專題12最短路徑探究之將軍飲馬【知識(shí)點(diǎn)睛】將軍飲馬模型總結(jié)：類型問題作法圖形原理異側(cè)型“兩定一動(dòng)”型連接ABPA＋PB的最小值為AB，兩點(diǎn)之間，線段最短同側(cè)型“兩定一動(dòng)”型作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A`，連接A`B，A`B與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)PAP+BP=A`B，兩點(diǎn)之間線段最短角內(nèi)部“一定兩動(dòng)”型分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P`，P``，連接P`P``，與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn)M、NPM+MN+PN=P`P``，兩點(diǎn)之間，線段最短角內(nèi)部“兩定兩動(dòng)”型分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l1，l2的對(duì)稱點(diǎn)P`，Q`，連接P`Q`，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、NPQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，兩點(diǎn)之間線段最短同側(cè)“兩定兩動(dòng)”型將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位到點(diǎn)A`，作A`關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A``，連接A``B，A``B與直線l交點(diǎn)即為點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移a分單位即為點(diǎn)MAM+MN+NB=a+A``B，兩點(diǎn)之間，線段最短其他“兩動(dòng)一定”型最值問題模型：如圖，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為直線BC、直線AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A`，過(guò)點(diǎn)A`作A`Q⊥AB與點(diǎn)Q，A`Q與直線BC交點(diǎn)即為點(diǎn)PAP+PQ=A`Q，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短“造橋選址”類將軍飲馬模型：構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A`B即為A構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值A(chǔ)`A`特別地：“兩動(dòng)兩定”型將軍飲馬，平行四邊形的構(gòu)造都是為了消除動(dòng)點(diǎn)間的間距d，所以平行四邊形的兩鄰邊中，一邊是間距d、另一邊是定動(dòng)線段AM或BN中的一條?！绢愵}訓(xùn)練】1．如圖，要在街道l設(shè)立一個(gè)牛奶站O，向居民區(qū)A，B提供牛奶，下列設(shè)計(jì)圖形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．2．如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過(guò)河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ3．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＝40°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°4．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°5．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且BD＝AB，則PA+PD的最小值為（）A．8 B． C． D．7．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．128．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A．9.6 B．8 C．6 D．4.89．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．810．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣211．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，1），B（3，3），點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為（）A．2 B．2 C．5 D．12．如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC＝12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ＝60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（）A．24 B．24 C．12 D．1213．如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點(diǎn)C在邊AB上，且＝，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動(dòng)時(shí)，使四邊形PDBC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．14．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M為AB的中點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，則t＝PM+PA的范圍是．15．如圖，△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，連接AD，E為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F點(diǎn)．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，則CE+EF的最小值為．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x軸上求一點(diǎn)C，使|CB﹣CA|最大，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．17．如圖，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分別為射線AC和射線CF上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD＝CE，當(dāng)BD+BE有最小值時(shí)，則△BDE的面積為．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C和D都在x軸上（C在D左側(cè)），且線段CD＝1，連接AB，BC，AD，當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．19．A，B兩個(gè)村莊在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，那么：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）在x軸上有一條河，現(xiàn)準(zhǔn)備在河流邊上建一個(gè)抽水站P，使得抽水站P到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最小，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求此時(shí)距離之和的最小值．20．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m為常數(shù)）的圖象記為G．（1）設(shè)m＞0，當(dāng)G經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）時(shí)，求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）判斷圖象G與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)2m≤x≤m+3時(shí)，圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)之差為9，求m的取值范圍．（4）線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2）、B（7，4），當(dāng)圖象G與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其分別為點(diǎn)C、點(diǎn)D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），直接寫出四邊形ACDB周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)m的值．21．如圖，直線l∥m，在直線l，m上分別取點(diǎn)M，N，使MN⊥線l，連接AM，MN，BN，當(dāng)AM+MN+BN最小時(shí)，求點(diǎn)M，N的位置．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是；②若線段BC＝2，點(diǎn)A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長(zhǎng)的最小值是；（2）如圖（2），點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，①請(qǐng)問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是．23．已知：M、N分別是