2022年河南省焦作市高考理科數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合AutM?-X-2<0},B={x|2x+l<0},則AA8=()

A.，1)B.2)C.(-1)—D.(—2)—

2.(5分)若力=l+3i,則5=()

A.3+iB.3-iC.3+2iD.3-2i

3.（5分）已知命題p：SxGN*,lgx<0,q?.VxGR,cosx^l,則下列命題是真命題的是（）

A.pf\qB.(_*〃)/\qC.pALq)D.—1(pVq)

71

4.(5分)下列函數(shù)中，最小正周期為后的是()

XX

A.y—sin-^B.y=sin8xC.y=cos-^D.y=tan(-8x)

5.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)=2*+*的零點為xo，則xoe()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若C=與a=2,2sinB=3sinA,

則aABC的面積為（）

3V23y/3「

A.---B.---C.3D.3>/2

22

7.（5分）已知函數(shù)f（%）=匈（磊+a）是奇函數(shù)，則使得0</（x）<1的x的取值范圍是

（）

A.（一8，一場B.（0,否

C.（一2,0）D.（-/0）U舄,1）

8.（5分）某學校計劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，

若甲、乙、丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（）

A.21種B.231種C.238種D.252種

9.（5分）花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國古代建筑中常見

的美化形式，既具備實用功能，又帶有裝飾效果.如圖所示是一個花窗圖案，大圓為兩

個等腰直角三角形的外接圓，陰影部分是兩個等腰直角三角形的內(nèi)切圓.若在大圓內(nèi)隨

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機取一點，則該點取自陰影部分的概率為（）

A.V2-1B.2-V2C.3-2V2D.6-4V2

10.（5分）已知函數(shù)/（%）=-二+扛2+加@,b>0）的一個極值點為1,則J層的最大值

11.（5分）如圖，在正四面體ABCC中，E是棱AC的中點，尸在棱8。上，且8￡>=4尸￡>,

則異面直線EF與AB所成的角的余弦值為（）

12.（5分）已知橢圓C：次+4=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Q，尸2,M為C上一點，

IMF-,\+\MF\

且△"尸1尸2的內(nèi)心為/（M）,2）,若△“為22的面積為46則］~'——'—?=（）

但也I

35V134

A.-B.-C.---D.一

2323

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量Z=（x,-1）,b=（0,5）,若之1日+2引，則％=.

14.（5分）寫出一個離心率與雙曲線C：/一*=1的離心率互為倒數(shù)的橢圓的標準方

程.

15.（5分）計算：2cos50°_嗎°°=.

16.（5分）已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且△ABC是底邊長

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為3聲，面積為六一的等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）某科技公司有甲、乙、丙三個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為點

1

-3

2現(xiàn)安排甲組和乙組研發(fā)新產(chǎn)品A,丙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)每個小組研發(fā)成功與否

相互獨立，且當甲組和乙組至少有一組研發(fā)成功時，新產(chǎn)品4就研發(fā)成功.

（1）求新產(chǎn)品A,8均研發(fā)成功的概率；

（2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計該公司可獲利潤180萬元，否則利潤為0萬元；若新產(chǎn)

品B研發(fā)成功，預(yù)計該公司可獲利潤120萬元，否則利潤為0萬元.求該公司研發(fā)A,B

兩種新產(chǎn)品可獲總利潤（單位：萬元）的分布列和數(shù)學期望.

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18.(12分)已知數(shù)列｛斯-1｝是遞增的等比數(shù)列,。2=5且砧+的=26.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)列(也"｝的前n項和S,,.

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19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCO的底面ABC。是平行四邊形，以JL底面A8CD,PA=

AO=4,NBAO=120°,平行四邊形ABC。的面積為4百，設(shè)E是側(cè)棱PC上一動點.

（1）求證：CDLAE；

PE

（2）記七="0<2<1），若直線PC與平面ABE所成的角為60°,求人的值.

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20.(12分)已知拋物線r：^=2py(p>0)的焦點F與雙曲線2)2-2?=1的一個焦點重

口?

(1)求拋物線「的方程；

(2)過點尸作斜率不為0的直線/交拋物線「于A,C兩點，過A,C作/的垂線分別與

)，軸交于B,D,求四邊形ABCO面積的最小值.

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21.(12分)己知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx+mx,g(x)=w2x2^1,其中機>0.

(I)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(II)若加21,證明：當x>0時，g(x)(%).

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22.（10分）在直角坐標系X。），中，直線/的參數(shù)方程是｛；：［：［（￡為參數(shù)）.以原點O

為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓O的極坐標方程為p2-8=2p（cos0+sin9）.

（1）求直線/的普通方程和圓。的直角坐標方程；

（2）當岐，捫時，求直線/與圓O的公共點的極坐標.

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23.設(shè)函數(shù)/(x)=|3x-6|+2|x+l|-m(mGR).

(1)當”?=2時，解不等式f(x)>12；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)+|x+l|WO無解，求機的取值范圍.

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2022年河南省焦作市高考理科數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={4^-X-2<0},B={x|2x+l<0},則An8=()

1111

A.(―2f1)B.(―2f2)C.(―11—2)D.(—2,一2)

解：因為A={x|?-x-2V0}=(-1,2),B={x|2r+l<0}={x|x<-1),

1

則4n3=(-1,-p.

故選：c.

2.(5分)若力=l+3i,則5=()

A.3+iB.3-zC.3+2iD.3-2i

解:???zi=l+3i,

.l+3i(l+3i)i.

??z=-j-=--=o3-i,

/.z=3+i.

故選：A.

3.(5分)已知命題p：3AGN*,lgx<0,q：VxGR,cosxWl,則下列命題是真命題的是()

A.pf\qB.(_*p)AqC.pALq)D.'(pV^)

解：由，gx<0,得OVxVl,

故命題p：SjtGN*,/gxVO是假命題，

則力〃是真命題，

由cosxWl,得xWR,

故命題q：VxGR,cosx這1是真命題，

則「p/\q是真命題，

故選：B.

n

4.(5分)下列函數(shù)中，最小正周期為)的是()

A.y=sin-^B.y=sin8xC.y=cos-^D.y=tan(-8x)

解：A項，7=竽=8兀，故4不符合；

4

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B項，7=獸=?故B不符合；

C項，T=孕=8兀，故C不符合；

4

力項，7=高=不故。符合?

故選：D.

5.(5分)設(shè)函數(shù)人無)=2丁+5的零點為兩，則知€()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,4)

解：因為/。)=2方+看x€R且在R上連續(xù)，

又因為y=2,與)，=*在R上均為增函數(shù)，

所以/Q)=2丫+:在R上為增函數(shù)，

又因為/(0)=1>0,

/(-2)=1-2=_^<o>

所以f(x)=2丫+押零點在區(qū)間(-2,7)內(nèi),

故選：B.

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c,若a=2,2sinB=3sinA,

則△ABC的面積為()

3V23V3廣

A.---B.---C.3D.3A/2

22

解：因為C=J,a=2,2sinB=3sinA,

由正弦定理得，2b=3a=6,

所以b=3,

故△ABC的面積S=^absinC=^x2x3x^=與

故選：A.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=Zg(磊+。)是奇函數(shù)，則使得OV/(x)VI的x的取值范圍是

()

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A,(-8,一率B?(0，4)

C.(一白,o)D.(一條,0)U(W,1)

解：因為函數(shù)/(x)=Eg(磊+a)是奇函數(shù)，

所以f(0)=lg(2+a)=0,即2+a=l,解得a=-1,

2

所以/(x)=lg(二^一1)，

27

因為0V/U)VI，所以0</g(--1)VI,即1〈Ay—ivio,

(2

-2>

-r/id7+1°人T(2X(X+1)VO

可化為《1，等價于1

4T一11VOl(llx+9)(x+1)>0

lx+1

Q

解得一五<x<0.

故選：C.

8.(5分)某學校計劃從包含甲、乙、丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，

若甲、乙、丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有()

A.21種B.231種C.238種D.252種

解：10人中選5人有C?o=252種選法，其中甲，乙，丙三位老師均不選的選法有0=21

種，

故甲、乙、丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有底0-。=231種.

故選：B.

9.(5分)花窗是一種在窗洞中用鏤空圖案進行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國古代建筑中常見

的美化形式，既具備實用功能，又帶有裝飾效果.如圖所示是一個花窗圖案，大圓為兩

個等腰直角三角形的外接圓，陰影部分是兩個等腰直角三角形的內(nèi)切圓.若在大圓內(nèi)隨

機取一點，則該點取自陰影部分的概率為()

A.V2-1B.2-V2C.3-2A/2D.6-4立

解：設(shè)大圓的半徑為R,則等腰直角三角形的邊長分別為2R,或R,aR,

設(shè)等腰直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,

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則二(2R+V2R+V2/?)/-1XV2/?x^2R,

22

解得r=(V2-DR,

則陰影部分的面積為2乂皿乂/=如[(e一1)R]2=2(3-2V2)TTR2,

大圓的面積為nW,

則該點取自陰影部分的概率為P=2(3-2飲7?2=6_4近，

故選：D.

10.(5分)已知函數(shù)/'(x)=-爐+*/+bx(a,b>0)的一個極值點為1,則a2b2的最大值

為()

解：由/(%)=-A3+"2+匕％,則/a)=-

由題意可知，/(1)=0,即a+A=3,tz>0,Z?>0,

所以a2/w(竽)4=翳當且僅當a=b=|時取等號，

0-1

所以前的最大值密

故選：D.

11.(5分)如圖，在正四面體A8CZ)中，E是棱AC的中點，F(xiàn)在棱BD上,且BD=4FD,

則異面直線EF與AB所成的角的余弦值為()

C

V3V211

A.—B.—C.一D.-

3223

解：設(shè)AB=4,建立如圖所示的空間直角坐標系，

2V3476473

則F(0,1,0),B(0,-2,0),C(2V3,0,0),A(---,0,---),E(----,0

333

2V6

---),

3

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~T2>/34V6-4732V6

則84=(—，2,—),FE=(—，],-----),

3333

設(shè)易，尾的夾角為e,

8

-

3

==

則COS0=-4,2X3

曲前

則異面直線EF與AB所成的角的余弦值為5

故選：C.

|MFI|+|MF2|

且△MQF2的內(nèi)心為/（即，2）,若的面積為44則?~1^1()

357134

A.-B.-C.—D.-

2323

解：由題意可得，△MQP2的內(nèi)心/Go,2）到x軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.

又點M在橢圓C上，由橢圓的定義，得IMF/+\MF2\+IF/2I=2a+2c,SAMF1Fz=

1

2(2a+2c)x2=2(a+c)=4b,即a+c=2b.

又c=ea,所以b=。(沫―,

因為。2=/+02,

所以廣(1})]24-a2e2=a2,BP(l+e)2+4^2=4,

所以5，+2e-3=0,解得e=|或-1（舍去）,

所以駕畢2a15

K1^2l2ce3

故選:B.

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二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量Q=(%,—1)，6=(0,5),若QJ.(Q+26),則x=土3.

解：,.?向量2=(%,-1),b=(0,5),a1(a4-2h),

Aa*(a+26)=a2+2a-b=^+1+2(0-5)=0,

則x=±3,

故答案為：±3.

14.(5分)寫出一個離心率與雙曲線C：%2一吟=i的離心率互為倒數(shù)的橢圓的標準方程

x2y2

一+-=1(答案不唯一)?

43--------------------------

解：雙曲線C：%2一［=1的離心率為e=￥=2,則橢圓的離心率為去

X2V2

所以橢圓的標準方程可以為一+—=1.

43

X2V2

故答案為：一+J=1(答案不唯一).

43

15.(5分)計算：2cos50°一強界=—.

2-2―

si九04。

解：2cos500-=2cos50。一co^0°=2cos50。-=

4sin500cos500—sin400_2si980°—si兀40°_2cosl00—sin40o2cos(40。-30。)一sizi40。_

2cos40。-2cos40。-2cos40。2cos40。

V3

2,

故答案為：

16.(5分)已知三棱錐P-ABC的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且△ABC是底邊長

3\/41

為3VL面積為丁的等腰三角形，則該三棱錐的外接球的表面積為34n.

解：三棱錐P-ABC可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，

如圖，

設(shè)PA=BC=3>/2,P3=AC=PC=48=x,長方體交于一個頂點的三條棱長為a,b,c,

則SAABC=/x3夜x—(挈尸=嚶，解得x=5.

由題得a2+b2=PA2=(3V2)2=18,

a1+c1=AC2=25,b2+c1=PC2=25,

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解之得a=3,b=3,c=4.

Ja2+f)2+c2_檸+32+42_734

所以該三棱錐的外接球的半徑為R=

所以該三棱錐的外接球的表面積為S=4兀/?2=4兀義(學產(chǎn)=347r.

故答案為:34n.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)某科技公司有甲、乙、丙三個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為1,

13

-，現(xiàn)安排甲組和乙組研發(fā)新產(chǎn)品4丙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)每個小組研發(fā)成功與否

25

相互獨立，且當甲組和乙組至少有一組研發(fā)成功時，新產(chǎn)品4就研發(fā)成功.

(1)求新產(chǎn)品A,B均研發(fā)成功的概率；

(2)若新產(chǎn)品4研發(fā)成功，預(yù)計該公司可獲利潤180萬元，否則利潤為0萬元；若新產(chǎn)

品8研發(fā)成功，預(yù)計該公司可獲利潤120萬元，否則利潤為0萬元.求該公司研發(fā)A,B

兩種新產(chǎn)品可獲總利潤(單位：萬元)的分布列和數(shù)學期望.

解：(1)設(shè)新產(chǎn)品研發(fā)成功為事件M,新產(chǎn)品B研發(fā)成功為事件N,

則P(M)=1-(1-1)(1-i)=|,P(N)=|,

故P(MN)=P(M)P(N)=叁|=|.

(2)設(shè)該公司研發(fā)A,3兩種新產(chǎn)品可獲總利潤為隨機變量X,

則X所有可能取值為0,120,180,300,

P(X=0)=(1一|)(1—1)=卷

231

P(X=120)==

234

P(X=180)=可x(1—耳)=,

第16頁共22頁

2

P(X=300)=1-P(X=0)-P(X=120)-P(X=180)=j,

故X的分布列為：

X0120180300

P2142

155155

故E(X)=0x+120x1+180x+300x|=192.

18.（12分）已知數(shù)列｛的-1｝是遞增的等比數(shù)列,“2=5且俏+的=26.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

（2）求數(shù)歹（］｛m〃2｝的前n項和S”.

解：（1）由于數(shù)列｛斯-1｝是遞增的等比數(shù)列，

所以（。3-1產(chǎn)=（a2-l）（a4-1）；

由于42=5且43+44=26,

整理得公比＜7=溫=2,

所以ai-1=2,

故"1=3；

所以冊一1=(即一1)x2n-1,

整理得a”=2n+l；

n

(2)由(1)得：nan=n-2+n；

所以7；=1x2+2x22+3x23+…+n-2%①，

234n+1

2Tn=lx2+2x2+3x2+...+n-2,②，

12nn+1

①-②得：-Tn=(2+2+...+2)-n-2,

整理得及=(n-l)-2n+1+2,

所以%="+(1+2+…+n)—(n—l)2n+1+++1+2.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。的底面ABC。是平行四邊形，B4_L底面A8GD,%=

AD=4,ZBAD=UO°,平行四邊形A8CO的面積為4舊，設(shè)E是側(cè)棱PC上一動點.

(1)求證：CDA.AE；

第17頁共22頁

(2)記—=A(0<A<1)>若直線PC與平面A8E所成的角為60°,求入的值.

解：(1)證明：平行四邊形A8CD的面積為4百，AO=4,ZBAD=120°,

所以4XA8Xsinl20°=4百，解得AB=2,

在△ACO中，由AO=4,CD=2,N4OC=180°-ZBAD=60°,

得AC2=AD2+CD1-2ADXC￡>?cos60°=16+4-8=12,

：.AC2+CD2=12+4=16=AD2,：.AC±CD,

V：.PALCD,又％nAC=4,.?(。_1_平面外。，又ACu平面RIC,

：.CDLAE-,

(2)以A為坐標原點，以AB,AC,AP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

:%=4,A8=2,AC=V12=273,

AA(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(0,2?0),

PETT

設(shè)E(x,y,z),由正=4(。4VI)，得PE=XPC,

(x,y,z-4)=A(0>2y/3,-4),

；.x=0,y=26入,z=4-4入，即點E(0,2例,4-4人)，

：.AB=(2,0,0),AE=(0,2V3X,4-4A),PC=(0,2痘,-4),

第18頁共22頁

設(shè)平面ABE的一個法向量為蔡=(x,y,z),

，TT廠

rji||九,AB=2x=0z,1[71>|八v3A

貝小r-，令y=l,則x=0,z=TJT?)

n-AE=2V3Ay+(4-44)z=0

?.?直線PC與平面ABE所成的角為60°,

--In-PCI2點一嚼

.?.sin60°=|cos<n,PC>\=7f=-----1衿=與,

2V7XJl+(2^)2

化簡得(7A-2)(7A-6)=0,解得入=:或入=%

.??當入=，或入=*直線PC與平面ABE所成的角為60°.

20.(12分)已知拋物線「：/=2py(p>0)的焦點F與雙曲線2』-2/=1的一個焦點重

合.

(1)求拋物線「的方程；

(2)過點尸作斜率不為0的直線/交拋物線「于A,C兩點，過A,C作/的垂線分別與

y軸交于B，D,求四邊形ABC。面積的最小值.

解：(1)由2夕-2?=1要可得雙曲線的上焦點為尸(0,1),

.?弓=l,p=2,...拋物線「的方程為/=4y；

(2)設(shè)過點尸作斜率不為0的直線/的方程為)，="+1,由對稱性不妨設(shè)女>0,

設(shè)A(xi,yi),B(必M，

V—kx1

2〃,可得x2-4fcc-4=0,：.X\+X2=^k,：.X\X2=-4,

{xz=4y

A|xi-%2|=J(%]+x,)2—41]%2=V16k2+16,

過A與直線/垂直的直線方程為尸一了G-Xi)+yi,令x=0,得沖=一講i+yi=-講|+H1+1,

KKK

111

過與直線/垂直的直線方程為產(chǎn)一丁)，令%=°，得)-講；，

C,K(172+”'D=K2+*)2=-7KX2+te+l

111111

：.\BD\=(-+k)|xi-X2|,：.SABCD=1|BD|Xlxi|4-i|BD|X|x2|=||BD|X-x2|=7(7+%)

kLLL乙k

]

田-X2/=8(—+攵)(F+l),

k

令尸(-+k)(必+1)d+2k+R,則y=-當+2+3必=(3)2—1獷+1),

kk//

當ke(0,f)時，<<0,當品(手，+8)時，y'>0,.,.當仁堂時，y?M=增用,

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128V3

故四邊形A8CD面積的最小值為-----.

9

21.(12分)已知函數(shù)/(比)=(x+1)Inx+nu,g(x)=w2x2Z1,其中〃>0.

(I)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(II)若“21,證明：當x>0時，g(x)2/(x).

解：(I)由題可知g'(x)-x(x+2),

令g'(x)<0,得-2cxV0,令g'(x)>0,得xV-2或%>0,

故函數(shù)g(x)在(-8,-2)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減；

(II)證明：由g(x)河(x)得nrj?ex1-(x+1)Inxm20,

令f(〃z)=tn2x2ex1-(x+1)Inx-tnx,將1(〃?)看作關(guān)于m的二次函數(shù)，其圖象的對

x

稱軸為

m—2x2ex-1>

令可得bf,易知函數(shù)"⑴=環(huán)1在O+8)上單調(diào)遞增，

1

又“(0)=0,u(1)=1,故存在對X06(0,1),滿足〃(xo)

(/)當xe[xo,+8)時，

所以~、丫1<1,此時t(加)(1)?-(x+1)Inx-x,

2x2ex-i

此時需證力(x)i-(x+1)Inx-.

h'(x)=(7+2%)/i-g-/依-2,設(shè)p(x)=hr(x),

111llxl

則(無)=(/+4工+2)，“+丁——>(7+4x+2)?一+——-=—+—+2.

%，%2xX2X2X2

顯然當尤>0時，p(x)>0,從而/?'(x)單調(diào)遞增，

又〃'(1)=0,

所以當OVxVl時，h’(x)<0；當x>l時，hf(x)>0,故〃(%)2也(1)=0.