20222023學年第二學期高一數(shù)學期中考試試卷一、選擇題（共36分，每題3分，共12小題）1.如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正六邊形性質逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因為，故，故B正確.對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.2.已知向量，，，則向量與的夾角大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)公式可求夾角的大小.【詳解】，而，故，故選：B.3.若，點的坐標為，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標計算公式可求點的坐標.【詳解】設，故，而，故，故，故，故選：A.4.化簡的結果等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加減法的運算法則，即可化簡目標式.【詳解】.故選：B5.已知向量，則與（）A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向【答案】A【解析】【分析】利用，則，即可求得答案.【詳解】故選：A．考點：平面向量共線（平行）的坐標表示．6.在中，若，，，則可能是（）A.135° B.105°或15° C.45°或135° D.15°【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可求的值，故可得正確的選項.【詳解】由正弦定理可得，故，故，而，故或，故或，故選：B.7.下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的相關概念，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A8.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，則∠A等于（）A.60° B.45° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和題設條件，求得，即可求解.【詳解】在中，因為，即，由余弦定理可得，又因為，所以.故選：D【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.9.已知分別是的邊的中點，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件有,再由向量的減法可得答案.【詳解】因為分別是的邊的中點所以.又.所以.故選：C【點睛】本題考查向量的減法運算和共線關系，屬于基礎題.10.已知||=1，||=，且()與垂直，則與的夾角是A.60° B.30° C.135° D.【答案】D【解析】【詳解】因為()與垂直，所以().||=1，.設與的夾角為，則所以，故選D.點睛：平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙?利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).11.在中，若，則的形狀一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，化為，即，從而可得結論.【詳解】因為，所以由正弦定理得.∵，∴，即，即，∵，∴，故是直角三角形.故選B.【點睛】判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.12.已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是（）A.，0 B.4， C.16，0 D.4，0【答案】D【解析】【分析】利用向量的坐標運算得到|2用θ的三角函數(shù)表示化簡求最值．【詳解】解：向量，向量，則2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分別是：16，0；所以|2的最大值，最小值分別是4，0；故選：D．【點睛】本題考查了向量的坐標運算以及三角函數(shù)解析式的化簡；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性．二、填空題（共16分，每題4分，共4小題）13.若共線，則________．【答案】6【解析】【詳解】若共線,則.解得.點睛：向量的坐標表示平行和垂直，.若，則；若，則.14.已知正三角形ABC的邊長為1，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義式，結合正三角形的性質，可得答案.【詳解】.故答案：.15.在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．【答案】等腰三角形【解析】【詳解】∵a＝2bcosC，∴sinA＝2sinBcosC，而sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0.又－180°<B－C<180°，∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC為等腰三角形．故答案為等腰三角形點睛：判斷三角形形狀注意區(qū)分，sinA=sinB等價于A=B；sin2A=sin2B等價于A=B或A+B=.16.在△ABC中，內角A：B：C=1:2:3，求a:b:c=_________【答案】【解析】【詳解】A:B:C=1:2:3三、解答題（共48分）17.已知向量，.（1）求與；（2）當為何值時，向量與垂直？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的坐標后可求它們的模；（2）求出與的坐標后利用向量垂直的坐標形式可求的值.【小問1詳解】因為，，故，故.【小問2詳解】，，因向量與垂直，故，故.18.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平轉角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在點觀測燈塔的方位角為110°，航行半小時后船到達點，觀測燈塔的方位角是65°，則貨輪到達點時，與燈塔的距離是多少.【答案】（km）【解析】【分析】利用正弦定理可求的長度.【詳解】由題設可得，（km），而，故，由正弦定理可得，故（km）.19.已知向量，的夾角為，且，，求．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定