2021年湖南省永州市高考數(shù)學(xué)三模試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.已知集合何，N是實(shí)數(shù)集R的子集，若N={1,2},且MCCRN=0,則符合條件的集合

M的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(2+i)(1+出),tzER,若z6R,則a=(

A.—B.1C.2D.-

2T

3.甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙

兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)：

“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為（）

A.18B.36C.54D.64

4.有一個(gè)裝有水且底面直徑為12c機(jī)的圓柱形容器，水面與容器口的距離為\cm.現(xiàn)往容

器中放入一個(gè)半徑為r（單位：cm）的小球，該小球放入水中后直接沉入容器底部，若

使該容器內(nèi)的水不溢出，則小球半徑r的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知尸是拋物線(xiàn)V=4x的焦點(diǎn)，若A,B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且尸|=6,則線(xiàn)段

AB的中點(diǎn)到直線(xiàn)x=-*的距離為（）

57

A.2B.—C.3D.—

22

6.若某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，路程S（單位：機(jī)）與時(shí)間，（單位：s）的關(guān)系由函數(shù)S（/）=k

表示.當(dāng)，=2s時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度v為-2”/s,則當(dāng)，=6s時(shí)，該物體行駛的

ze

路程為（）

A.2e~6B.4e~6C.2e'3D.4e'3

7.已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)8。上的一點(diǎn)，則誣?（笆+五）的最小

值為（）

A.--B.--C.-1D.-2

42

8.設(shè)隨機(jī)變量S的分布列如表:

123???20202021

pa\。2???。2020。2021

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.當(dāng)｛如｝為等差數(shù)列時(shí)，。2+。2020=^^

B.數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式可能為%=二零-K

2021n(n+l)

C.當(dāng)數(shù)列■〃｝滿(mǎn)足an~"=1,2,???,2020)時(shí)，?2021=^2021

當(dāng)數(shù)列■“｝滿(mǎn)足P(JWA)=乃以(%=1,2,2021)時(shí)，“|=墨!

D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知log“2021>log〃2021>0,則下列各式一定成立的是()

,22

A.2021">2021〃B.二>2

ab

C.—+^<\D.—(%>0)

abaa+m

jr

10.若函數(shù)f(x)=sin(2x+(p)對(duì)任意的在R,都有f(x)^/(—)，則()

TT

A.f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=-7-

6

B./(x)在區(qū)間(一詈，今)上單調(diào)遞減

JT

C./(升臺(tái))是偶函數(shù)

D./(%)的一條對(duì)稱(chēng)軸為》=一詈

11.某校對(duì)“學(xué)生性別和喜歡鍛煉是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，

男生喜歡鍛煉的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的金女生喜歡鍛煉的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的假.若至

少有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別和喜歡鍛煉有關(guān)”，則被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能為

()

附：

P(爛》ko)0.0500.010

ko3.8416.635

爛=------n(acHbc)--------O=〃+Z?+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.35B.40C.45D.50

12.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-8,0]上單調(diào)遞增，則“對(duì)于任意的(0,1],

不等式fQM+2x)+fCxlnx-x2)20恒成立”的充分不必要條件可以是()

112

A.WaVOB.—7WqV一T

eee

C.4VD.—^a<e

eee

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫(xiě)出一個(gè)漸近線(xiàn)方程為y=±x的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程

14.5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-80,則?=

15.如圖為某月牙潭的示意圖，該月牙潭是由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形堤岸連接圍成，其

中外堤岸為半圓形，內(nèi)堤岸圓弧所在圓的半徑為30米，兩堤岸的連接點(diǎn)A,B間的距離

為30加米，則該月牙潭的面積為平方米.

16.已知矩形ABC。中，AB=2,BC=4,E,尸分別為BC,的中點(diǎn).將△A8E沿直線(xiàn)

AE翻折至△A3E的位置，若G為BQ的中點(diǎn)，則CG=；”為AE的

中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中，當(dāng)為正三角形時(shí)，三棱錐Bi-AED的外接球的表面積

是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在平面四邊形ABCO中，ZDCB=45°,DBA.AD,CD=2.

(1)若BD=2娓,求△3OC的面積；

(2)若cosZADC=-近，求角A的大小.

59

18.已知數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為S〃，且的=知S〃=入其中人是不為0的常數(shù).

(1)求〃2,。3；

(2)求出入的一個(gè)值，以使得｛斯｝為等比數(shù)列，并證明之.

19.某工廠為A公司生產(chǎn)某種零件，現(xiàn)準(zhǔn)備交付一批(1000個(gè))剛出廠的該零件，質(zhì)檢員

從中抽取了100個(gè)，測(cè)量并記錄了它們的尺寸(單位：機(jī)機(jī))，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

零件的尺寸(2,2.03](2.03,2.06](2.06,2.09]2.09以上

零件的個(gè)數(shù)436564

(1)將頻率視為概率，設(shè)該批零件的尺寸不大于2.06加”的零件數(shù)為隨機(jī)變量X,求X

的數(shù)學(xué)期望；

(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)的該零件的尺寸丫?N(2.069,0.012),根據(jù)A公司長(zhǎng)期的使用經(jīng)驗(yàn),

該廠提供的每批該零件中，的零件為不合格品，約占整批零件的10%,其余尺寸的

零件均為合格品.請(qǐng)估計(jì)〃，的值(結(jié)果保留三位小數(shù)).

附：若y?N(|1,。2),令z=3二E-,則Z?N(0,1),且P(ZW1.28)Q0.9.

CF

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，CD//AB,NA8C=90°,BDLPA,AB=2BC=2CD=

4.

(1)證明：平面PAO；

(2)設(shè)平面平面尸2C=/,/C平面A8CZ)=G,PA=PD=2,在線(xiàn)段PG上是否

存在點(diǎn)M，使得二面角P-OC-M的余弦值為漁？若存在，求出粵的值；若不存在，

21.在圓好+尸=4上任取一點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線(xiàn)段TD,D為垂足，點(diǎn)P為線(xiàn)段TD

的中點(diǎn).

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)斜率為人1>0)且不過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)/交曲線(xiàn)C于4,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為

E,射線(xiàn)0E交曲線(xiàn)C于點(diǎn)交直線(xiàn)x=6于點(diǎn)N,且|OMF=|ON|-|OE|,求點(diǎn)”(0,1)

到直線(xiàn)/的距離”的最大值.

22.曲線(xiàn)的曲率定義如下：若，(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令<p(x)=/(x),則曲線(xiàn)y

一'(X)|2

=/(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率長(zhǎng)=2，已知函數(shù)/(x)=—+x

(1+H(X)]2)2a

(“>0),g(x)=(x+1)In(x+1),且/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的曲率長(zhǎng)=丫三.

4

(1)求a的值，并證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>g(x)；

(2)若且7“=/?|?4?2訪(fǎng)3...b(/?GN*),求證：(〃+2)7?<^1^-.

n+1n2

參考答案

一、選擇題(共8小題).

1.已知集合M,N是實(shí)數(shù)集R的子集，若N={1,2},且MCCRN=0,則符合條件的集合

例的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

解：：N={1,2},MACRN=0,.;MUN,

2}或〃={1}或加={2}或M=0,

故選：D.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(2+i)(1+出)，“eR,若z€R,貝!Ja=()

A.—B.」C.2D.-2

22

解：因?yàn)閆=(2+z)(1+ai)—2-a+(2a+1)/GR,

所以2a+l=0,

故a=~^"-

2

故選：B.

3.甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙

兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍”；對(duì)乙說(shuō):

“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為()

A.18B.36C.54D.64

解：根據(jù)題意，甲乙都沒(méi)有得到冠軍，而乙不是最后一名，

分2種情況討論：

①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有A.?=6種情況，

此時(shí)有3X6=18種名次排列情況；

②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A.F=6種情況，

剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有43=6種情況，

此時(shí)有6X6=36種名次排列情況；

則一共有36+18=54種不同的名次排列情況，

故選：c.

4.有一個(gè)裝有水且底面直徑為12cm的圓柱形容器，水面與容器口的距離為lew.現(xiàn)往容

器中放入一個(gè)半徑為r（單位：cm）的小球，該小球放入水中后直接沉入容器底部，若

使該容器內(nèi)的水不溢出，則小球半徑r的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使該容器內(nèi)的水不溢出，

則球的最大體積與圓柱上部的體積相等，小球半徑r,

可得4：?r3=6%.],

解得r=3（cm）.

故選：C.

5.已知產(chǎn)是拋物線(xiàn)＞2=4x的焦點(diǎn)，若A,8是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且|AQ+|8尸|=6,則線(xiàn)段

AB的中點(diǎn)到直線(xiàn)x=-微的距離為（）

R7

A.2B.—C.3D.—

22

解：??,尸是拋物線(xiàn)）2=4x的焦點(diǎn)，F(xiàn)（1,0）,準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-l,

設(shè)4（為，yi）,B（及，”）

\AF\+\BF\=xi+1+%2+1=6,即XI+%2=4,

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為*（x,+x2）=2,

二線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2+微奇.

故選：B.

6.若某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，路程S（單位：機(jī)）與時(shí)間/（單位：s）的關(guān)系由函數(shù)S（/）=k

?e-,表示.當(dāng)f=2s時(shí)，該物體的瞬時(shí)速度v為-則當(dāng)f=6s時(shí)，該物體行駛的

ze

路程為（）

A.2-6B.4e~6C.2e'3D.4e'3

解：VS（力=He—右/?Sz（/）=-

根據(jù)題意得：-4&6-蔣=-2,解得：k=4.

2/e

：.S（6）=4e-=4e3.

2

故選：D.

7.已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。的對(duì)角線(xiàn)B。上的一點(diǎn)，則而?（心+五）的最小

值為（）

A.—B.-~-C.~ID.-2

42

解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，

則8(0,0),A(0,1),C(1,0),D(1,1),

設(shè)P(x,y),:而=入而=入(1,1),：.x=X,y=X,：.P(A,A),

則由=(-A,-入)，p^+pc=(1-2A,1-2入)，

12i

.?.樂(lè)(PA+PC)=-入(1-2入)X2=4入2-2入=4(入」)-十，XG[0,1],

44

當(dāng)人=1時(shí)，pg?(PA+PC)取得最小值為-

故選：A.

8.設(shè)隨機(jī)變量《的分布列如表:

123???20202021

…

Pa\。2。3。2020。2021

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列時(shí)，。2+。2。2。=無(wú)言?

B.數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式可能為斯空

2021n（n+l）

當(dāng)數(shù)列｛m｝滿(mǎn)足小=或（n=L2,???,2020）時(shí),fZ202i=22021

C.

D.當(dāng)數(shù)列｛?。凉M(mǎn)足尸（JWk）=公或（％=1,2,…，2021）時(shí)，g=黑"

2021（a1+&9noi）

解：對(duì)于A,因?yàn)椋。秊榈炔顢?shù)列，所以S2pL——；

則有“2+42020=0+a2021=門(mén)'故選項(xiàng)A正確;

2021

若數(shù)列四的通項(xiàng)公式為“，尸嘉篝翳4扁）,

對(duì)于B,1r

則52Q2廣鬣(l2+q—矗-志忐)=1,故選項(xiàng)B

正確；

1_9(1-20201

+a=1-+=，

對(duì)于C,因?yàn)?"=]'所以與021=--------1------2021-T^20a2021l

2

則有a2021=.2020，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。,令Sk=P無(wú))=A2ab則&卜+[=Sjj+[-5卜=(k+1)2@卜+1-k2&k，

ak+1=ka2a3a

故所以n

an=a11'—?一

ai,k+2na2an-l

123n-3n-2n-12

a?---????

!T'I5n-lnn+1n(n+l)a]，

211

所以a,尸一=2ai('），

n西歹1nn+1

所以?〃a1+2a)=1>

S2021=ai+a2+??+"=11v22022

解得ai=1^*'故選項(xiàng)。正確.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知log“2021>log〃2021>0,則下列各式一定成立的是()

,22

A.2021u>202PB.>2

ab

C.-->^<1D.電〉上也(w>0)

abaa+m

解：因?yàn)閘og?2021>log/,2021>0,

所以a>l,b>\,a<b,

所以2021。<202化A錯(cuò)誤;

且-+^->2、工一?二=24>2,8正確；

abVba

取b=2,。=3，-4--^4-=-Z-^>J,c錯(cuò)誤；

2ab236

bb+mab+bnrab-am(b-a)m〉0

aa+ma(a+m)a(a+m)

所以且〉婦更，￡)正確.

aa+m

故選：BD.

兀

10.若函數(shù)/(x)=sin(2x+(p)對(duì)任意的在R,都有f(x)</(―)，則()

JT

A.f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=r-

0

B./(x)在區(qū)間(一咚，之)上單調(diào)遞減

1212

C.f(x+兀^-)是偶函數(shù)

D.fix)的一條對(duì)稱(chēng)軸為％=一需

JT

解：函數(shù)/(x)=sin(2x+(p)對(duì)任意的在R,都有/(x)勺(五)，

11TTJIJI

則當(dāng)工=37時(shí)，函數(shù)取得最大值，故有2X—r-+(p=2Znr+-—,即<p=2Znr+—?,依Z,

121223

KK

取則/(x)=sin(2x+—?).

oo

ITIT

令工=-二一，求得/(X)=0,可得/(元)的一個(gè)零點(diǎn)為工=--丁，故4正確；

66

當(dāng)尤(-2,"777)，2x+——G(——,—-),f(x)單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

1212322

TTITTT

/(x+——)=sin(2x+——+——)=cos2x,是偶函數(shù)，故C正確；

1263

令》=-辛，求得/(X)=-1,為最小值，故/(X)的一條對(duì)稱(chēng)軸為故。

正確，

故選：ACD.

11.某校對(duì)“學(xué)生性別和喜歡鍛煉是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，

男生喜歡鍛煉的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的《，女生喜歡鍛煉的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的名.若至

少有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別和喜歡鍛煉有關(guān)”，則被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能為

()

附：

p(爛沁))0.0500.010

ko3.8416.635

R=_--------"Sd-bc)--------(7t=a+Z?+c+J).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.35B.40C.45D.50

解：由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，設(shè)男生的人數(shù)為：5〃，〃CN*,由題意可列出2X2

列聯(lián)表：

男生女生合計(jì)

喜歡鍛煉4〃3n7n

不喜歡鍛煉n2n3n

合計(jì)5n5n10〃

?—n(ad-bc).10nX(4nX2n-3nxn)2lOn

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)5nX5nX7nx3n21

由于有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別和喜歡鍛煉有關(guān)”，

所以3.841忘里工<6.635；

21

解得:8.0661<“<13.9335,

則〃的可能取值為:9、10、11、12、13；

則選項(xiàng)中被調(diào)查學(xué)生中男生的人數(shù)可能45或50.

故選：CD.

12.已知定義在R上的奇函數(shù)，(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，則“對(duì)于任意的(0,1］,

不等式/(ae，+2x)+f{xlnx-^20恒成立”的充分不必要條件可以是()

112

A.--^a<0B.—^：a<~

eee

C.D.

eJee

解：.../(x)為R上的奇函數(shù)，且在(-8,0］上單調(diào)遞增，.?J(x)在R上單調(diào)遞增,

V/(aev+2x)+fCxlnx-A2)20,Caex+2x')/(xlnx-x2),

*.*/(x)為奇函數(shù)Cae'+2x)(x2-xlnx),

'：f(x)為增函數(shù)，優(yōu)在(0,1］上恒成立，

2

.>,x-xlnx-2x.max0

..心(-------------)a,xG(0,1］,

設(shè)g(x)=x_xl廠2x,汪(0,1],

e

e,(x-1)(lnx-x+3)人，

則g'(x)=-----------------------------,令g'(x)=0,則x=w

e

且lnxi)-%o+3=O,/./nxo=xo-3,

當(dāng)xC(0,xo)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xC(xo,1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減

???當(dāng)x=xo時(shí)，g(x)取得極大值也為最大值為

()Q

X2-X(Xo-3)-2xox01

g(X。)lnx,+3-31??ci3,

xe：de

e°

對(duì)任意的xe(0,1],不等式恒成立時(shí)a的范圍為「g,+8),

e

V[-y.些[令，+8),[―,e)^[~y,+°°),

eeeee

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫(xiě)出一個(gè)漸近線(xiàn)方程為y=±x的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程丫2=1答案不唯一.

解：漸近線(xiàn)方程為y=±x的雙曲線(xiàn)，可知4=6,不妨設(shè)a=6=l,

所以一個(gè)漸近線(xiàn)方程為y=±x的雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-)2=1,

故答案為：f-V=i答案不唯一.

14.-aW/P'的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-80,則a=2?

解：二項(xiàng)式(言-ags的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為殺尸吟(A-)5&(,a如))

*=媒，(-〃)嗎坦，

Q0

?.?二項(xiàng)式(言-4%)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-80,

.?.當(dāng)5K二15一=0時(shí),得k=3,

6

此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為媒?(-。)3=-80,

即10a3=80,a3—8,

解得a—2,

故答案為：2.

15.如圖為某月牙潭的示意圖，該月牙潭是由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形堤岸連接圍成，其

中外堤岸為半圓形，內(nèi)堤岸圓弧所在圓的半徑為30米，兩堤岸的連接點(diǎn)A,B間的距離

為30加米，則該月牙潭的面積為450平方米.

解：連接AB,作A歷的垂直平分線(xiàn)，交A8于點(diǎn)交兩段弧于點(diǎn)P、Q,如圖所示:

設(shè)內(nèi)堤岸弧所在圓心為0，則48=30五米，OA=30米,

在RtAAOM中，sin/AOM=5X3m=返，

-------3--0-------'2

JTJT

所以/A0M=T，ZAOB=—,

42

所以月牙潭的面積為：

S—S華網(wǎng)-S弓彩Z_30>/2_.

(―-IT?3O2-—X30X30)=450(平方米).

2、2)42

故答案為:450.

16.已知矩形ABC。中，AB=2,BC=4,E,F分別為BC,40的中點(diǎn).將AABE沿直線(xiàn)

AE翻折至△ABiE的位置，若G為8Q的中點(diǎn)，則CG=_、而_；，為AE的中點(diǎn)，在

翻折過(guò)程中，當(dāng)為正三角形時(shí)，三棱錐Bi-AEO的外接球的表面積是空三.

一3一

解：如圖，

EC//AD,EC=—AD,則GK〃EC且GK=EC,

2

.??四邊形ECGK為平行四邊形，則CG=EK,在中，

求得歐=怖科2+81*422+12=遙,即CG二娓；

由已知可得，△4區(qū)＞為RtA,則AO中點(diǎn)尸為△AEO的外心，

又AABiE為RtA,則AE的中點(diǎn)H為AAB\E的外心，

分別過(guò)F、"作平面AED與平面A8E的垂線(xiàn)，相交于0,則。為三棱錐S-AEQ的外

接球的球心，

?.?△田”廣為正三角形，；.NBiHF=60°,HF=版,可得N?！笔?30°,

...OF比X坐乎又皿,-'2+(*)2號(hào).

...三棱錐B\-AED的外接球的表面積是4nR2=4nx￥=竺」.

33

故答案為：?

O

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在平面四邊形ABCQ中，ZZ)CB=45°,DBA.AD,CD=2.

(1)若BD=2娓,求△8OC的面積；

(2)若cos/AOC=-逅，求角A的大小.

59

解：(1)因?yàn)?。=2泥，由正弦定理.BD=尊=

vsinZBCDsinZCBDsinZBDC

=45。，

可得sinNCBD=J運(yùn)

10

由余弦定理可得cos/QCB=g必近2虻=返，可得BC=4&,

2BC-CD2

所以SABDC吾XBCXCDXsinZBCE=yX幺丘X2X哮=4.

乙乙乙

(2)因?yàn)锳￡>J_QB,所以/4。3=90°,

cosZADC=cos(-^-+ZB￡)C)=-sinZBDC=-即sin/B￡)C=^^,

255

因?yàn)閟inZBDC-V1-COS2ZBDC)且/BOC為銳角,

所以COS/BOC=2/1,

5

所以sin/￡?8C=sinm-(NBCD+NBDC)]=sin(NBCD+NBDC)

=sinZBCDcosZBDC+cosZBCDsinZBDC,

可得sinNO8C=^S^,

10

二

在△BCD中,由正弦定理?CDBD

sinNDBC=sin/DCB

?里ha

可得3行=五，可得仝3,

....《

102

因?yàn)閠arL4=]^=?,

AU

又A為銳角,

所以A=60°.

18.已知數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和為S”,且防=2,S產(chǎn)入其中人是不為0的常數(shù).

(1)求。2,。3；

(2)求出入的一個(gè)值，以使得｛”“｝為等比數(shù)列，并證明之.

解：(1)數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為S“，且0=2,Sn=lan+\-1,

當(dāng)”=1時(shí)，5i—a\—Xa2-1,解得，

/人

333

當(dāng)〃=2時(shí)，52=ai+&2=2長(zhǎng)=入打-1'解得@3丁晨至?

(2)當(dāng)數(shù)列伍〃｝為等比數(shù)列，

故a??=a[*3g?

整理得小)2=2,(右巧)),解得入日.

證明如下：當(dāng)入總時(shí)，Sn=^aH+i-1,①，

當(dāng)心2時(shí)，S,?-i=^sT,②，

①-②得：an卷a1tH-3，

整理得a.+i=3a“，即上工=3(常數(shù))，

an

故數(shù)列｛?。且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹九

19.某工廠為A公司生產(chǎn)某種零件，現(xiàn)準(zhǔn)備交付一批(1000個(gè))剛出廠的該零件，質(zhì)檢員

從中抽取了100個(gè)，測(cè)量并記錄了它們的尺寸(單位：〃而)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

零件的尺寸(2,2.03](2.03,2.06J(2.06,2.09]2.09以上

零件的個(gè)數(shù)436564

(1)將頻率視為概率，設(shè)該批零件的尺寸不大于2.06mm的零件數(shù)為隨機(jī)變量X,求X

的數(shù)學(xué)期望：

(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)的該零件的尺寸丫?N(2.069,0.012),根據(jù)A公司長(zhǎng)期的使用經(jīng)驗(yàn)，

該廠提供的每批該零件中，丫>加的零件為不合格品，約占整批零件的10%,其余尺寸的

零件均為合格品.請(qǐng)估計(jì)機(jī)的值(結(jié)果保留三位小數(shù)).

附：若Y?N卬，。2),令2=與'，則Z?N(0,1),且「(ZW1.28)^0.9.

解：(1)由題意可得，P(尺寸不大于2.06〃"〃)=0.4,

所以X?B(1000,0.4),

所以E(X)=1000X0.4=400；

(2)設(shè)合格零件的最大尺寸為“，所以P(Y^m)=0.9,

令z=”\0b9,則y=o.oiZ+2.O69,

0.01

所以P(FW/M)=P(0.01Z+2.069W機(jī))=0.9,

所以P(Z<m-2-069)=09且p(ZW1.28)=0.9,

0.01

則￥28,解得m^2.082,

故m的值約為2.082卯〃.

20.如圖，在四棱錐P-ABC。中，CD//AB,NA8C=90°,BD1PA,AB=2BC=2CD=

4.

(1)證明：平面PAD；

(2)設(shè)平面PAOC平面PBC=/,/C平面ABQ9=G,PA=PD=2,在線(xiàn)段PG上是否

存在點(diǎn)M,使得二面角P-OC-M的余弦值為YE?若存在，求出粵的值；若不存在，

3PG

請(qǐng)說(shuō)明由.

【解答】⑴證明：在底面ABCO中，CD//AB,/ABC=90。，AB=2BC=2CO=4,

所以80=五二^=2&,40=62+22=2圾,

^TWBD2+AD2=(272)2+(2V2)2=16=AB2-

故BO_LA￡>,又B￡?_LPA,PAQAD=A,PA,AZ)u平面PAD,

故8￡>_L平面PAD；

(2)解：延長(zhǎng)A。，8C相交于點(diǎn)G,連結(jié)PG,則PG即為交線(xiàn)/,

取AB的中點(diǎn)Q,連結(jié)。。，貝IJO0LOC,

過(guò)點(diǎn)D在平面PAD內(nèi)作AD的垂線(xiàn)DH,則平面ABCD,

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則P(l,-1,?C(0,2,0),G(-2,2,0),D(0,0,0,

所以而=(1,-1,&),DC=(0,2,0).

設(shè)平面PQC的法向量為\=(x,y,z)，

mpDC=02y=0

―.，即4

m*DP=0x-y+V2z=0

令z=l,則*=-&，y=O，故、=（一正，0,1））

設(shè)M（a,b,c）,罌=入（O<A<1）,則而=入百，

PG

故（aT,b+1,入（-3,3,-衣），

a=l-3入

所以<b=-l+3入，故CM=（l-3入，-3+3入，人），

c=V2-V2入

設(shè)平面MQC的法向量為n=（p,q,r）,

（n*DC=0（2q=0

、n*CM=0'1（1-3入）p+（-3+3入）口+赤7^入）r=0

令，P=V^-我人,則夕=0,-=3入-1,故n=（我-&入，0,3入T），

因?yàn)槎娼荘-DC-M的余弦值為逅，

3

n，rl-V2(V2-V2)+(3A,-1)|J/Q

所以|cos<\,n>|",k,,I

Im||n|V3'V2(1-X)2+(3X-l)23

化簡(jiǎn)整理可得3入2-10入+3=0,解得入4或入=3（舍），

故在線(xiàn)段PG上存在點(diǎn)M,使得二面角P-DC-M的余弦值為逐，此時(shí)粵的值為

3PG3

21.在圓/+爐=4上任取一點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)T作x軸的垂線(xiàn)段TD,D為垂足，點(diǎn)P為線(xiàn)段TD

的中點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）斜率為k（%>0）且不過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)/交曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為

E,射線(xiàn)OE交曲線(xiàn)C于點(diǎn)M,交直線(xiàn)x=6于點(diǎn)N,且|OM|2=|CW|-|OE|,求點(diǎn)H（0,1）

到直線(xiàn)/的距離”的最大值.

解：（1）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)T的坐標(biāo)為（沏，泗），

則x=xo,y=—,因?yàn)閤o2+yj=4,所以/+4）2=4,

2

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為三_+y=1.

4

(2)設(shè)直線(xiàn)/：y=kx+m(^>0,m<0),A(乃，yi),B(及，丫2),,

'22

聯(lián)立<*+4,,，得(1+以2)r+86/4/-4=0,

y=kx+m

由斜率公式可知koE=-《，所以IOE：y=-

4k4k

所以N(6,-g),

2k

x+4y-416k2o16k2

聯(lián)立i,得好=」%，即x2=上號(hào)

y=-7r-