第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析§5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念§5-2系統(tǒng)的穩(wěn)定條件§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)——勞斯判據(jù)§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-6控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性主要內(nèi)容◆明確系統(tǒng)穩(wěn)定的概念和穩(wěn)定的條件；◆熟練掌握勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)；◆熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)以及對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)；◆掌握相位穩(wěn)定裕量和幅值穩(wěn)定裕量的定義及其計算。

第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析本章基本要求控制系統(tǒng)能工作的首要條件是穩(wěn)定——非常重要?！?-1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念如果一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，經(jīng)過充分長的時間，系統(tǒng)又能夠以一定的精度逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？刂葡到y(tǒng)能工作的首要條件是穩(wěn)定——非常重要?！?-1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念由于穩(wěn)定性是在擾動作用消失以后，系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力，所以穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和外作用大小無關(guān)。如果一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動取消后，經(jīng)過充分長的時間，系統(tǒng)又能夠以一定的精度逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。設(shè)§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件上式中，-si

和(-ζjωnj)分別是系統(tǒng)的實特征根和復(fù)特征根實部。上式表明：當(dāng)系統(tǒng)的特征根都為負時，各暫態(tài)項才都是衰減的，且

t

→∞時，各暫態(tài)分量都趨向零；如果有任一個根的實部為正，則其對應(yīng)的暫態(tài)項將是發(fā)散的，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。綜上所述，線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于復(fù)平面的左平面（不包括虛軸）。§5-2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件則系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)76531420aaaaaaaaLL特征方程：勞斯表1u321cccL321bbbL0321sssssnnnnM---[勞斯判據(jù)]系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：①特征方程的各項系數(shù)大于零；②勞斯表中第一列所有元素的值均大于零。如果第一列中出現(xiàn)小于零的元素，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且該列中數(shù)值符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實部根的數(shù)目?！?-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例1]已知系統(tǒng)特征方程為:s4+8s3+17s2+16

s+5=0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)列勞斯表(2)利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性:①特征方程的各項系數(shù)大于零;②勞斯表中第一列所有元素的值大于零?？芍到y(tǒng)是穩(wěn)定的！5515168517134001234sssss§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例2]已知系統(tǒng)特征方程為:s5+2

s4+4

s2+s+2=0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)列勞斯表(2)利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性:①特征方程系數(shù)a2等于零，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；②勞斯表第一列中數(shù)值符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右平面根。212402242101012345ssssss-§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的！[例3]對于一階典型系統(tǒng):系統(tǒng)的特征方程為:利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性:⑴特征方程的各項系數(shù)大于零，即⑵勞斯表第一列所有元素的值大于零，即§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例4]對于二階典型系統(tǒng):利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性:⑴特征方程的各項系數(shù)大于零，即⑵勞斯表第一列所有元素的值大于零，即系統(tǒng)的特征方程為:§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例5]已知系統(tǒng)特征方程為:a0s3+a1s2+a2s+a3=0試求得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。解：(1)列勞斯表(2)根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定:①特征方程的系數(shù)a0、a1、

a2、a3均大于零;②由勞斯表中第一列所有元素的值大于零得：a1a2–a0a3>0§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)在運用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時,有時還會遇到兩種特殊情況：(1)在勞斯表的任一行中,出現(xiàn)第一個元素為零,而其余各元素均不為零或部分不為零的情況;

(2)在勞斯表的任一行中,出現(xiàn)所有元素均為零的情況;

這兩種情況均表明,系統(tǒng)在虛軸或右半復(fù)平面上存在系統(tǒng)的特征根,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)?！?-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例6]已知系統(tǒng)特征方程為:s4+s3+2

s2+2

s+3=0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)列勞斯表(2)由勞斯判據(jù)可知：因勞斯表第一列元素中數(shù)值符號改變了兩次，故系統(tǒng)有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)[例7]設(shè)系統(tǒng)特征方程為:s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16

s+16=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表令輔助多項式將輔助多項式對

s

求導(dǎo)：由得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定！168§5-3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—勞斯判據(jù)

一、乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：設(shè)

n

階閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)右極點數(shù)目為p

個；開環(huán)零極點數(shù)目為q

個；其余(n-p-q)個極點為開環(huán)左極點，則乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：當(dāng)ω從

0到∞變化時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線

(即開環(huán)乃氏圖)相對(-1,j0)點的角變化量為[pπ+q(π/2)]時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?；颉?-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：分析輔助向量函數(shù)的相角:j0K-1或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)j0K-1①K

較小時：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定[例1]

0型系統(tǒng)：j0K-1②K

較大時：或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例2]單位反饋系統(tǒng)：且0j-110乃氏曲線穿過(-1,j0)點閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定！因為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：即特征根為：或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：

[例3]Ⅰ型系統(tǒng)：且0j-1故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢娙羰归]環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則應(yīng)減小K之值，以使開環(huán)幅相特性曲線不包圍(-1,0j)點。或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例4]單位反饋系統(tǒng)：且0j-1即開環(huán)幅相特性曲線不包圍(-1,0j)點，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?；颉?-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例5]單位反饋系統(tǒng)：例如且0j-1即開環(huán)幅相特性曲線不包圍(-1,0j)點，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?；颉?-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例6]II型:單位反饋系統(tǒng)：且0j-10j-1或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例7]單位反饋系統(tǒng)：0j-1且即開環(huán)幅相特性曲線不包圍(-1,0j)點，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。或§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：或若有，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)右極點數(shù)目

p=0，若有，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。對于非最小相位系統(tǒng)而言，即開環(huán)不穩(wěn)定，§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：小結(jié)[例8]單位反饋系統(tǒng)：且0j-1①K>1時：故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。②K<1時：故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?；蚍亲钚∠辔幌到y(tǒng)(了解)§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例9]單位反饋系統(tǒng)：0j-1且故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?；蛳到y(tǒng)特征方程§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：[例10]0j-1故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。該單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：或且§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用：由伯特圖(即對數(shù)穩(wěn)定判據(jù))來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實際上是乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式。j-1[-20][-40]若開環(huán)穩(wěn)定(最小相位)，且在對數(shù)幅頻L(

)≥0的所有角頻率范圍內(nèi)，對應(yīng)相角都大于-180°，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。[-60][-40][-20]-270°-180°100

10

1

0.1

ω(rad/s)0

20

40

-90°L(ω)(dB)φ(ω)§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性由伯特圖(即對數(shù)穩(wěn)定判據(jù))來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實際上是乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另一種形式。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是在開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線的正值區(qū)間內(nèi)即L(

)≥0,開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對-180°線的正穿越次數(shù)與負穿越次數(shù)之差等于開環(huán)右極點數(shù)目p

的一半,即N正-N負=

p/2-180°+-§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例1]：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為②開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線ω(rad/s)-270°-180°100

10

1

0.1

0

20

40

-90°L(ω)(dB)φ(ω)[-20][-40]①開環(huán)幅相特性曲線-10jN正-N負=

0

=

p/2

故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定！§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例2]：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳函為：①開環(huán)幅相特性曲線N正-N負=

-1

≠

p/2=0

,故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定！[-20][-60]②開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線ω(rad/s)0.11

10

10002040-90°L(ω)(dB)-180°-270°φ(ω)0j-15§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3]:單位反饋系統(tǒng)且0j-1[-20][-40][-40]-180°-90°-270°0ω(rad/s)L(ω)(dB)N正-N負=

0

=

p/2

故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定?、匍_環(huán)幅相特性曲線②開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3]:單位反饋系統(tǒng)且0j-1①開環(huán)幅相特性曲線②開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線[-40][-40][-60]-180°-90°-270°0ω(rad/s)L(ω)(dB)N正-N負=

-1

≠

p/2=0

,故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定！§5-5由伯特圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性幅值裕量LKg>0§5-6控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性j0K-1相位裕量γ幅值裕量

Kg穩(wěn)定裕量Γγ-180°相位裕量γ>0例1.已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函:試求γ=45°時的開環(huán)放大系數(shù)K之取值以及此系統(tǒng)的幅值裕度？解：⑴在極坐標(biāo)下分析：0j-1γrad/s即§5-6控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例1.已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函:試求γ=45°時的開環(huán)放大系數(shù)K之取值以及此系統(tǒng)的幅值裕度？解：⑵在單對數(shù)坐標(biāo)下分析：10

20

40

-90°L(ω)(dB)-180°-270°φ(ω)ω

(rad/s)1

0

100γ[-20][-40]積分環(huán)節(jié)過（1，20lgK）點對應(yīng)ωc

=10rad/s

處，故§5-6控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性[-20]ω(rad/s)0.1

1

0

L(ω)(dB)20

40

-90°-180°-270°φ(ω)10[-60]例2.

某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)漸近對數(shù)幅頻和相頻曲線