專題03相交線與平行線中的M模型(含鋸齒型)內(nèi)容導航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導航：模型分析→典例分析→模型演練【模型1】M型(1)如圖，已知AB//CD,BF與DF相交于點F→∠B+∠D=∠BFD如圖，延長BF交CD于點G又∵∠BFD=∠FGD+∠D∴∠BFD=∠B+∠D(2)如圖，已知∠B+∠D=∠BFD,BF與DF相交于點F→AB//CD如圖，延長BF交CD于點G又∵∠BFD=∠FGD+∠D【例3】問題情境：如圖①,直線AB//CD,點E,F分別在直線AB,CD上.(1)猜想：若∠1=130°,∠2=150°,試猜想∠P=°;(2)探究：在圖①中探究∠1,∠2,∠P之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②,若∠1+∠2=325°,∠EPG=75°,求∠PGF的度數(shù).【分析】(1)過點P作MN//AB,利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關系，就可以解決此問；(3)分別過點P、點G作MN//AB、KR//AB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關系即可.【解析】(1)解：如圖過點P作MN//AB,故答案為：80°;∠P=360?-∠1-∠2.∴AB//MN/故答案為：140°.【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解.∴∠AED=∠C+∠D=85°,故(2)正確，∴∠A=∠CED+∠D,故(3)正確，∴AE無法判斷等于CE,∠BED無法判斷等于45°,故(1)、(4)錯誤，A.β=a+γB.β=α+y-90°3.如圖，已知直線a//b,∠1=40°,∠2=60°.則∠3等于()A.100°B.60°C.40°.正確的個數(shù)是()A.4B.3綜上，①②③④都正確，共4個，二、填空題/BED=【分析】過E點作EM//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D,義可求得∠B+3∠D=132°,結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解.則利用角平分線的定【解析】解：過E點作EM//AB,【解析】解：(1)如圖，過點P作一條直線PM平行于AB,(2)如圖，過點P、Q作PM、QN平行于AB,8.(1)已知：如圖(a),直線DE//AB.求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)如圖(b),如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果?你還能【答案】(1)見解析；(2)當點C在AB與ED之外時，∠ABC-∠CDE=∠BCD,見解析【分析】(1)由題意首先過點C作CF//AB,由直線AB//ED,可得AB//CF//DE,然后由(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠ABC=∠BFD,然后根據(jù)三角形外角【解析】解：(1)證明：過點C作CF//AB,(2)結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD,,若點C在直線AB與DE之間，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,9.如圖，AB//CD,點E在直線AB,CD內(nèi)部，且AE⊥CE.(1)如圖1,連接AC,若AE平分∠BAC,求證：CE平分∠ACD;①若∠MCE=∠ECD,當直角頂點E移動時，∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關系?并說的數(shù)量關系?并說明理由.。,。,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°,再根據(jù)AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°,根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°,繼而求得∠DCE=∠ECA;(2)①過E作EF//AB,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案；②過E作EF//AB,先利用平行線的傳遞性得出EF//AB//CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.【解析】(1)解：因為AB//CD,因為AE⊥CE,所以∠EAC+∠ECA=90°,因為AE平分∠BAC,所以CE平分∠ACD;(2)①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關系：10.已知直線l//l?,A是l?上的一點，B是l?上的一點，直線l?和直線l,l直線CD上有一點P.(1)如果P點在C,D之間運動時，問∠PAC,∠APB,∠PBD有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由.(2)若點P在C,D兩點的外側(cè)運動時(P點與C,D不重合),試探索∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關系又是如何?(請直接寫出答案，不需要證明)過點P作PE//L,如圖1所示.∵PE1/L?,l,IIl?:①當點P在直線1上方時，如圖2所示.過點P作PE//L.②當點P在直線l?下方時，如圖3所示.過點P作PE//I.∵PE1I,l?IIl?11.如圖1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,如圖2,過P作PE如圖2,過P作PE//AB,(1)請你按小明的思路，寫出∠APC度數(shù)的求解過程；備用圖①當點P在線段BD上運動時，則∠APC與∠a、∠β之間有何數(shù)量關系?請說明理由；【答案】(1)見解析；(2)①∠APC=∠a+∠β,見解析；②∠APC=|∠a-∠β【分析】(1)過P作PE/IAB,利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；(2)①過P作PE/IAB,再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案；②分P在BD延長線上和P在【解析】解：(1)如圖2,過P作PE//AB(2)①、∠APC=∠a+∠β,備用圖1延長線上時，∠APC=∠a-∠β;備用圖2一點.(1)當點E在MN上時，如圖1所示，請直接寫出∠MEN,∠CNE,∠AME之間的數(shù)量關【答案】(1)∠MEN=∠CNE+∠AME;(2)∠MEN=∠CNE+∠AME,證明見解析；(3)(2)過點E作直線EF//AB,則EF//CD,由(3)過點E作直線EG//AB,則EG//CD,由平行線的性質(zhì)即可得解.【解析】解：(1)如圖1,∠MEN=∠CNE+∠AME,(2)如圖2,∠MEN=∠CNE+∠AME,證明如下：(3)如圖3,∠MEN+∠CNE+∠AME=360°,證明如下：過點E作直線EG//AB,則EG//CD,13.如圖1,已知AB//CD,∠B=30°,∠D=120°;數(shù).【分析】(1)如圖1,分別過點E,F作EM//AB,FNI1AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,∠D+∠DFN=180°,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,由AB1ICD,AB/IFN,得到CDIIFN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°,于是得到結(jié)論；(3)如圖2,過點F作FH//EP,設∠BEF=2x°,則∠EFD=(2x+30)°,根據(jù)角平分線的定義得到,,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEF=∠EFH=x?,∠P=∠HFG,于是得到結(jié)論.【解析】(1)解：如圖1,分別過點E,F作EM//AB,FN/1AB,又∵AB//CD,AB1/FN,故答案為：90°;(2)解：如圖1,分別過點E,F作EM//AB,FN/1AB,(3)解：如圖2,過點F作FH//EP,由(2)知，∠EFD=∠BEF+30°,設∠BEF=2x°,則∠EFD=(2x+30)°,:·:·,14.如圖1,點A、B分別在直線GH、MN上，∠GAC=∠NBD,∠C=∠D.-H-HN圖1MM圖2圖3(1)求證：GH//MN;(提示：可延長AC交MN于點P進行證明)(2)如圖2,AE平分∠GAC,DE平分∠BDC,若∠AED=∠GAC,求∠GAC與∠ACD之(3)在(2)的條件下，如圖3,BF平分∠DBM,點K在射線BF上，若∠AKB=∠ACD,直接寫出∠GA或【答案】(1)見解析；(2)∠ACD=3∠GAC,見解析；(3)或【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；得到∠BDQ=∠E+∠EAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得∠CDB=2∠E+∠GAC,結(jié)合已知即(3)分當K在直線GH下方和當K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可.【解析】解：(1)如圖1,延長AC交MN于點P,(2)延長AC交MN于點P,交DE于點Q,圖2(3)當K在直線GH下方時，如圖，設射線BF交GH于I,圖3,【答案】(1)65°(2)(3)2n∠M+∠BED=360°【分析】(1)首先作EG//AB,FH//AB,利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分線的定