第01講銳角三角函數(shù)和特殊角目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解銳角三角形（正切、正弦、余弦）的意義，會(huì)表述正切（正弦、余弦）與梯子傾斜程度的關(guān)系。2.能夠運(yùn)用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中兩邊的比。3.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。4.知道坡度的意義，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。5.會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值。

6．理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”。7.利用特殊角的三角函數(shù)值解決簡(jiǎn)單的問題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01銳角的正切1．正切的定義如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的對(duì)邊a與鄰邊b的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的正切值。記作tanA，即tanA=。2．注意事項(xiàng)（1）tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示的正切，不能寫成。①對(duì)于用一個(gè)大寫英文字母或希臘字母，等表示的角，表示正切時(shí)習(xí)慣省去角的符號(hào)“”，如tanA，tan等。②對(duì)于用三個(gè)大寫英文字母或阿拉伯?dāng)?shù)字表示的角，角的符號(hào)“”不能省略，如tan，tan等。（2）tanA沒有單位，它的值只與的大小有關(guān)，與所在的直角三角形的邊長(zhǎng)無關(guān)。（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。提示：①銳角A的大小確定之后，它所在的直角三角形的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，即銳角的正切值的大小只與銳角的大小有關(guān)，與其所在的直角三角形的大小無關(guān)。②對(duì)于銳角A來說，的取值范圍是，的值隨銳角A的增大而增大。知識(shí)點(diǎn)02坡度與坡角1．定義如圖所示，我們通常把坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面與水平面的夾角稱為坡角。2．兩者之間的關(guān)系坡度是坡角的正切值，即。知識(shí)點(diǎn)03銳角的正弦、余弦1．正弦如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的對(duì)邊a與斜邊c的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的正弦。記作sinA，即sinA=。2．余弦如圖所示，在中，，如果銳角A確定，那么的鄰邊b與斜邊c的比便隨之確定，這個(gè)比叫做的余弦。記作cosA，即cosA=。注意：(1)正弦、余弦的定義與正切一樣，是在直角三角形中對(duì)其銳角定義的，它們實(shí)質(zhì)上是兩條線段的長(zhǎng)度之比，是一個(gè)數(shù)值，沒有單位，其大小與角的大小有關(guān)，與所在的直角三角形的三條邊長(zhǎng)無關(guān)。

(2)對(duì)于用一個(gè)希臘字母或一個(gè)大寫英文字母表示的角，角的符號(hào)“”習(xí)慣上省略不寫，但對(duì)于用三個(gè)大寫英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示的角，角的符號(hào)“”不能省略，如sinABC，sin1。

(3)sin，cos都是一個(gè)完整的符號(hào)，不能把sin寫成sin，離開了的sin是沒有意義的。

(4)sin2A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能寫成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能寫成cos

A2。知識(shí)點(diǎn)04銳角三角函數(shù)的概念（1）銳角A的正弦、余弦和正切都是的三角函數(shù)。當(dāng)銳角A變化時(shí)，相應(yīng)的正弦、余弦和正切值也隨之變化。（2）同角的正弦、余弦之間的關(guān)系（平方關(guān)系）：。（3）同角的正弦、余弦與正切之間的關(guān)系（商的關(guān)系）：。（4）互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：銳角A，B，且，則，，。知識(shí)點(diǎn)05梯子的傾斜程度與三角函數(shù)的關(guān)系如圖所示，若AB表示傾斜靠墻的梯子，則梯子的傾斜程度與它的傾斜角有關(guān)，傾斜角越大，梯子越陡。tan的值越大，梯子越陡；sin的值越大，梯子越陡；cos的值越小，梯子越陡。知識(shí)點(diǎn)06，，角的三角函數(shù)值1．圖示記憶法根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，結(jié)合下圖，可以得到如下幾個(gè)常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。2．表格記憶法角sincostan1提示：銳角三角函數(shù)值的增減變化（1）當(dāng)角度在~之間變化時(shí)，正弦值隨角度的增大而增大；余弦值隨角度的增大而減小；正切值隨角度的增大而增大。（2）當(dāng)銳角時(shí)，；當(dāng)銳角時(shí)，；當(dāng)銳角時(shí)，。知識(shí)點(diǎn)07特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)際應(yīng)用利用三角函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟：（1）根據(jù)實(shí)際問題，構(gòu)造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函數(shù)模型；（2）利用三角函數(shù)的定義表示題目中相關(guān)的量；（3）找出各個(gè)量之間的關(guān)系；（4）利用已知量與未知量的關(guān)系求出未知量；（5）作答。能力拓展能力拓展考法01利用銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)或面積【典例1】如圖，在Rt△ABC中，直角邊BC的長(zhǎng)為m，∠A＝40°，則斜邊AB的長(zhǎng)是（）A．msin40° B．mcos40° C． D．【答案】C【解析】解：∵sinA＝，∴AB＝，故答案為：C．【即學(xué)即練】已知在中，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵在中，，，∴sin=，即AB=.故答案為：A.【典例2】如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)剛好落在直線上，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖，連接CE，延長(zhǎng)EA交BC于F，∵AB＝2AC，設(shè)AC＝a，則AB＝2a，∴BC＝＝a，∵將△BAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△DAE，∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，∴∠DEA＝∠DFA，∴DF＝DE＝a，又∵∠DAE＝90°，∴AF＝AE＝a＝AC，∴∠ECF＝90°，∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，∴＝，∴CE＝a，∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，∴CF＝a，∴CD＝DF﹣CF＝a，∴BD＝BC+DC＝a，∴△BDE的面積＝×a×a＝×a×a×＝.故答案為：A.【即學(xué)即練】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB為邊向三角形外部作正方形，則該正方形的面積是（）A．8 B．12 C．18 D．20【答案】D【解析】解：∵，

∴AC=BC·tan∠ABC=2×2=4，

∴AB=，

∴正方形的面積=AB2=20.故答案為：D.考法02求銳角三角函數(shù)值【典例3】在中，，的余弦是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在中，，則；故答案為：C．【即學(xué)即練】在Rt△ABC中，，，，則的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖∵，，∴∴故答案為：A．【典例4】在中，，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，∴故答案為：A.【即學(xué)即練】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，根據(jù)勾股定理AB=，∴cosA=，選項(xiàng)A不正確；sinA＝，選項(xiàng)B不正確；tanA＝，選項(xiàng)C正確；cosB＝，選項(xiàng)D不正確.故答案為：C.考法03應(yīng)用坡度解決實(shí)際問題【典例5】如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：，壩高BC=4m，則AB的長(zhǎng)度為（）A．2m B．4m C．4m D．6m【答案】C【解析】解：∵迎水坡AB的坡比為1：，∴，即，解得，AC＝4，由勾股定理得，AB＝=4（m），故答案為：C.【即學(xué)即練】河堤橫斷面如圖所示，堤高米，迎水坡的坡比為，則AB的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．18米 D．21米【答案】C【解析】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比為1：，∴，解得，AC=9，∴AB==18.故答案為：C.【典例6】如圖，在山坡上種樹，坡度i＝1：2，AB＝5m，則相鄰兩樹的水平距離AC為（）A．5m B．m C．2m D．10m【答案】C【解析】解：∵在山坡上種樹，坡度i＝1：2，∴設(shè)BC＝x，則AC＝2x，∴x2+（2x）2＝52，解得：x＝（負(fù)值舍去），故AC＝2（m）.故答案為：C.【即學(xué)即練】如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）都為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】A【解析】解：如下圖：∵AB的坡度為0.75=，

∴，

即：，

∴AC=3，

∴AB=5，

∴相鄰兩樹間的坡面距離為5m.

故答案為：A.考法04特殊角的三角函數(shù)值【典例7】計(jì)算?tan60°的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：原式=×=，故選：D．【即學(xué)即練】4cos60°的值為（）A． B．2 C． D．2【答案】B【解析】解：4cos60°=4×=2，故選：B．【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值為（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，則sinA+cosB=+=1．故選A．【即學(xué)即練】已知∠A，∠B均為銳角，且cosA=，sinB=，則下列結(jié)論中正確的是（）A．∠A=∠B=60° B．∠A=∠B=30°C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°【答案】D【解析】解：∵∠A，∠B均為銳角，cosA=，sinB=，∴∠A=60°，∠B=30°．故選D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則tanB的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝．∴tanB＝．故選：D．2．如圖，在中，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，則．故選：C．3．對(duì)角線長(zhǎng)為的正方形，邊長(zhǎng)是多少（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得答案．解：如圖：正方形中，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴．故選：D．4．的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】解：．故選：D．5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】解：∵∠C＝90°，sinA，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°．故選：A．6．市防控辦準(zhǔn)備制作一批如圖所示的核酸檢測(cè)點(diǎn)指示牌，若指示牌的傾斜角為，鉛直高度為h，則指示牌的邊AB的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)A作于C，在中，，∴．故選：B．7．比較大?。篲________（選填“＞”、“＝”或“＜”）．【答案】＜【解析】解：∵，且，∴．故答案為：＜8．有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為20m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，則此斜坡的水平距離AC=_____m【答案】50【解析】解：由題意作圖如下，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，故答案為：50．9．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）；（2）；（3）．10．如圖，在中，，，．求的三個(gè)三角函數(shù)值．【答案】，，【解析】中，，，，，，，．題組B能力提升練1．在中，，則=(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如圖，在Rt△ABC中，，則．故選：C．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，則cosB的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，∴設(shè)BC=x，則AC=2x，則故選A3．如圖，舊樓的一樓窗臺(tái)高為1米，在舊樓的正南處有一新樓高25米．已知某日中午12時(shí)太陽從正南方照射的光線與水平線的夾角為，光線正好照在舊樓一樓窗臺(tái)上，則兩樓之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)B作BC⊥AD于點(diǎn)C，則∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25-1=24，，∴．故選D．4．圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F，若BC=4，sin∠CEF=，則△AEF的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】解：連接，∵是斜邊上的中線，∵（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴，又∵，在△ABC中，，在△AEC中，，∴，，，設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍掉），，∴是的垂直平分線，∴，，，故選：C．5．如圖，在中，，，以為斜邊向外作，、分別為、的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：在中，，，，∴，∵，，∴，∵、分別為、的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線，∴．故選：A．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點(diǎn)H是高AD和BE的交點(diǎn)，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長(zhǎng)度為（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，得∴∴∵CD＝4∴∴經(jīng)檢驗(yàn)，是的解∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∴∴∴∴∴∴經(jīng)檢驗(yàn)，是的解故選：C．7．計(jì)算：__________．【答案】【解析】解：原式故答案為：8．如圖，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，則______．【答案】【解析】解：設(shè)，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，，，，故答案為：．9．如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求∠ADE的余弦．【答案】(1)(2)的余弦為【解析】(1)解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，∴=，即=，∴DE=4，由勾股定理得CE=；(2)解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線，∴AD//EF，∴∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，，，，由勾股定理得，∴，∴，即的余弦為．10．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→A的方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為，請(qǐng)解決下列問題：(1)若點(diǎn)P在邊AC上，當(dāng)為何值時(shí)，APQ為直角三角形？(2)是否存在這樣的值，使APQ的面積為cm2？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)1.2或3(2)存在，或4【解析】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，由題意知，AP=2，AQ=6-，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，所以，點(diǎn)P在邊AC上，當(dāng)為1.2s或3s時(shí)，△APQ為直角三角形；（2）存在

①當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，此時(shí)0≤≤3，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，∴sinA=，即sin60°==，∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，由（6-）●=，得（不合題意，舍去），；②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，此時(shí)3≤≤6，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，∴sinB=，即sin60°==，∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，由（6-）●=得

因此，當(dāng)t為s或4s時(shí)，△APQ的面積為．題組C培優(yōu)拔尖練1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC旋轉(zhuǎn)得到△ADE，且點(diǎn)D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，∴CD＝5﹣3＝2，∴CE2，在Rt△CED中，sin∠ECD，故選：C．2．如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)O，B，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，，，，，，，，，，，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，．故選D3．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個(gè)圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個(gè)直角三角形面積均為1，為直角三角形中的一個(gè)銳角，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】∵小正方形與每個(gè)直角三角形面積均為1，∴大正方形的面積為5，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為，設(shè)直角三角形短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊為a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合題意，舍去)，===2，故選：A．4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E為AC上一點(diǎn)，且CE＝5AE，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，則DF的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】解：如圖，連接CF，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)T，過點(diǎn)G作GH⊥DE于H，過點(diǎn)D作DP⊥AC于P,∵EC＝5AE，∴可以假設(shè)AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，∵∠DPC＝∠A＝90°，∴DP//AB，∵BD＝CD，∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，∵tan∠ACB＝，∴PD＝a，∴tan∠CET＝，∵EC＝5a，∴CT＝a，ET＝2a，∵DE＝a，∴DT＝CT＝a，∴∠TDC＝∠TCD＝45°，由翻折的性質(zhì)可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝，∵EG＝，∴GH＝，EH＝，∵∠GDH＝∠CDT＝45°，∴GH＝DH＝，∴DE＝a＝，∴a＝，∵DF＝CD＝a＝2，故選：D．5．如圖，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD為△ABC的角平分線，若，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】D【解析】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則∠DEB=∠DEC=90°，設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，∴∠C=（180°-∠A）=45°，∵BD為△ABC的角平分線，∴DE=AD=x-2，∵，∴，∴，即．故選D．6．如圖，洋洋一家駕車從A地出發(fā)，沿著北偏東60°的方向行駛，到達(dá)B地后沿著南偏東50°的方向行駛來到C地，且C地恰好位于A地正東方向，則下列說法正確的是（

）A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上C． D．【答案】D【解析】解：如圖所示：由題意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C處的北偏西50°，故A錯(cuò)誤；∵∠ABP=60°，∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B錯(cuò)誤；∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C錯(cuò)誤．∵∠BAD=60°，∴∠BAC=30°，∴sin∠BAC=，故D正確．故選：D．7．兩塊全等的等腰直角三角形如圖放置，交于點(diǎn)P，E在斜邊上移動(dòng)，斜邊交于點(diǎn)Q，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為___________．【答案】或或【解析】解：當(dāng)BE=PE時(shí)，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，∵BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=．當(dāng)PB=PE時(shí)，根據(jù)前面計(jì)算，得到BH=PH=3，∴BH=HE=3，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，∴CQ=，∵BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=．當(dāng)BP=BE時(shí)，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，∵BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=，綜上所述AQ的長(zhǎng)為或或，故答案為：或或．8．如圖，CD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是_______．【答案】16【解析】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DEAC，DFBC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DEAC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴