2023年人教版初中數(shù)學《完全平方公式》精華版教案（二）

，教字目標

【知識與技能】

1.完全平方公式的推導及其應用.

2.完全平方公式的幾何解釋.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步發(fā)展符號感和推理能力.

【情感態(tài)度】

在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)探究精神.

【教學重點】

完全平方公式的應用.

【教學難點】

完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征及幾何解釋.

了＞教學國旌

一、情境導入，初步認識

問題一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果

招待他們，來一個孩子，就給一塊糖；來兩個孩子，就給每個孩子兩塊糖，……

（1）第1天有a個男孩子去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？

（2）第2天有b個女孩子去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？

（3）第3天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了孩子們多少塊糖？

（4）這些孩子第3天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？

多多少？為什么？

解：(l)a2；(2)/；(3)(a+6)2；(4)(a+

6)2-(a2+/).

【教學說明】(4)的結(jié)果需要化簡，應用乘法法則可求出(a+b)2.引導學

生結(jié)合教材認識從幾何角度解釋(a+b)2的結(jié)果.教師講課前，先讓學生完成“名

師導學”.

【歸納總結(jié)】公式的表達式：(a+b)2=a2+2ab+b%(a-b)2=a2-2ab+b2.

公式的特征：公式的左邊是一個二項式的平方，右邊是一個二次三項式；左

邊是兩數(shù)和的形式時，右邊就是這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的2倍(和對應

加)；左邊是兩數(shù)差的形式時，右邊就是這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)積的2倍(差

對應減)；兩公式結(jié)構(gòu)相同，僅一個符號不同.

公式變形:①/+M=("±6)2；

②a?+b2=(a+6)2—2ah—[a-b)2+2ab；

a—A)2=(a+fe):—4ah；

(3)(o+6)2=(a—6)2+4ab；

(§)(a+b)2+(a-fe)?=2(a2+6*);

(6)(a+6)2-(a-6)2=4ab.

二、思考探究，獲取新知

例1計算下列各題.

(l)(]m+2n)2；(2)(4x+0.5)2;

(3)(4x-5y)2；(4)(2a-；b)2

【分析】(1)、(2)可直接應用公式.計算時，如遇小數(shù)，應將其化成分

數(shù)，這樣可方便計算.(3)、(4)應注意符號，或可直接應用公式(a-b)2=a2-2ab+b?.

【答案】(1)(^-772+2/i)2=()2+2?

-7-77??2n+(2/7)2=~JZH24-m7i+4772；

4lo

(2)(4久+0.5/=(4x+y)2=(4%)2+2-

4x?+(-^-)2=16%2+4翼+/；

(3)(4%-5y)2=(4.r)2-2,4x?5y+

(5y)2=16/-40xy+25/；

(4)(2Q—=(2a)2-2,2a,-^-b+

(-y-6尸=4a2-2ab+-^-62.

例2計算:(1)1032；(2)299?.

【分析】通過觀察可發(fā)現(xiàn)103=100+3,299=300-1,這樣可應用完全平方公

式.

1?：(1)1O32=(100+3)2=1002+2x100

x3+32=10609.

(2)299?=(300-I>=3(X)2.2x300x\

+1=89401.

【教學說明】引導學生在實際練習中重點體驗完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，正

確套用公式，同時注意把完全平方公式展開后每一項的符號不能出錯.

例3運用乘法公式計算.

(1)(a-b+c)(a+b-c)；

(2)(2x-y+l)(y-l+2x)；

(3)(x-y+z)：

【分析】1.為了應用公式計算，先必須對式中各項添上括號，其法則是：如

果括號前是正號，括到括號里的各項都不變號；如果括號前面是負號，括到括號

里的各項都改變符號.

2.(1)中可以將兩因式變成a與b-c的和與差；(2)中兩因式可以變成

2x與y-1的和與差，運用平方差公式計算；(3)的底數(shù)可變形為兩式的和或差.

解：(1)原式=[a-(6-c)][a+(6-c)]

=a2-(6-c)2-a2-(-2bc+c2)=a~-b2+

2bc-c2.

(2)原式=[_2x+(y-1)][2x-(y-1)]二

(2支尸-(y-1)2=4.v2-(y2-2y+1)=4x2-y2

+2y-l.

(3)原式=[(久-y)+z7=(x-y)2+2(%

-y)z+z2=x2-2xy+y2+2尤z-2yz+z2.

【教學說明】(1)只有符號不同的兩個三項式相乘，通過添括號都可以將

算式變形為完全平方式或平方差；(2)兩因式中絕對值相同的各項若符號全部

相同或完全相反，則為完全平方式；若一部分符號相同，則為平方差.

三、運用新知，深化理解

計算：

[(x-2y)(x+2y)]2-C(x-2y)2-(x+2y)口;

【教學說明】上述計算是在平方差公式、完全平方公式的基本應用上的延伸,

可要求學生嘗試動手練習，教師再予以指導.

【分析】先根據(jù)平方差公式對首項[(%-

2y)(x+2y)]2中括號內(nèi)兩式進行運算，得[(第

-2y)(%+2y)]2=(%2-4y2尸，再用完全平方

公式進行計算，然后把次項[(%-2y尸-(％+

2y)21中括號內(nèi)用完全平方公式的運算，并合

并同類項，得[(%-2y)*-(%+2y)2]2=(x2-

4xy+4y2—x2—4盯—4y2)2=(—8%y)?.然后把

首項和次項運算所得結(jié)果進行合并.

【答案】解法一：[(%-2y)(%+2y)]2-

[(x-2y)2-(x+2y)2]2=(x2-4y2)2-[x2-

4xy+4)，-(%2+4xy+4y2)]2=x4-8A-2y2+16y4

-(-8.ry)2=x4-8.x2y2+16y4-64x2y2=x4-

12x2y2+16)4.

解法二：原式=(%2-4y2-[(%-2y+%

+2y)(%-2y-%-2y)j2=(久？~4y2)2-(-

8.ry)2=x4-8%2y2+16y4-64x2y2=x4-12x2y2+

16y上

【歸納總結(jié)】①對于比較復雜的整式乘法，先不要急于運算，應首先分析其特點,

盡可能用公式進行運算，而且運算過程中盡可能地合并同類項.②必要的時候靈

活運用運算公式，采用其逆運算，可以使運算過程簡便.

四、師生互動，課堂小結(jié)