專題13實數(shù)（6個知識點4種題型5個中考考點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.無理數(shù)知識點2實數(shù)的定義及分類（重點）知識點3.實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系（難點）知識點4.實數(shù)的有關(guān)概念（重點）知識點5.比較實數(shù)的大?。ㄖ攸c）知識點6.實數(shù)的運算（重點）【方法二】實例探索法題型1.實數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用題型2.比較實數(shù)的大小【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法5實數(shù)的運算【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標】了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道無理數(shù)是客觀存在的，會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)。知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系。會用計算器比較實數(shù)的大小，進行簡單的實數(shù)運算?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.無理數(shù)（1）、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2＝1.414213562．②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能．（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，如分數(shù)π2是無理數(shù)，因為π是無理數(shù)．無理數(shù)常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數(shù)，如2π．注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果．如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)．【例1】（2021秋?梁溪區(qū)期末）在0、、（每兩個0之間的1依次增加）、、中，無理數(shù)的個數(shù)有A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式】（2021秋?姑蘇區(qū)校級期末）在實數(shù)，，0，，，中，有理數(shù)的個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個知識點2實數(shù)的定義及分類（重點）（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．（2）實數(shù)的分類：實數(shù)：或?qū)崝?shù)：【例2】（2021秋?東臺市月考）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，0，，，，，，，有理數(shù)集合：，0，，，，，；無理數(shù)集合：；整數(shù)集合：；分數(shù)集合：．【變式】（2021秋?吳江區(qū)月考）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的大括號中．，，0，，，，，，，，，．（1）正數(shù)集合：，，，，，，；（2）負數(shù)集合：；（3）負整數(shù)集合：；（4）非負分數(shù)集合：；（5）無理數(shù)集合：．知識點3.實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系（難點）（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。纠?】（2022春?海安市校級月考）實數(shù)，，，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，其中互為相反數(shù)的兩個數(shù)是A．和 B．和 C．和 D．和【變式】（2022?江都區(qū)一模）如圖，數(shù)軸上、、、四個點中可能表示實數(shù)的點是A．點 B．點 C．點 D．點知識點4.實數(shù)的有關(guān)概念（重點）（1）在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（2）實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．（3）實數(shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實數(shù)的倒數(shù)乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．【例4】（2022春?江津區(qū)期中）下列各組數(shù)中相等的是A．與 B．與 C．與 D．與【變式】（2022春?如皋市校級月考）已知，是11的平方根，且，求的值．知識點5.比較實數(shù)的大小（重點）實數(shù)大小比較（1）任意兩個實數(shù)都可以比較大?。龑崝?shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比大小，絕對值大的反而?。?）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。纠?】（2022春?亭湖區(qū)校級月考）比較大?。孩佗凇咀兪健浚?022春?泗陽縣月考）若，，，則、、的大小關(guān)系是．知識點6.實數(shù)的運算（重點）（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．【例6】．（2022春?崇川區(qū)校級期中）計算：（1）；（2）．【變式】．（2022春?海安市校級月考）計算：（1）；（2）．【方法二】實例探索法題型1.實數(shù)與數(shù)軸的綜合應(yīng)用1．（2021秋?泗陽縣期末）無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)是．2．（2021秋?六合區(qū)期中）在數(shù)軸上畫出表示、的點，并標上必要的數(shù)據(jù)．3．（2021?鹽城）如圖，點是數(shù)軸上表示實數(shù)的點．（1）用直尺和圓規(guī)在數(shù)軸上作出表示實數(shù)的點；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）利用數(shù)軸比較和的大小，并說明理由．4．（2020秋?泰興市期中）（1）求出下列各數(shù)：①的立方根；②5的平方根；③4的算術(shù)平方根．（2）將（1）中求出的每一個數(shù)準確地表示在數(shù)軸上（可通過構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形準確地找到無理數(shù)所對應(yīng)的點），并用連接大小．題型2.比較實數(shù)的大小5．（2022春?沭陽縣月考）規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：，，．（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征：，，，并作出了如下的證明：設(shè)，，則，即，所以，即．所以，，．試解決下列問題：①計算，，；②若令，，，試探索，，與的大小關(guān)系．6．（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較與的大?。∪A的方法是：因為，所以2，所以（填“”或“”；小英的方法是：，因為，所以0，所以0，所以（填“”或“”．（1）根據(jù)上述材料填空；（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較與的大?。?．（2021秋?亭湖區(qū)校級月考）六個數(shù)：，，，，，（相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加，若其中無理數(shù)的個數(shù)為，整數(shù)的個數(shù)為，非負數(shù)的個數(shù)為，則68．（2021秋?射陽縣校級期末）已知實數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值為，求代數(shù)式的值．9．（2022春?如皋市校級月考）已知，是11的平方根，且，求的值．10．（2022秋·八年級單元測試）如圖，，過點P作且，得；再過點作且，得；又過點作且，得…依此法繼續(xù)作下去，得等于（

）A． B． C． D．11．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第5行從左至右第2個數(shù)是；第9行從左至右第8個數(shù)是．12．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）觀察下列各式：①②③根據(jù)上面三個等式，猜想的結(jié)果為．13．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）設(shè)n是正整數(shù)，則按整數(shù)部分的大小可以這樣分組：整數(shù)部分為1：，，；，，…，．整數(shù)部分為2：，，…；，，…．整數(shù)部分為3：，，…；，，…．(1)若的整數(shù)部分為4，則n的最小值、最大值分別是多少？(2)若的整數(shù)部分為5，則n可能的值有幾個？【方法三】仿真實戰(zhàn)法1．（2022?連云港）寫出一個在1到3之間的無理數(shù)：．2．（2019?蘇州）的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．﹣ D．3．（2023?揚州）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a4．（2023?常州）下列實數(shù)中，其相反數(shù)比本身大的是（）A．﹣2023 B．0 C． D．20235．（2023?徐州）如圖，數(shù)軸上點A、B、C、D分別對應(yīng)實數(shù)a、b、c、d，下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|6．（2023?連云港）如圖，數(shù)軸上的點A、B分別對應(yīng)實數(shù)a、b，則a+b0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）7．（2023?南通）如圖，數(shù)軸上A，B，C，D，E五個點分別表示數(shù)1，2，3，4，5，則表示數(shù)的點應(yīng)在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上8．（2023?徐州）的值介于（）A．25與30之間 B．30與35之間 C．35與40之間 D．40與45之間考法5實數(shù)的運算9．（2023?常州）計算：（﹣1）0+2﹣1＝．10．（2023?蘇州）計算：|﹣2|﹣+32．11．（2023?連云港）計算|﹣4|+（π﹣）0﹣（）﹣1．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）若，則x的值是（

）A．100 B． C．±100 D．3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）估計的值應(yīng)在（

）A．和4之間 B．4和之間C．和5之間 D．5和之間4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在和中介于5和6之間的無理數(shù)有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知a是的小數(shù)部分，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．6．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）實數(shù)a，b在數(shù)軸上表示如圖，則（）A． B． C． D．7．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小，錯誤的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比為，下列各數(shù)中最接近于的是（

）A． B． C． D．9．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）與最接近的整數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．810．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）對于實數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，如，，，現(xiàn)對82進行如下操作：，這樣對82只需進行3次操作后變?yōu)?，類似地，對121只需進行多少次操作后變?yōu)?（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．（2022秋·江蘇徐州·八年級?？计谥校┯嬎悖?2．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）若，其中是正整數(shù)，則的值是．13．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）若將三個數(shù)，，表示在數(shù)軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是．14．（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）利用圖中的網(wǎng)格比較大?。海ㄌ睢埃尽?、“＜”或“＝”）．15．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）比較大?。海ㄌ臁埃尽薄埃肌被颉埃健保?6．（2018秋·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）長方體的長為，寬為，高為，點B離點C，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．17．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）對于任意實數(shù)對和，規(guī)定運算“”為；運算“⊕”為⊕，，．例如，，，；⊕，，．若，，，，則⊕．18．（2023春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線于點，，點是直線上一動點，以為邊向上作等邊，連接，則的最小值為．三、解答題19．（2023秋·江蘇南京·八年級南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)．20．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：．有理數(shù)集合：{

，…}；無理數(shù)集合：{

，…}；正實數(shù)集合：{

，…}；負實數(shù)集合：{

，…}．21．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解．，即．

，的整數(shù)部分為1，

的小數(shù)部分為．解決問題：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．22．（2022秋·江蘇淮安·八年級校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個問題：“通過探究知道：，它是無限不循環(huán)小數(shù)，也叫無理數(shù)，它的整數(shù)部分是1，那么有誰能說出它的小數(shù)部分是多少”，小明舉手回答：它的小數(shù)部分我們無法全部寫出來，但可以用來表示它的小數(shù)部分，張老師夸獎小明真聰明，肯定了他的說法．現(xiàn)請你根據(jù)小明的說法解答：(1)的小數(shù)部分是多少，請表示出來．(2)為的小數(shù)部分，為的整數(shù)部分，求的值．(3)已知，其中是一個正整數(shù)，，求的值．23．（2023春·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，我們要學(xué)會總結(jié)，不斷地歸納、思考和運用，這樣才能提高我們解決問題的能力，小明在研究某問題時經(jīng)歷了如下過程：【自主學(xué)習(xí)】比較大?。孩?；②③通過上面三個計算，小明猜想：對任意的正實數(shù)、，總有，【獨立探究】小明進一步探索得到：①若函數(shù)（，）則當時，該函數(shù)有最小值為．②已知函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)則當=時，函數(shù)取得最小值為．（都填具體數(shù)值）【學(xué)以致用】某學(xué)校因先