjHqi所以有（λi-λj）qjHqi=0由于λi≠λj，故有qjHqi=0i≠j即當(dāng)i≠j時(shí)，特征向量q和q相互正交。2、簡(jiǎn)述最小二乘估計(jì)和維納濾波的區(qū)別，以及何時(shí)二者具有一致性，加以證明。解答：維納濾波是建立在最小均方誤差的準(zhǔn)則之上的，即通過使濾波器的估計(jì)誤差信號(hào)的平均功率最小，得到權(quán)向量需要滿足的維納-霍夫方程。此準(zhǔn)則需要輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性來尋找最優(yōu)濾波。最小二乘估計(jì)是根據(jù)有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來尋求濾波器的最優(yōu)解。最小二乘估計(jì)使用確定思想，而維納濾波使用統(tǒng)計(jì)思想。對(duì)具有遍歷性的平穩(wěn)隨機(jī)過程，當(dāng)觀察樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，兩種方法得到的估計(jì)結(jié)果將趨于一致。證明過程：維納-霍夫方程為：其中，R和P分別是輸入向量的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量。分別為：在最小二乘估計(jì)中的確定性正則方程為：上式兩邊同時(shí)除以時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度N-M-1，則：在有限個(gè)觀測(cè)樣本時(shí)的時(shí)間平均估計(jì)值可表示為：因?yàn)閡（n）是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)過程，且，當(dāng)觀測(cè)數(shù)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)有：也即，當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，確定性正則方程逼近維納-霍夫方程。也就是說，最小二乘方法逼近維納濾波。此時(shí)，二者具有一致性。3、已知輸入信號(hào)向量u(n)的相關(guān)矩陣及數(shù)學(xué)期望響應(yīng)信號(hào)d(n)的互相關(guān)向量分別為且已知期望相應(yīng)d(n)的平均功率為E{d2(n)}=30。（1）計(jì)算維納濾波器的權(quán)向量。（2）計(jì)算誤差性能面的表達(dá)式和最小均方誤差。解：（1）根據(jù)維納霍夫方程Rω0=p得ω0=R-1p（2）誤差性能面的表達(dá)式為J（ω）=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω最小均方誤差值為將ω0代入上面的誤差性能面表達(dá)式得Jmin=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω=σ2d-pHω0=30-14=16。4、請(qǐng)用C/C++語(yǔ)言編寫一個(gè)基-2的FFT算法，要求能夠輸入N點(diǎn)的complex指針，和輸出N點(diǎn)的complex指針。函數(shù)接口設(shè)定為FFT(complex*input,complex*output,unsigngedintN);答案:#include<iostream>#include<complex.h>#include<math.h>usingnamespacestd;//求N的位數(shù)intbitver(unsignedintN){intm=0;while(N!=1){N=N/2;m++;}returnm;//完成位的反轉(zhuǎn)數(shù)..}//實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn),將N的位數(shù)全部翻轉(zhuǎn)過來.....unsignedintRevertBit2(unsignedintN,intbit){unsignedinttemp=0;inti=0;for(i=0;i<bit;i++){temp=temp<<1;temp|=N&(0x01);N=N>>1;}returntemp;}/*************************************************************Description:一個(gè)自己寫的fft.**Author:鐘浩然---->信息學(xué)院--->山東大學(xué).allrightsreserved.**Algorithm:算法采用了基-2的蝶形算法.**Input:complex*x--->數(shù)據(jù)輸入,N數(shù)據(jù)長(zhǎng)度2,4,8,16,.....2的冪次長(zhǎng)度為最佳.**Output:complex*y計(jì)算結(jié)果．輸出.***********************************************************/voidFFT(complex*x,complex*y,unsignedintN){intn=N;intL=bitver(N);intm,k,j;complexparameter,tempa,tempb;doublePI=atan(1)*4;//**第一步:做位數(shù)翻轉(zhuǎn)和數(shù)據(jù)對(duì)調(diào).....并且做一次基2-蝶形FFTfor(m=0;m<N/2;m++){k=RevertBit2(m,L);y[2*m]=x[i]+x[k];y[2*m+1]=x[i]-x[k];}//如果數(shù)據(jù)只有兩位，那就可以返回了，否則再接著基4....if(N<=2)return;//基-4,8,16,.......Lfor(m=4;m<=N;m<<=1){intresulta=N/m;for(j=0;j<result;j++){intresultb=m>>1;for(k=0;k<resultb;k++){parameter=(cos((2*PI/m)*k),sin((2*PI/m)*k));tempa=y[m*j+k]+parameter*y[m*j+m-1-k];tempb=y[m*j+k]-parameter*y[m*j+m-1-k];y[m*j+k]=tempa;y[m*j+m-1-k]=tempb;}}}}5、在測(cè)試某正弦信號(hào)的過程中疊加有白噪聲v(n)，即測(cè)試結(jié)果為設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)為N=4的有限沖激響應(yīng)濾波器，對(duì)x(n)進(jìn)行濾波后得到s’(n)，它與s(n)的誤差的均方值最小，求該濾波器的沖激響應(yīng)和估計(jì)誤差的平均功率。解答：已知設(shè)取6、因果ARMA（p，q）過程的修正Yule-Walker方程為1+a1R(k–1)+…+apR(k–p)=c(k)式中c(k)=而h（k）是ARMA過程的沖激響應(yīng)系數(shù)。令是產(chǎn)生該ARMA過程的線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。試證明，MA參數(shù)可以通過求解得到，式中若已知一因果ARMA（2，2）過程是由一白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)產(chǎn)生的，并且已知其自相關(guān)函數(shù)R（0）=3，R（1）=2和R（2）=1，求傳遞函數(shù)H（z）的具體表達(dá)式。答案：線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的具體表達(dá)形式為解答：由c（k）的定義及因果系統(tǒng)h（k）=0，k<0知c（k）=0，k>q。因此修正Yule-Walker方程可寫作式1并且對(duì)c（k）的定義式c(k)=兩邊做Z變換，并利用h（l）=0,l<0，則有即從而有式2這表明因果ARMA過程的MA參數(shù)可以通過求解上式獲得。將已知的自相關(guān)函數(shù)R（0）=3，R（1）=R（-1）=2和R（2）=R（-2）=1代入式1，有式3由第三個(gè)方程1+2a1=0得a1=-0.5，將它代入式3，由其中的前兩個(gè)方程即得c（0）=2和c（1）=0.5.需要注意因?yàn)閏（-k）0，k=1，2…將a1=-0.5和c（0）=2，c（1）=0.5代入式2，則但是，由于B(z)B（z-1）是一個(gè)正冪次和負(fù)冪次相等，即具有對(duì)稱性的多項(xiàng)式，故即有b0=0.396和b1=1.262即線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的具體表達(dá)形式為7、設(shè)信號(hào)的自相關(guān)序列為觀測(cè)信號(hào)為式中是方差為0.45的零均值白噪聲，它與相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)為N=3的FIR濾波器來處理，使其輸出與的差的均方值最小。解答：已知所以9．證明：兩個(gè)最小相位序列的卷積仍然是最小相位序列解：設(shè)x(n),y(n)為最小相位序列，則其Z變換X（z）,Y(z)對(duì)應(yīng)的所有的零點(diǎn)10．用觀測(cè)數(shù)據(jù)（y(n),y(n-1)）自適應(yīng)估計(jì)隨機(jī)變量x(n).已知Ryy=[10.4;0.41],為保證收斂，μ的值應(yīng)限制在什么范圍？若Ryy=[10.8;0.81],則自適應(yīng)濾波器的收斂速度將會(huì)更快還是更慢？解：11、已知滿足AR(2)模型，即滿足如下差分方程：其中是均值為零、方差為的白噪聲。試用自相關(guān)函數(shù)來表示系數(shù)、。答案：AR模型的正則方程式可以表示為和將帶入上面兩式為：和可以解得12、對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為，自協(xié)方差函數(shù)為，（1）當(dāng)時(shí)，有：=，＝。（2）當(dāng)時(shí)，有：=，＝。13、1. 現(xiàn)代信號(hào)處理與傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理相比，一個(gè)最大的區(qū)別在于處理的信號(hào)是統(tǒng)計(jì)性的隨機(jī)信號(hào)而不再是確定性信號(hào)，請(qǐng)回答下述問題：（1）當(dāng)研究寬平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，需要有各態(tài)歷經(jīng)性的理論基礎(chǔ)來支撐，請(qǐng)對(duì)該性質(zhì)加以論述。答：若獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列為一個(gè)隨機(jī)過程，其均值為，方差為，則由大數(shù)定律可知大數(shù)定律表明，隨時(shí)間n的無限增長(zhǎng)，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)按時(shí)間平均以越來越大的概率近似于過程的統(tǒng)計(jì)平均。也就是說，只要觀測(cè)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，則隨機(jī)過程的每個(gè)樣本函數(shù)都能夠“遍歷”各種可能狀態(tài)。隨機(jī)過程的這種特性叫做各態(tài)歷經(jīng)性。（2）白噪聲是現(xiàn)代信號(hào)處理中常用的一種隨機(jī)信號(hào)，請(qǐng)從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度對(duì)其加以闡述。答：設(shè)為實(shí)值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，在時(shí)域中，其自相關(guān)函數(shù)僅在0點(diǎn)有一個(gè)沖擊函數(shù)，在其他點(diǎn)均為0；在頻域中，譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，則稱X(t)為白噪聲過程。（3）為了便于分析和設(shè)計(jì)，白化濾波器被提了出來，請(qǐng)從其作用和應(yīng)用兩個(gè)方面對(duì)其加以闡述。答：白化濾波器的作用是將一個(gè)有色噪聲轉(zhuǎn)化為白噪聲。其應(yīng)用舉例可從廣義匹配濾波器或者ARMA模型出發(fā)來舉。（4）濾波器設(shè)計(jì)中的恒Q特性是什么？在信號(hào)處理分析中有什么特點(diǎn)？答：Q值（品質(zhì)因數(shù)）定義：＝帶寬/中心頻率在小波變換中，小波基函數(shù)ψ(t)的Q值：；ψ(t/a)的Q值保持不變：不論a為何值(a>0)，ψ(t/a)始終和ψ(t)具有相同的品質(zhì)因數(shù)Q。由于恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，小波變換可以提供在時(shí)、頻平面上長(zhǎng)度可調(diào)的分析窗口。（5）對(duì)頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)，如果采用傳統(tǒng)的DFT變換進(jìn)行分析，將無法反映出頻變特性。請(qǐng)給出一種合理的方法對(duì)其進(jìn)行處理，并評(píng)價(jià)該方法的優(yōu)劣。答：只要能提出一種時(shí)頻聯(lián)合分析的方法即可。如STFT、Gabor變換、小波變換等。14、AR譜估計(jì)的基本原理是什么？與經(jīng)典譜估計(jì)方法相比，其有什么特點(diǎn)？答：（1）AR譜估計(jì)的基本原理是：階的AR模型表示為：其自相關(guān)函數(shù)滿足以下YW方程：取，可得到如下矩陣方程：在實(shí)際計(jì)算中，已知長(zhǎng)度為N的序列，可以估計(jì)其自相關(guān)函數(shù)，再利用以上矩陣方程，直接求出參數(shù)及，于是可求出的功率譜的估計(jì)值。（2）與經(jīng)典譜估計(jì)方法相比，其有以下特點(diǎn)：1）AR譜比經(jīng)典譜平滑。由于AR譜估計(jì)是一個(gè)有理分式，因此其估計(jì)出的譜要比經(jīng)典的平滑。2）AR譜的分辨率。經(jīng)典的分辨率為，對(duì)應(yīng)于采樣頻率，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，AR譜的分辨率比經(jīng)典譜要高。3）AR譜匹配性質(zhì)。隨著階數(shù)的增加，AR譜與真實(shí)譜就越接近。4）AR譜的方差。理論分析很困難，相對(duì)的講，其方差反比于N和信噪比。5）AR模的穩(wěn)定性可以證明，如果自相關(guān)矩陣是正定的，則有Yule-Walker方程求出的AR模型是穩(wěn)定的。6）AR譜估計(jì)的不足與信號(hào)的信噪比關(guān)系較大，信噪比低，則方差大，分辨率低。如果信號(hào)x（n）是含噪聲的正弦信號(hào)，其譜峰易受x（n）初相位的影響，并且可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象。譜的質(zhì)量受p的影響大，p取值小，則過于平滑，精度不夠，p太大，則可能會(huì)產(chǎn)生虛假的譜峰。15、令未知的隨機(jī)變量服從均勻分布，其概率分布為在無其他信息的情況下，用以常數(shù)做隨即變量x的線性均方估計(jì)，求該均方估計(jì)。解：有題可知，隨機(jī)變量x線性均方估計(jì)等于其均值，故==1/2所以x的線性均方估計(jì)為1/2。16、對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)，試寫出相應(yīng)的維納－辛欣定理的主要內(nèi)容。答：(1)連續(xù)時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：(2)離散時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：離散時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：17、一隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度為Ｐ（ω）＝若將這一功率譜看作是被具有單位功率譜的白噪聲所激勵(lì)的線性因果、最小相位系統(tǒng)Ｈ（ｚ）的輸出的功率譜，求該線性系統(tǒng)Ｈ（ｚ）．答：首先，已知的功率譜可以改寫為Ｐ（ω）＝ｚ＝，則Ｐ（ω）＝式右的ｚ多項(xiàng)式可以分解為以下四種形式：在這四種線性系統(tǒng)中，只有線性系統(tǒng)的零、極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，是一個(gè)因果、最小相位系統(tǒng)。所以線性因果、最小相位系統(tǒng)Ｈ（ｚ）為18、什么叫線性時(shí)不變系統(tǒng)？什么叫因果系統(tǒng)？答案：(1)具有線性性和時(shí)不變性的系統(tǒng)叫線性時(shí)不變系統(tǒng)。(2)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，如果它在任意時(shí)刻的輸出只取決于現(xiàn)在時(shí)刻和過去時(shí)刻的輸入，而與將來時(shí)刻的輸入無關(guān)，則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。19、令和是滿足下列差分方程的隨機(jī)過程：，，式中，且和互不相關(guān)，求的功率譜。解：計(jì)算的功率譜：取的延遲形式：于是有：=由于和不相關(guān)，所以和也互不相關(guān)，展開上式得：即：上式兩邊同乘后，再積分，則有：從而有：20、一零均值MA(2)過程滿足下面的方程：試求MA參數(shù),和。解：由于對(duì)于零均值MA(q)過程而言故由題意知，MA(2)過程的自相關(guān)函數(shù)為因此不難求得MA(2)過程的功率譜其因式分解為將這一結(jié)果與比較可知即21、簡(jiǎn)述最小二乘法估計(jì)和維納濾波的區(qū)別，并說明何時(shí)二者具有一致性。維納濾波是建立在最小均方誤差準(zhǔn)則之上的，濾波器權(quán)向量所滿足的條件為維納-霍夫方程。最小二乘是在最小二乘意義下的，應(yīng)滿足確定性正則方程。1.二者的代價(jià)函數(shù)不同：在維納濾波中，代價(jià)函數(shù)是均方誤差信號(hào)誤差信號(hào)是一個(gè)隨機(jī)過程，而代價(jià)函數(shù)則是誤差信號(hào)的平均功率。在最小二乘估計(jì)中，代價(jià)函數(shù)定義為誤差信號(hào)有限個(gè)樣本的模的平方和，即將代價(jià)函數(shù)除以時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度N-M+1，并不會(huì)影響濾波器權(quán)向量的求解。于是得到新的代價(jià)函數(shù)（誤差信號(hào)樣本數(shù)據(jù)的平均功率）如果是各態(tài)歷經(jīng)的的平穩(wěn)隨機(jī)過程，二者的代價(jià)函數(shù)相同。2.維納-霍夫方程與確定性正則方程維納-霍夫方程最小二乘估計(jì)中的確定性正則方程為兩邊除以時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度N-M+1，則有，在有限個(gè)觀測(cè)樣本時(shí)的時(shí)間評(píng)均估計(jì)值可表示為和如果隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么，當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，有也即當(dāng)觀測(cè)根本趨于無窮大時(shí)，確定性正則方程逼近維納-霍夫方程，或者最小二乘方法逼近維納濾波。因此，可以認(rèn)為，最小二乘方法是維納濾波在有限個(gè)觀測(cè)值時(shí)的時(shí)間平均近似；或者，當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，最小二乘方法將逼近維納濾波。22、簡(jiǎn)要說明功率譜密度的4個(gè)性質(zhì)并選擇證明其中的兩個(gè)。答案：功率譜密度4個(gè)性質(zhì)如下：1、功率譜密度S(w)是以2為周期的周期函數(shù)，S(w)=S(w+2k)，k是任意整數(shù)。2、離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度是實(shí)函數(shù)。證明：3、對(duì)于實(shí)隨機(jī)過程，r(m)是實(shí)對(duì)稱序列，功率譜密度函數(shù)滿足對(duì)稱性，即S(w)=S(-w)。4、離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度是非負(fù)的，即S(w)>=0。證明：23、一隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度為把此功率譜看作是被均值為零,方差為1的高斯白噪聲所激勵(lì)的線性因果,最小相位系統(tǒng)的輸出的功率譜,求該線性系統(tǒng).解:由題意,把已知的功率譜分解為令,則有將關(guān)于的多項(xiàng)式分解為以下四種形式:在這四種線性系統(tǒng)中,只有線性系統(tǒng)的零、極點(diǎn)全在單位元內(nèi),是一個(gè)因果、最小相位系統(tǒng).24、簡(jiǎn)述經(jīng)典功率譜估計(jì)方法并簡(jiǎn)單比較其性能。答：經(jīng)典功率譜估計(jì)式給予傳統(tǒng)傅里葉變換思想的估計(jì)方法，其中的典型代表有自相關(guān)譜估計(jì)法（BT法）和周期圖法。周期圖法：對(duì)隨機(jī)過程的N個(gè)觀測(cè)值直接進(jìn)行傅里葉變換根據(jù)傅里葉變換的帕斯瓦爾關(guān)系，上式的模的平方是確定信號(hào)的能量譜，對(duì)能量譜除以持續(xù)時(shí)間N，其結(jié)果應(yīng)是的功率譜估計(jì)，將其作為隨機(jī)信號(hào)的功率譜的估計(jì)，表示為BT法：用時(shí)間平均估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)維納-辛欽定理，對(duì)由上式估計(jì)得到的自相關(guān)函數(shù)求傅里葉變換，可得功率譜的估計(jì)為考慮到自相關(guān)函數(shù)在時(shí)為零，且在接近時(shí)性能較差，上式經(jīng)常表示為以此結(jié)果作為對(duì)理論功率譜的估計(jì)，因?yàn)檫@種估計(jì)方法估計(jì)出的的功率譜是通過自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以此方法又稱為間接法。當(dāng)時(shí)，周期圖法和BT法是相同的，而當(dāng)時(shí)，BT法是對(duì)周期圖法的平滑。25、經(jīng)典功率譜估計(jì)的方法：（BT法）和（周期圖法）。26、設(shè)u(n)是離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明其功率譜S（)≥0證明：將u(n)通過沖擊響應(yīng)為h(n)的LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)其頻率響應(yīng)H（）為1,|-0|<H（）=0,|-0|>輸出隨機(jī)過程y(n）的功率譜為=|H()|2輸出隨機(jī)過程y(n)的平均功率為==當(dāng)頻率寬度時(shí)，上式可表示為由于頻率0是任意的，所以有S（）≥027、試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為解由上式得。輸出功率譜密度為可見，輸出噪聲的功率譜密度在內(nèi)是均勻的，在此范圍外則為零，如圖所示，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。其自相關(guān)函數(shù)為圖帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在處有最大值，這就是帶限白噪聲的平均功率:28、29、設(shè)uN(0),uN(1),…,uN(N-1)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程u(n)的N個(gè)觀測(cè)值，且設(shè)uN(n)其他時(shí)刻的值為零，則uN(n)可表示為對(duì)u(n)的自相關(guān)函數(shù)r(m)有兩種估計(jì)算法：算法A：算法B：請(qǐng)對(duì)這兩種估計(jì)算法的估計(jì)性能進(jìn)行討論。答：算法A：當(dāng)時(shí)延m0時(shí)，均值估計(jì)可以表示為的方差為最后可得的方差為對(duì)于固定時(shí)延，是有偏估計(jì)，但當(dāng)N→∞時(shí)，是對(duì)的漸近無偏估計(jì)；對(duì)于固定的N，當(dāng)越接近于N時(shí)，估計(jì)的偏差越大。由于自相關(guān)函數(shù)是有限的，顯然當(dāng)N→∞時(shí)，的方差將趨近于零。所以，對(duì)于固定的延時(shí)，是的漸近一致估計(jì)。算法B：其均值為若信號(hào)是零均值的實(shí)高斯隨機(jī)信號(hào)，則的方差為由此，可以看出，算法B給出的自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)為無偏估計(jì)，當(dāng)接近于N時(shí)，由算法B給出的估計(jì)方差很大，但當(dāng)N＞＞時(shí)，是r(m)的漸近一致估計(jì)。30、白噪聲是現(xiàn)代信號(hào)處理中常用的一種隨機(jī)信號(hào)，請(qǐng)從時(shí)域和頻域兩個(gè)角度對(duì)其加以闡述。答：設(shè)為實(shí)值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，在時(shí)域中，其自相關(guān)函數(shù)僅在0點(diǎn)有一個(gè)沖擊函數(shù)，在其他點(diǎn)均為0；在頻域中，譜函數(shù)在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，則稱X(t)為白噪聲過程。31、若已知DFT[x(n)]=X(k)，求解：

32、已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為，試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出;解：用卷積法求，,，，最后得到33、一個(gè)差分濾波器的輸出為：y(n)=x(n)+x(n-1),n=1,2……令x(n)的功率譜為1/(1+f2)，試求差分濾波器輸出y(n)的功率譜密度。解：由題意知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)=1+z-1,故所以系統(tǒng)輸出y(t)的功率譜密度為：34、設(shè)系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程,,輸入，，它們之間有下列關(guān)系：，其中T為常數(shù)，試求：當(dāng)輸入功率譜密度為的白噪聲時(shí)，求輸出的平均功率。解：（1）求傳遞函數(shù)當(dāng)輸入函數(shù)為沖擊函數(shù)時(shí)，即，輸出函數(shù)為沖擊響應(yīng)對(duì)上式做傅里葉變換得（2）求輸出功率譜輸出功率譜密度輸出功率譜35、一零均值MA(2)滿足如下正則方程：試求MA參數(shù)和。 解：由其中=1。得出MA(2)的自相關(guān)函數(shù)為R(0)=3，R(1)=R(-1)=2，R(2)=R(-2)=1，R(k)=0，|k|>2。由此不難求出MA(2)過程的功率譜其因式分解為將這一結(jié)果和比較，立即知即=1，=1，=1。所以MA(2)過程的MA參數(shù)為=1，=1，=1。36、維納濾波的設(shè)計(jì)思想是什么？它與最小二乘估計(jì)有什么區(qū)別，并間述兩者何時(shí)具有一致性。答：維納濾波的思想是，假定橫向?yàn)V波器的輸入和期望響應(yīng)均為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其二階統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，求得最優(yōu)濾波器的參數(shù)。維納濾波器是建立在最小均方誤差準(zhǔn)則之上的，即通過使濾波器的估計(jì)誤差信號(hào)的平均功率最小，得到權(quán)向量需滿足的維納霍夫方程。這個(gè)準(zhǔn)則需要輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性來尋求最優(yōu)濾波。但在實(shí)際工程中，通常只能獲得有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來尋求濾波器的最優(yōu)解。最小二乘估計(jì)就是討論怎樣根據(jù)有限個(gè)的觀測(cè)數(shù)據(jù)來尋找濾波器的最優(yōu)解。最小二乘估計(jì)使用確定性思想，而維納濾波使用統(tǒng)計(jì)思想。對(duì)具有遍歷性的平穩(wěn)隨機(jī)過程，當(dāng)觀察樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，兩種方法得到的估計(jì)結(jié)果將趨于一致。37、已知r(0)=1,r(1)=0.5,r(2)=0.5,r(3)=0.25,試用Schur遞歸的簡(jiǎn)化算法求，。解：首先構(gòu)造矩陣=（）第二行右移一位的：=（）得：=-0.5。根據(jù)構(gòu)造矩陣：=（）（）=（）第二行右移一位的：=（）得：=-1/3。38、設(shè)對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)建模時(shí)是用一種特殊的預(yù)測(cè)模型：，為確定系數(shù)，試推導(dǎo)出使均方預(yù)測(cè)誤差最小的正則方程，其中，并給出最小均方預(yù)測(cè)誤差的表達(dá)式。解：取，即代入，得到則：所以正則方程為：即：最小均方誤差表達(dá)式是：39、已知輸入信號(hào)向量的相關(guān)矩陣及與期望響應(yīng)信號(hào)的互相關(guān)向量分別為，且已知期望響應(yīng)的平均功率為。計(jì)算維納濾波器的權(quán)向量。計(jì)算誤差性能面的表達(dá)式和最小均方誤差。解：40、離散時(shí)間的二階AR過程由差分方程描述，式中是一零均值、方差為的白噪聲。證明的功率譜為解：由AR過程的功率譜公式知（式1）式中===（式2）將（式2）代入（式1）中可得：證畢。41、舉例說明卡爾曼濾波在信號(hào)處理中的應(yīng)用答：1.卡爾曼濾波在維納濾波中的應(yīng)用。2．卡爾曼濾波在雷達(dá)目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用。3．卡爾曼濾波在交互多模型算法中的應(yīng)用。4．卡爾曼濾波在數(shù)據(jù)融合中的應(yīng)用。42、某獨(dú)立觀測(cè)序列其均值為m，方差為?，F(xiàn)有兩種估計(jì)算法：算法A：均值估計(jì)為，算法B：均值估計(jì)為請(qǐng)對(duì)這兩種估計(jì)算法的無偏性和有效性進(jìn)行討論。（12分）答：算法A：均值估計(jì)為，則，， 均值估計(jì)是無偏估計(jì) 算法B：均值估計(jì)為，則， 均值估計(jì)是有偏估計(jì) 所以，算法A比算法B更有效。43、求信號(hào)的希爾伯特變換，并驗(yàn)證解析信號(hào)是單邊頻譜。解：解析信號(hào)頻譜=其中顯然，解析信號(hào)是單邊頻譜44、考慮有如下差分方程描述的二階AR（2）過程u（n）：u（n）=u（n-1）-0.5u（n-2）+v（n）其中，v(n)是零均值、方差為0.5的白噪聲。（1）寫出該隨機(jī)過程的Yule-Walker方程。（2）求u（n）的方差。（3）u（n）的功率譜解：（1）改寫方程格式為：u（n）-u（n-1）+0.5u（n-2）=v（n）Yule-Walker方程為：（2）=1.2（3）==45、設(shè)隨機(jī)序列，其中是兩兩互不相關(guān)的隨機(jī)變量且，序列被稱作白噪聲。驗(yàn)證白噪聲序列是平穩(wěn)序列。解：顯然均值函數(shù)為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椴幌嚓P(guān)，所以當(dāng)所以，只是時(shí)間差的函數(shù)，序列是平穩(wěn)的46、若序列x(n)為實(shí)因果序列，h(0)=1，其傅氏變換的虛部為H1(ejω)=—sinω，求序列h(n)及其傅氏變換H(ejω)。解：因?yàn)镠1(ejω)=—sinω=—(ejω—e-jω)=0(n)e-jωh0(n)==-δ(n+1)+δ(n-1),h(n)==所以h(n)=δ(n)+δ(n-1);H(ejω)=1+e-jω47、在測(cè)試正弦信號(hào)的過程中疊加有白噪聲v(n),即測(cè)試結(jié)果為設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)為N=4的有限沖激相應(yīng)濾波器，對(duì)x(n)進(jìn)行濾波后得到，它與s(n)的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激相應(yīng)。解：已知，v(n)是方差為的白噪聲，x(n)=s(n)+v(n)設(shè)h(n)=[h(0),h(1),h(2),h(3)],x(n)=[x(n),x(n-1),x(n-2),x(n-3)]取n=3,則48、已知輸入信號(hào)向量的相關(guān)矩陣及期望響應(yīng)信號(hào)的互相關(guān)向量分別為且已知期望響應(yīng)的平均功率為計(jì)算維納濾波器的權(quán)向量.計(jì)算誤差性能面的表達(dá)式和最小均方誤差.解:維納濾波器的權(quán)向量滿足維納-霍夫方程因此誤差性能面的表達(dá)式為:因此49、簡(jiǎn)述AR模型功率譜估計(jì)的方法答：（1）根據(jù)N點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，得，即（2）用個(gè)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，通過直接矩陣求逆或者按階數(shù)遞推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程得到p階AR模型的參數(shù)估計(jì)值和。（3）將上述參數(shù)帶入AR（p）的功率譜表達(dá)式中，得到功率譜估計(jì)式，即50、簡(jiǎn)述LMS算法答：（1）初始化，權(quán)向量：估計(jì)誤差： 輸入向量： （2）對(duì)權(quán)向量的更新：期望信號(hào)的估計(jì)：估計(jì)誤差：（3）令，轉(zhuǎn)到（2）51、設(shè)是離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明其功率譜密度證明:將通過沖擊響應(yīng)為的LTI的離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)其頻率響應(yīng)為為輸出隨機(jī)過程的功率譜為輸出隨機(jī)過程的平均功率為當(dāng)頻率時(shí)，上式可表示為由于頻率是任意的，所以有52、自適應(yīng)濾波器的性能：（1）失調(diào)量（2）計(jì)算復(fù)雜性（3）對(duì)時(shí)變統(tǒng)計(jì)量的跟蹤能力（4）結(jié)構(gòu)上：高模塊性、并行性等（是否適合硬件實(shí)現(xiàn)）（5）收斂速度（6）數(shù)值特性：數(shù)值穩(wěn)定性（對(duì)字長(zhǎng)效應(yīng)不敏感），數(shù)值精確性（7）魯棒性：對(duì)噪聲干擾不敏感，小能量干擾只能造成小估計(jì)誤差LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的基本原理：（1）自適應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)受誤差信號(hào)e(n)控制（2）根據(jù)e(n)的值而自動(dòng)調(diào)節(jié)，使之適合下一時(shí)刻(n+1)的輸入x(n+1)，以使輸出y(n+1)更接近于期望的響應(yīng)d(n+1)，直至均方誤差E[]達(dá)到最小值（3）y(n)最佳地逼近d(n)，系統(tǒng)完全適應(yīng)了所加入的兩個(gè)外來信號(hào)，即外界環(huán)境。54、設(shè)M=10%（一般M=10%可以滿足大多數(shù)工程設(shè)計(jì)的要求）并設(shè)N=10，問應(yīng)該取多少次迭代數(shù)？解：0.1=得：=25按經(jīng)驗(yàn)實(shí)際迭代次數(shù)應(yīng)取100（=10*濾波器長(zhǎng)度N）或取4。55、（1）什么是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)？答:概率分布不隨時(shí)間推移而變化的信號(hào)，即平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與起始時(shí)間無關(guān)，只與時(shí)間間隔有關(guān)。（2）判斷隨機(jī)信號(hào)是廣義平穩(wěn)的條件？答：1、x(t)的均值是與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)：m（x（t））=C（C為常數(shù)）；2、x（t）的自相關(guān)函數(shù)與起始時(shí)間無關(guān)；3、信號(hào)的瞬時(shí)功率有限；56、已知信號(hào)QUOTEs(n)s(n)的功率譜為QUOTESssz=0.361-0.8z-1(1-0.8z)Sssz=0.361-0.8z-1(1-0.8z)，測(cè)量該信號(hào)時(shí)混入了加性噪聲QUOTEv(n)v(n)，測(cè)量數(shù)據(jù)為QUOTExn=sn+v(n)xn=sn+v(n)，式中，QUOTEv(n)v(n)是均值等于零、方差等于1的白噪聲，且QUOTEv(n)v(n)與QUOTEs(n)s(n)不相關(guān)。試設(shè)計(jì)一因果IIR維納濾波器，由它對(duì)QUOTEx(n)x(n)進(jìn)行處理，以得到對(duì)QUOTEs(n)s(n)的線性最佳估計(jì)。解：（1）求測(cè)量數(shù)據(jù)序列的功率譜并進(jìn)行譜分解QUOTESssz=Ss+vs+vQUOTE=Sssz+SvvQUOTE=2-0.8z-1-0.8z1-0.8z令QUOTE2-0.8z-1-0.8z=σεQUOTE=σε21+f2得聯(lián)立方程QUOTEσε21+f2解之得f=2或0.5，取f=0.5，則得QUOTEσε2=85=1.6故QUOTESsszSssz分解為QUOTESssz=σε由此得出QUOTEBz=1-0.5z-11-（2）對(duì)QUOTESsszBz-1SQUOTESxsz=S（Sx將上式寫成部分分式0.361-0.8因果部分為Sx（3）計(jì)算因果IIR維納濾波器的傳輸函數(shù)Hcz（4）計(jì)算該濾波器的沖擊響應(yīng)hcn（5）計(jì)算最小均方誤差ξmin=1=1=0.45(0.5-0.625z)若不用維納濾波器進(jìn)行處理，直接用QUOTExnxn作為QUOTEs(n)s(n)的估計(jì)，則估計(jì)誤差為en其均方值為QUOTEξn=Ee2n=E可見用維納濾波器后均方誤差約減小為原來的2.7倍或4.3db。57、ARMA(p,q)的模型表達(dá)式為？答：58、Burg算法有什么特點(diǎn)？答：(1)不需要估計(jì)自相關(guān)函數(shù),而是從數(shù)據(jù)直接求解；(2)比自相關(guān)函數(shù)法有更好的分辨率，但會(huì)出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象，對(duì)于高階模型可能產(chǎn)生虛假的峰值；(3)對(duì)于短序列（N較?。?，Burg算法的性能不亞于LD算法的性能，N較大時(shí)，兩者性能相當(dāng)；(4)Burg算法估計(jì)的參數(shù)滿足，即求出的AR模型總是穩(wěn)定的；(5)對(duì)于有噪聲的正弦信號(hào)，Burg算法存在著對(duì)正弦初相位的敏感問題，尤其當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度比較短時(shí)，隨著頻率偏差的增加，這種敏感性就越來越明顯，從而會(huì)導(dǎo)致與相位有關(guān)的頻率偏差。59、AR譜估計(jì)的基本原理是什么？答：AR譜估計(jì)的基本原理是：階的AR模型表示為：其自相關(guān)函數(shù)滿足以下YW方程：取，可得到如下矩陣方程：在實(shí)際計(jì)算中，已知長(zhǎng)度為N的序列，可以估計(jì)其自相關(guān)函數(shù)，再利用以上矩陣方程，直接求出參數(shù)及，于是可求出的功率譜的估計(jì)值。60、求一個(gè)MA(q)過程的最佳線性預(yù)測(cè)器的系數(shù),該預(yù)測(cè)器用無限多個(gè)過去預(yù)測(cè)當(dāng)前值，即：。并證明：該預(yù)測(cè)器等效于。解：求MA(q)的Yual-Walk方程即為MA(q)模型的Yual-Walk方程。設(shè)有MA(q)過程，現(xiàn)在根據(jù)它的p個(gè)已知數(shù)據(jù){x(n-1),x(n-2),…x(n-p)}的線性組合來預(yù)測(cè)x(n)。預(yù)測(cè)系數(shù)按預(yù)測(cè)誤差功率最小準(zhǔn)則來選取，即由正交原理，可得這與MA(q)模型的Yual-Walk方程相同，若二者是有同樣的自相關(guān)值，他們的解必相同，即，即最佳線性預(yù)測(cè)系數(shù)恰等于MA模型參數(shù)，根據(jù)Word分解定理推證，任何MA過程可以用一個(gè)無限階的AR過程表示。即這個(gè)無限階的AR過程可以表示成這個(gè)q階的MA過程。61、適應(yīng)線性組合器的兩個(gè)權(quán)系數(shù)為和。（1）推導(dǎo)最陡下降法權(quán)系數(shù)迭代計(jì)算公式（2）設(shè)=10,=5,=3,,求最佳加權(quán)系數(shù)。(1):由題設(shè)：h(n)=y(n)=則u(n)=h(n)y(n)所以可得最陡下降法解：h(n=1)=h+(I-2μR)h(0)-h-1其中R==-1（2）：h=RP==62、設(shè)隨機(jī)過程為u（n）=Acos(wn+φ)。其中，A和w都是常數(shù)。φ是[0,2π]之間均勻分布的隨機(jī)變量，試求u(n)的均值和自相關(guān)函數(shù)。解：μ(n)=E{u(n)}=E{Acos(wn+φ)}==0r(k,l)=E{u(k)u(l)}=E{Acos(wk+φ)???Acos(wl+φ)}==63、請(qǐng)寫出ARMA的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式，并畫出該模型的電路框圖。答：（1）ARMA的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式：式中，為常數(shù)， （2）該模型的電路框圖如下所示：64、簡(jiǎn)述規(guī)則平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義，主要特征，三種參數(shù)模型（包括差分方程，傳輸函數(shù)，功率譜的表達(dá)形式）答案：（1）定義：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程為，且設(shè)其功率譜為，如果滿足條件，則稱是規(guī)則平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2）主要特征：規(guī)則隨機(jī)過程的功率譜可以寫成如下形式，其中對(duì)應(yīng)得，其零，極點(diǎn)都在單位圓之內(nèi)。規(guī)則隨機(jī)過程的功率譜是的連續(xù)函數(shù)，規(guī)則隨機(jī)過程可以由白噪聲激勵(lì)一個(gè)沖激響應(yīng)的最小相位LTI系統(tǒng)產(chǎn)生。（3）三種參數(shù)模型：AR模型，MA模型，ARMA模型AR模型：差分方程，傳輸函數(shù)，功率譜密度函數(shù)可分別表示為，，MA模型：差分方程，傳輸函數(shù)，功率譜密度函數(shù)可分別表示為，，ARMA模型：差分方程，傳輸函數(shù)，功率譜密度函數(shù)可分別表示為，，65、一接收信號(hào)由描述，其中為v(n)一高斯隨機(jī)噪聲，它具有零均值和未知方差，并且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求信號(hào)s和噪聲方差的最大似然估計(jì)答案：首先，有由此得似然函數(shù)L=ln信號(hào)s和噪聲方差的最大似然估計(jì)分別給出，解得66、定性分析維納濾波器與卡爾曼濾波器的估計(jì)誤差對(duì)系數(shù)的敏感程度答：卡爾曼濾波中估計(jì)誤差對(duì)系數(shù)的敏感程度更大，因?yàn)榭柭鼮V波器是維納濾波的遞推方式，估計(jì)方差在每一次遞推中累積，故對(duì)系數(shù)依賴更強(qiáng)。67、求信號(hào)的希爾伯特變換，并驗(yàn)證解析信號(hào)是單邊頻譜。解：解析信號(hào)頻譜=其中顯然，解析信號(hào)是單邊頻譜68、AR譜估計(jì)的基本原理是什么？與經(jīng)典譜估計(jì)方法相比，其有什么特點(diǎn)？答：（1）AR譜估計(jì)的基本原理是：階的AR模型表示為：其自相關(guān)函數(shù)滿足以下YW方程：取，可得到如下矩陣方程：在實(shí)際計(jì)算中，已知長(zhǎng)度為N的序列，可以估計(jì)其自相關(guān)函數(shù)，再利用以上矩陣方程，直接求出參數(shù)及，于是可求出的功率譜的估計(jì)值。（2）與經(jīng)典譜估計(jì)方法相比，其有以下特點(diǎn)：1.AR譜比經(jīng)典普平滑由于AR譜估計(jì)模型是一個(gè)有理分式，因此其估計(jì)出的譜要比經(jīng)典的平滑。2.AR譜的分辨率經(jīng)典的分辨率為2k/N,2對(duì)應(yīng)于采樣頻率，N為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，AR譜分辨率比經(jīng)典譜要高。3.AR譜的匹配性質(zhì)隨著階數(shù)p的增加，AR譜與真實(shí)譜就越接近，因此理論上總可以用一個(gè)階數(shù)足夠大的AR模型來估計(jì)譜，已達(dá)到任意精度，AR是在真實(shí)譜的上下波動(dòng)，而且反映譜峰的性能比較好。4.AR譜的方差理論分析很困難，相對(duì)地講，其方差反比于N和信噪比5.AR模型的穩(wěn)定性可以證明，如果自相關(guān)矩陣是正定的，則有Yule-Walker方程求出的AR模型是穩(wěn)定的6.AR譜估計(jì)的不足（1）與信號(hào)的信噪比關(guān)系較大，信噪比低，則方差大，分辨率低（2）如果信號(hào)x（n）是含噪聲的正弦信號(hào)，其譜峰易受x（n）初相位的影響，而且可能出現(xiàn)“譜線分裂”的現(xiàn)象（3）譜的質(zhì)量受p的影響大，p取值小，則過于平滑，精度不夠，p太大，則可能會(huì)產(chǎn)生虛假的譜峰。69、已知輸入信號(hào)向量的相關(guān)矩陣及與期望響應(yīng)信號(hào)的互相關(guān)向量分別為，且已知期望響應(yīng)的平均功率為。計(jì)算維納濾波器的權(quán)向量。計(jì)算誤差性能面的表達(dá)式和最小均方誤差。解：（1）維納濾波器的權(quán)向量為誤差性能面的表達(dá)式：最小均方誤差：70、研究?jī)蓚€(gè)周期序列x(n)和y(n)。x(n)的周期為N，y(n)的周期為M。序列w(n)定義為w(n)=x(n)+y(n)。（12分）（a）試證明w(n)是周期性的，且周期為NM。（b）令x(n)的DFS為X(k)，y(n)的DFS為Y(k)，試?yán)肵(k)和Y(k)表示W(wǎng)（k）。解：（a）因?yàn)閣(n+MN)=x(n+MN)+y(n+MN)=x(n)+y(n)=w(n)所以w(n)是以MN為周期的周期序列。（4分）（b）W(k)==（6分）式中第一項(xiàng)：====同理可以得到式中的第二項(xiàng)：=（10分）于是可以得到：W(k)=(12分)71、假設(shè)輸入信號(hào){x(t)}是一個(gè)零均值的高斯白噪聲，其功率譜為Px(f)=N0,且線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為求輸出y(t)=x(t)*h(t)的功率譜密度及協(xié)方差函數(shù)解：由題知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)因此得到由輸出的功率譜與輸入功率譜和系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系，可得輸出的協(xié)方差函數(shù)為功率譜的Fourier反變換，故有由此得到72、已知u(n)滿足AR(2)模型，即滿足如下差分方程：其中，是均值為零、方差為的白噪聲。并且取AR模型階數(shù)，并注意是實(shí)過程，得到二階的Yule-Walker方程為可以解得同樣可以用和來表示和，即73、周期圖譜估計(jì)方法有什么特點(diǎn)？現(xiàn)代譜估計(jì)與經(jīng)典譜估計(jì)有什么本質(zhì)區(qū)別？答：周期圖譜估計(jì)的缺點(diǎn)是：1.頻率分辨率不高2.旁瓣泄露（離散傅里葉變換隱含著對(duì)無限長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行加窗）現(xiàn)代譜估計(jì)以參數(shù)模型為基礎(chǔ)，從根本上摒棄了對(duì)數(shù)據(jù)加窗的隱含假設(shè)，即便是未觀測(cè)的數(shù)據(jù)，不會(huì)認(rèn)為是零，這是其本質(zhì)的區(qū)別。74、簡(jiǎn)答：（1）自適應(yīng)濾波與卡爾曼濾波的思想，以及卡爾曼濾波的優(yōu)點(diǎn)；（2）基于SVD的LS算法與RLS算法的步驟。答：（1）自適應(yīng)濾波是將觀測(cè)數(shù)據(jù)輸入一個(gè)具有M個(gè)權(quán)值的橫向?yàn)V波器，通過對(duì)橫向?yàn)V波器權(quán)向量的設(shè)計(jì)，使濾波器的輸出在某種意義下盡量逼近期望響應(yīng)d（n），或使估計(jì)誤差e（n）在某種意義下最小?？柭鼮V波不用橫向?yàn)V波器對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，而是將觀測(cè)數(shù)據(jù)看成是某個(gè)用狀態(tài)變量方法描述的系統(tǒng)的輸出，通過引入新息過程的概念，采用迭代的方法直接利用觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，即可得到原系統(tǒng)的狀態(tài)向量的估計(jì)。卡爾曼濾波具有收斂速度快、存儲(chǔ)量小等優(yōu)點(diǎn)，此外，卡爾曼濾波不僅適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，而且還是用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2）基于SVD的LS算法的步驟：①由N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)u（1），u（2），…，u（N），構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣，用d（M），d（M+1），…，d（N）構(gòu)造向量。②計(jì)算A的奇異值分解，得到K個(gè)非零奇異值，，以及對(duì)應(yīng)的右奇異向量。③計(jì)算1（θ），θ=b。RLS算法的步驟：①初始化：P（0）=δI∈，δ是小的正數(shù)，，遺忘因子一般取接近于1，如λ=1或λ=0.98等。②當(dāng)n=1,2，…，N時(shí)，完成如下迭代運(yùn)算：k（n）=ξ（n）=d（n）-+k（n）P（n）=P（n-1）-k（n）(n-1)③令n=n+1，轉(zhuǎn)步驟②。75、已知R=，P=，=42。求最佳權(quán)矢量；求最小均方誤差；解：(1)(2)——76、已知窄帶實(shí)信號(hào)和分別為：，，求和的復(fù)包絡(luò)和及預(yù)包絡(luò)和。解：根據(jù)題意知：預(yù)包絡(luò)：復(fù)包絡(luò)：77、舉一反例證明在自相關(guān)法利用自相關(guān)函數(shù)的無偏估計(jì)將不能保證Yule-Walker方程的系數(shù)矩陣正定。解：設(shè)數(shù)據(jù)序列，則其自相關(guān)的無偏估計(jì)為：可求得：，顯然，Yule-Walker方程的系數(shù)矩陣為：

非正定。反之，若采用自相關(guān)的漸近無偏估計(jì)，可計(jì)算得，，則，Yule-Walker方程的系數(shù)矩陣為：正定。78、求信號(hào)的希爾伯特變換，并驗(yàn)證解析信號(hào)是單邊頻譜的。解：故上式表明，信號(hào)的希爾伯特變換為，相當(dāng)于移相90°解析信號(hào)的傅立葉變換為即由此驗(yàn)證了解析信號(hào)z(n)是單邊頻譜的。79、一個(gè)差分濾波器的輸出為，n=1，2，…令的功率譜密度為，求差分濾波器輸出的功率譜密度。解：由題意知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所以系統(tǒng)輸出的功率譜密度為80、一個(gè)簡(jiǎn)單的滑動(dòng)平均過程由下式給出：，n=1，2，…若的功率譜密度為，求的功率譜密度。解：由題意知，是一個(gè)MA(3)過程，并且該有限沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為由此可寫出FIR系統(tǒng)的傳遞函數(shù)于是，輸出的功率譜密度為：81、簡(jiǎn)述最小二乘估計(jì)和維納濾波的區(qū)別；簡(jiǎn)述何時(shí)二者具有一致性，并證明。解：維納濾波是最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性濾波，即通過使濾波器的估計(jì)誤差信號(hào)的平均功率最小，得到權(quán)向量需滿足的維納-霍夫方程，它需要輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性來尋求最優(yōu)濾波。然而在實(shí)際工程中，通常只能獲得有限個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，就需要用到最小二乘估計(jì)了。簡(jiǎn)單說，最小二乘估計(jì)使用確定性思想，而維納濾波使用統(tǒng)計(jì)思想。最小二乘方法（LS估計(jì)）是維納濾波（MMSE估計(jì)）在有限個(gè)觀測(cè)值時(shí)的時(shí)間平均近似，當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，最小二乘估計(jì)將逼近MMSE估計(jì)，兩者得到的估計(jì)結(jié)果趨于一致性。現(xiàn)證明：注意到維納-霍夫方程其中R和p分別是輸入向量的自相關(guān)矩陣和互相關(guān)向量，為，另一方面，最小二乘估計(jì)中的確定性正則方程為上式等號(hào)兩邊除以時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度，有考慮數(shù)據(jù)矩陣A的表示式、隨機(jī)過程的自相關(guān)矩陣R，以及和期望相應(yīng)的互相關(guān)向量p，在有限個(gè)觀測(cè)樣本時(shí)的時(shí)間平均估計(jì)值可表示為和如果隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，有，因此，當(dāng)觀測(cè)樣本數(shù)趨于無窮大時(shí)，確定性正則方程逼近維納-霍夫方程，最小二乘估計(jì)逼近維納濾波，兩者得到的估計(jì)結(jié)果趨于一致性。82、簡(jiǎn)述維納濾波基本概念及其優(yōu)缺點(diǎn)答案：維納濾波基本概念：從噪聲中提取信號(hào)波形的各種估計(jì)方法中，維納（Wiener）濾波是一種最基本的方法，適用于需要從噪聲中分離出的有用信號(hào)是整個(gè)信號(hào)（波形），而不只是它的幾個(gè)參量。設(shè)維納濾波器的輸入為含噪聲的隨機(jī)信號(hào)。期望輸出與實(shí)際輸出之間的差值為誤差，對(duì)該誤差求均方，即為均方誤差。因此均方誤差越小，噪聲濾除效果就越好。為使均方誤差最小，關(guān)鍵在于求沖激響應(yīng)。如果能夠滿足維納－霍夫方程，就可使維納濾波器達(dá)到最佳。根據(jù)維納－霍夫方程，最佳維納濾波器的沖激響應(yīng)，完全由輸入自相關(guān)函數(shù)以及輸入與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)所決定。維納濾波優(yōu)缺點(diǎn)：維納濾波器的優(yōu)點(diǎn)是適應(yīng)面較廣，無論平穩(wěn)隨機(jī)過程是連續(xù)的還是離散的，是標(biāo)量的還是向量的，都可應(yīng)用。對(duì)某些問題，還可求出濾波器傳遞函數(shù)的顯式解，并進(jìn)而采用由簡(jiǎn)單的物理元件組成的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成維納濾波器。維納濾波器的缺點(diǎn)是，要求得到半無限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的全部觀察數(shù)據(jù)的條件很難滿足，同時(shí)它也不能用于噪聲為非平穩(wěn)的隨機(jī)過程的情況，對(duì)于向量情況應(yīng)用也不方便。因此，維納濾波在實(shí)際問題中應(yīng)用不多。實(shí)現(xiàn)維納濾波的要求是：1.輸入過程是廣義平穩(wěn)的2.輸入過程的統(tǒng)計(jì)特性是已知的。根據(jù)其他最佳準(zhǔn)則的濾波器亦有同樣要求83、設(shè)實(shí)隨機(jī)過程滿足，其中，是零均值，方差為1的白噪聲，。試計(jì)算：（1）的自相關(guān)函數(shù)值。（2）求。解：（1）是零均值，方差為1的白噪聲，則的功率譜密度為=1，的自相關(guān)函數(shù)為兩邊做z變換得，解得（收斂域?yàn)椋┓醋儞Q得的自相關(guān)函數(shù)值所以由的功率譜密度得所以。84、x(n)=QUOTEa1a1x(n-1)+QUOTEa2a2x(n-2)+w(n)描述，式中w(n)是一零均值、方差為QUOTEσw2σw2的白噪聲。證明x(n)的功率譜為Px解：由AR過程的功率譜公式知Px式中，QUOTE|1-a1e-j2πf-a=(QUOTE1-a1e-j2πf-a2e-j4πf1-a1e-j2πf=QUOTE1+a12+a22-a2e-j4πf+所以，P85、一個(gè)簡(jiǎn)單的滑動(dòng)平均過程由下式給出若功率譜密度為，求的功率譜密度。解：由系統(tǒng)方程知系統(tǒng)沖激響應(yīng)為由此可寫出FIR系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為于是，輸出的功率譜密度為所以,輸出的功率譜密度為86、對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為，自協(xié)方差函數(shù)為，（1）當(dāng)時(shí)，有：=，＝。（2）當(dāng)時(shí)，有：=，＝。87、高斯–馬爾可夫信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為，其均值，均方值,方差。其一階概率密度函數(shù)的表達(dá)式為：。88、判斷哪個(gè)是最小相位系統(tǒng)，哪個(gè)是最大相位系統(tǒng)，哪個(gè)是非最小相位系統(tǒng)。解：89、設(shè)計(jì)維納濾波器時(shí)使用的正交性原理是指：在最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則下，誤差e(n)與每一個(gè)輸入樣本x(n-k)都是正交的。90、信號(hào)建模的大多數(shù)方法將已知的數(shù)據(jù)序列x(n)，n=0,1，……，N-1表示成有理式線性系統(tǒng)解答：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)記作x(n),則由題意知，沖激響應(yīng)滿足差分方程：綜合寫作矩陣方程組得：將p=2,q=2和{x(n)}={1,-2,3,-4,5}代入矩陣方程式，則代入前面的方程，則有：91、證明：Burg法估計(jì)的反射系數(shù)的模總是小于或等于1的。證明：根據(jù)課本上Burg公式（5.2.26）得到反射系數(shù)的Burg估計(jì)公式（5.2.31）對(duì)公式取模分母第二個(gè)表達(dá)式可以添加共軛符號(hào)對(duì)分母運(yùn)用不等式性質(zhì)92、94、（1）一級(jí)聯(lián)線性系統(tǒng)如圖（a）所示，若輸入信號(hào)的功率譜密度為，試用和子系統(tǒng)傳遞函數(shù),表示系統(tǒng)輸出的功率譜密度。（2）考慮圖（b）所示的反饋線性系統(tǒng)，試用的功率譜密度和子系統(tǒng)傳遞函數(shù)，，表示的功率譜密度。級(jí)聯(lián)線性系統(tǒng)（b）反饋線性系統(tǒng)解答：對(duì)于（a）所示的級(jí)聯(lián)線性系統(tǒng)，兩個(gè)子系統(tǒng)聯(lián)合后的合成系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為。因此，輸出的功率譜密度為：對(duì)于（b）,可以寫出的反饋輸出為與的沖激響應(yīng)的卷積，即等于*。由于是利用激勵(lì)系統(tǒng)的輸出，故可以寫出系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系作Fourier變換后，得從而有兩邊取模后平方，則利用功率譜密度關(guān)系和,即可將上式改寫作利用上式易知95、答案：96、簡(jiǎn)述功率譜估計(jì)的方法。答案：功率譜估計(jì)可以分為經(jīng)典譜估計(jì)方法與現(xiàn)代譜估計(jì)方法。經(jīng)典譜估計(jì)中最簡(jiǎn)單的就是周期圖法，周期圖法即對(duì)N點(diǎn)數(shù)據(jù)作傅里葉變換（即頻譜），然后取頻譜與其共軛的乘積，就得到功率譜的估計(jì)；然后是BT法，先計(jì)算N點(diǎn)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，然后取自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即得功率譜的估計(jì)。周期圖法估計(jì)出的功率譜在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較大時(shí)，譜曲線起伏加劇，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較小時(shí)分辨率比較低。BT法通過加窗實(shí)現(xiàn)了對(duì)周期圖法的平滑，改進(jìn)了方差特性。另外一種改進(jìn)方式，可以將觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，分別計(jì)算功率譜，再計(jì)算平均值作為整段數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)。根據(jù)分段是否重疊等，主要有Bartlett法、Welch法等。通過分段加窗可以減小頻率泄漏，改善估計(jì)譜曲線的光滑性，大大提高譜估計(jì)的分辨率。現(xiàn)代譜估計(jì)主要針對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)分辨率低和方差性不好提出的，可以極大的提高估計(jì)的分辨率和平滑性?？梢苑譃閰?shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)。參數(shù)模型譜估計(jì)有AR模型，MA模型，ARMA模型等，其基本思想是：認(rèn)為隨機(jī)過程是白噪聲通過LTI離散時(shí)間系統(tǒng)得到的響應(yīng)，利用觀測(cè)樣本估計(jì)出模型的參數(shù)（即得到了系統(tǒng)頻率響應(yīng)），再求得白噪聲的功率譜即可以得到隨機(jī)過程的功率譜。非參數(shù)模型譜估計(jì)有最小方差無失真響應(yīng)算法MVDR、基于相關(guān)矩陣特征分解的MUSIC算法等。97、若輸入一個(gè)均值為零，方差為σ^2的白噪聲v(n),通過一個(gè)LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，求輸出隨機(jī)過程u(n)的自相關(guān)函數(shù)的Z變換及u(n)的功率譜。解答：v(n)的自相關(guān)函數(shù)和Z變換為：r（m)=σ^2*δ(t),Sv（z）=σ^2輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)的Z變換為：Su（z）=H(z).H*(1/z*).σ^2u(n)的功率譜為：Su(w)=|H(w)|^2.σ^298、設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)由下列差分方程描述。求：（1）系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；（2）輸入為時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)；（3）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：（1）令，則有，遞推計(jì)算出…。(2)將代入得：由（2）結(jié)果得99、設(shè)自適應(yīng)線性組合器的兩個(gè)權(quán)系數(shù)為和。（1）推導(dǎo)最陡下降法權(quán)系數(shù)迭代計(jì)算公式（2）設(shè)，求最佳加權(quán)系數(shù)。（3）若取1/6，能保證迭代運(yùn)算收斂嗎？還可以選擇別的值嗎？（4）取1/6，求權(quán)系數(shù)計(jì)算公式，并討論收斂速度。答案：（1）：由題設(shè)：，則所以可得最陡下降法解：其中（2）：（3）：由于則可得到所以的取值范圍為：0<<當(dāng)=時(shí)迭代公式收斂（4）：=時(shí)100、AR譜估計(jì)中的虛假譜峰是怎樣產(chǎn)生的？怎樣避免產(chǎn)生虛假譜峰？譜線分裂的原因是什么？相位怎樣影響譜線的位置？如何減少這種影響？怎樣避免譜線分裂？噪聲對(duì)AR譜估計(jì)有什么影響？怎樣減少這種影響？答：1．如果自相關(guān)函數(shù)的取樣值的估計(jì)沒誤差，模型參數(shù)的估計(jì)在理論上應(yīng)該為：，但是實(shí)際上自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)是有誤差的，這使得對(duì)大于P的值有，相應(yīng)的也會(huì)產(chǎn)生n-p個(gè)額外的極點(diǎn)在單位圓附近，這樣就會(huì)形成虛假譜峰。2．要避免產(chǎn)生虛假譜峰，要求模型的技術(shù)不宜過高，最高不超過N/2，其中N是觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。3．如果估計(jì)的隨機(jī)過程是由一個(gè)正弦信號(hào)疊加噪聲構(gòu)成的，那么對(duì)某些算法會(huì)觀察到AR譜估計(jì)中存在兩個(gè)靠的很近的譜峰，似乎在隨機(jī)過程中還存在著另一個(gè)正弦信號(hào)，這種現(xiàn)象叫譜線分裂。原因有高信噪比，正弦分量初相位為π/4的奇數(shù)倍，數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度為正弦分量的1/4周期的奇數(shù)倍，估計(jì)的AR參數(shù)數(shù)目與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相比占有較大的百分比，虛假譜峰常伴隨著譜線分裂現(xiàn)象，這與觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度太短有關(guān)。4．AR譜估計(jì)中譜峰出現(xiàn)的位置與正弦信號(hào)的初相位有著很密切的關(guān)系，譜峰位置對(duì)相位的依賴性隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加而減少，一般認(rèn)為譜峰對(duì)相位的依賴是由正弦信號(hào)的正負(fù)頻率成分之間的相互作用引起的。5．解決的方法是用解析信號(hào)代替真實(shí)信號(hào)，對(duì)解析信號(hào)進(jìn)行欠抽樣，并利用復(fù)數(shù)據(jù)進(jìn)行AR譜的估計(jì)。這樣就不要求有復(fù)共軛極點(diǎn)，而模型的階數(shù)可減少一半。另一種方法是對(duì)Burg算法的反射系數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行修改，用一實(shí)值窗函數(shù)加權(quán)。6．通過增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，或者利用向前和向后最小二乘算法和Marple遞推算法。7．AR譜估計(jì)方法對(duì)觀測(cè)噪聲比較敏感，噪聲會(huì)使譜峰展寬，從而導(dǎo)致分辨率下降，而且會(huì)使譜峰偏離正確的位置。8．減少噪聲對(duì)AR譜估計(jì)的影響一般使用四種方法：一、采用ARMA譜估計(jì)方法；二、對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波減小噪聲；三、采用高階AR模型；四、補(bǔ)償自相關(guān)函數(shù)或者反射系數(shù)估計(jì)中噪聲的影響。101、已知