第22講相似三角形的性質(zhì)一個(gè)專心鉆研教材的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但是又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。-------玻利亞知識(shí)縱橫兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)邊之比稱為它們的相似比，可以想到這兩個(gè)相似三角形中其他一些對(duì)應(yīng)元素也與相似比有一定的關(guān)系。相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；相似三角形面積之比等于相似比的平方。以上諸多相似三角形的性質(zhì)，豐富了與角、面積等相關(guān)的知識(shí)方法，開闊了研究角、面積等問題的視野。例題求解【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是__________.思路點(diǎn)撥平分線與垂直重合，為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造了條件，解題的關(guān)鍵是將線段比轉(zhuǎn)化為面積比?！纠?】如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）B、C、D、思路點(diǎn)撥充分運(yùn)用直角構(gòu)造相似三角形?！纠?】如圖，已知△ABC的面積為s，周長(zhǎng)為p，△A’B’C’的三邊在△ABC外，且與對(duì)應(yīng)邊的距離均為h，求△A’B’C’的周長(zhǎng)的面積。（上海市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線是△A’B’C’三個(gè)內(nèi)角的平分線，設(shè)它們的交點(diǎn)為I，可以證明I也為△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，設(shè)I到△ABC、△A’B’C’距離分別為r、r’，則r’=r+h，且，這是解本題的關(guān)鍵?！纠?】如圖，在△ABC的內(nèi)部選取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作3條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得的3個(gè)三角形t1、t2、t3的面積分別為4、9和49，求△ABC的面積。（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥圖中有相似三角形、平行中邊形，通過相似三角形性質(zhì)建立面積關(guān)系式，關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇相似比，注意等線段的代換，追求形式上的統(tǒng)一。、【例5】如圖，已知△ABC中，O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，求證：BC2=AC·AB。（2011年北京大學(xué)自主招生試題）[例6]如圖，已知正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于D，設(shè)BD=a,AD=h,EH=x.求證：；求證:學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實(shí)1、如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2cm，CD=6cm,點(diǎn)P到CD的距離為2.7cm，則AB與CD之間的距離是_____________.(蕪湖市中考題)2、如圖，要將等腰RT△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=，S△PB1C=2，則BB1=____________.3、在ABCD中,點(diǎn)E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,則為__________.4、如圖，ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分別為∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分線，AE與DM相交于點(diǎn)F，BE與CM相交于點(diǎn)N，連接EM．若ABCD的周長(zhǎng)為42cm，F(xiàn)M=3cm，EF=4cm，則EM=______cm，AB=______cm．5、已知△ABC∽△A’B’C’，△A’B’C’的面積為6cm2，周長(zhǎng)是△ABC的一半，AB=8cm，則AB邊上的高為（）A、3cmB、6cmC、9cmD、12cm(南通市中考題)如圖，已知△ABC的面積是12，點(diǎn)E、I分別在邊AB、AC上，在BC邊上依次作了n個(gè)全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為()A、B、C、D、如圖，在斜邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形OAB中，作內(nèi)接正方形；在等腰直角三角形中，作內(nèi)接正方形；在等腰直角三角形中，作內(nèi)接正方形；…；依次作下去，則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是（）A、B、C、D、有這種培優(yōu)競(jìng)賽講義一整套小學(xué)初中的含答案最新的需要的可以聯(lián)系我46~8453~607微信13699~77~1074答案找我要8、如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O，設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C．

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），此時(shí)的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，試判斷的值是否隨著α的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說明理由．10、如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A、C不重合），Q點(diǎn)在BC上。（1）當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP長(zhǎng)；（3）試問：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ長(zhǎng)。11、(1)同一時(shí)刻兩根木桿在太陽(yáng)光下的影子如圖所示，其中木桿AB=2米，它的影子BC=1.6m，木桿PQ的影子有一部分落在墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，求木桿PQ的長(zhǎng)度為_________m。（2）如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2m的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52m，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2m到點(diǎn)G處，在G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4m到點(diǎn)H處，在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是______米．能力拓展12、如圖，一個(gè)含30°角的直角三角形，它的斜邊AB=8cm，里面空心△DEF各邊與△ABC的對(duì)應(yīng)邊平行，且各對(duì)應(yīng)邊距離都是1cm，那么△DEF的周長(zhǎng)是____cm.13、如圖，在△ABC中，DE∥FG，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為20cm2、40cm2、80cm2，則△ABC的面積為____________.14、如圖，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若AC、BC上的中線BE、AD垂直相交于點(diǎn)O，則c可用a、b的代數(shù)式表示為_____________.(第19屆江蘇省競(jìng)賽題)15、如圖，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE、DF分別交AG于P、Q，以下說法中不正確的是（）A、AG⊥FDB、AQ：QG=6：7C、EP：PD=2：11D、S四邊形GCDQ：S四邊形BGQF=17：9（重慶市競(jìng)賽題）16、如圖，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中點(diǎn)，DE⊥AM于E，則DE=（）A、B、C、D、（山東省競(jìng)賽題）17、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠C的平分線，則△DBC的面積與△ABC的面積之比是（）A、B、C、D、如圖,矩形ABCD中,∠ACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)處,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板,并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC所在的直線相交,交點(diǎn)分別為E,F．

（1）當(dāng)PE⊥AB,PF⊥BC時(shí),如圖1,則

的值為______

；

（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角,如圖2,求的值；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)60°＜α＜90°,且使AP：PC=1：2時(shí),如圖3,

的值是否變化?證明你的結(jié)論．19、如圖，銳角△ABC中，AD⊥BC于D，H是線段AD上一點(diǎn)，BH和CH的延長(zhǎng)線分別交AC、AB為E、F。過點(diǎn)E作EP⊥BC分別交CF、BC于點(diǎn)M、P，過點(diǎn)F作FQ⊥BC分別交BE、BC于點(diǎn)N、Q，求證：（1）；（2）∠EDH=∠FDH。20、已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；

如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論；

如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請(qǐng)直接寫出的值．綜合創(chuàng)新如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）.（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的