專題08弧長、扇形的面積與圓錐的側(cè)面積考點一求弧長考點二求扇形的面積考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積考點四求不規(guī)則圖形的面積考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題典型例題典型例題考點一求弧長例題：（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，由題意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的長==2π，故選：C．【點睛】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2021·四川樂山·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)，再利用弧長公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【點睛】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，在扇形OAB中，，則的長為______cm．【答案】##【分析】利用弧長公式，代入數(shù)值計算即可．【詳解】解：由題意得的長＝＝(cm)，故答案為：【點睛】此題考查了弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．考點二求扇形的面積例題：（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級期末）如圖，在ABCD中，∠D＝60°，對角線AC⊥BC，⊙O經(jīng)過點A，B，與AC交于點M，連接AO并延長與⊙O交于點F，與CB的延長線交于點E，AB＝EB．(1)求證：EC是⊙O的切線；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后說明∠OBC=90°即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC＝AD＝2，過O作OH⊥AM于H，則四邊形OBCH是矩形，然后再說明△AOM是等邊三角形，即∠AOM＝60°；最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可．（1）證明：連接OB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=90°∴OB⊥CE∵OB是半徑

∴EC是⊙O的切線．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=2過O作OH⊥AM于H則四邊形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等邊三角形∴∠AOM＝60°∴．【點睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、扇形面積計算等知識點，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C的圓O的切線交AB的延長線于點P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）．【答案】(1)見解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識，題目難度不大．考點三求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積例題：（2022·廣西河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理定理求出AB，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴所掃過的面積為．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解答的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·河北邯鄲·九年級期末）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．【答案】

##【分析】根據(jù)弧長公式可求得的長；根據(jù)圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長為:2π；∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB掃過的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的性質(zhì)的運用，弧長公式以及扇形的面積公式的運用，解答時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．2．（2022·山東·招遠市教學研究室一模）如圖，在平面直角坐標系中，等邊△ABC的頂點A在y軸的正半軸上，B(﹣5，0)，C(5，0)，點D(11，0)，將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，則線段CD轉(zhuǎn)過區(qū)域的面積為________．【答案】【分析】先判斷出OB＝OC＝5，根據(jù)勾股定理可得OA和AD的長，根據(jù)△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面積公式即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵B（?5，0），C（5，0），∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，∴，∵D（11，0），∴OD＝11，∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，∵△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，∴圖中陰影部分面積＝S扇形DAE?S扇形BAC故答案為：16π【點睛】本題考查了扇形面積的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．考點四求不規(guī)則圖形的面積例題：（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCM-S扇形BMN==，故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCM-S扇形BMN是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=10，點P為半圓上一點．將此半圓沿AP所在的直線折疊，若恰好弧AP過圓心O，則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，則可判斷點O是弧AOP的中點，由折疊的性質(zhì)可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【詳解】解：過點O作OD⊥BC于點D，交弧AP于點E，連接OP，則點E是弧AEP的中點，由折疊的性質(zhì)可得點O為弧AOP的中點，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S陰影=S扇形BOP==π．故答案為：π．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點O是弧AOP的中點，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．2．（2022·河南信陽·九年級期末）如圖，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點落在邊上，交于點，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【點睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．考點五求圓錐的側(cè)面積、底面半徑、展開圖的圓心角例題：（2022·山東濟寧·中考真題）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長計算即可求解．【詳解】解：底面直徑為6cm，則底面周長=6π，側(cè)面面積=×6π×8=24πcm2．故選D．【點睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積=×底面周長×母線長．【變式訓練】1．（2021·廣東·廣州市黃埔區(qū)華實初級中學二模）如圖，圓錐的母線長l為10cm，側(cè)面積為50πcm2，則圓錐的底面圓半徑r＝___cm．【答案】5【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和圓錐的母線長求得圓錐的弧長，利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵圓錐的母線長是10cm，側(cè)面積是50πcm2，∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：l10π（cm），∵圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，∴r5（cm），故答案為：5．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是正確地進行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化．2．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）一個圓錐的底面周長是6cm，母線長是6cm，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形圓心角是_______．【答案】【分析】先用圓錐的底面周長得到圓錐的側(cè)面扇形的弧長，然后再利用弧長公式求得側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵圓錐的底面圓的周長是6cm，∴圓錐的側(cè)面扇形的弧長為6πcm，，解得：．故答案為．【點睛】本題主要考查弧長的計算，掌握弧長公式成為解答本題的關(guān)鍵．考點六求圓錐側(cè)面的最短路徑問題例題：（2022·河南三門峽·九年級期末）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形，糧堆母線的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點是半圓的一個端點，而點是平分半圓的半徑的中點，根據(jù)勾股定理就可求出兩點和在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．【詳解】解：圓錐的底面周長是，則，，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．則在圓錐側(cè)面展開圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開圖中．故小貓經(jīng)過的最短距離是．故選：．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，已知圓錐的母線AB長為40cm，底面半徑OB長為10cm，若將繩子一端固定在點B，繞圓錐側(cè)面一周，另一端與點B重合，則這根繩子的最短長度是______________．【答案】cm【分析】根據(jù)底面圓的周長等于扇形的弧長求解扇形的圓心角再利用勾股定理求解即可.【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n°，圓錐底面圓周長為則n=90，∵即這根繩子的最短長度是cm，故答案為：．【點睛】本題考查的是圓錐的側(cè)面展開圖，弧長的計算，掌握“圓錐的底面圓的周長等于展開圖的弧長求解圓心角”是解本題的關(guān)鍵.2．（2021·江蘇省鹽城中學新洋分校九年級階段練習）如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點，一只螞蟻從點A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，求這只螞蟻爬過的最短距離．【答案】（1）90°；（2）4【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進而即可求解；（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進而即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝，解得n＝90°；（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．∴是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AD＝BD＝4÷=2，∴AC＝2AD＝4，即這只螞蟻爬過的最短距離4．【點睛】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·江蘇·九年級專題練習）半徑為6的圓中，一個扇形的圓心角為60°，則該扇形的面積為（

）A．6π B．3π C．2π D．π【答案】A【分析】根據(jù)扇形的面積公式（n為圓心角）進行計算即可．【詳解】解：S．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算方法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021·山東·威海市實驗中學九年級期末）如圖，邊長為2的菱形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)，當B、C兩點恰好落在扇形AEF的EF上時，弧BC的長度等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AC，根據(jù)題意可得△ABC為等邊三角形，從而可得到∠A的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求得弧BC的長度．【詳解】解：連接AC，∵菱形ABCD中，AB=BC，又AC=AB，∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．∴∠BAC=60°，又∵AB=2，∴故選B．【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定以及弧長公式的理解及運用．3．（2022·山東德州·九年級期末）如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【分析】作出等腰三角形底邊上的高線OE，首先根據(jù)直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出等腰三角形底邊上的高線OE的長度，即得到扇形OCD所在的圓的半徑R，然后根據(jù)弧長公式求出的長度，的長度即為圓錐底面圓的周長，最后根據(jù)周長求出半徑即可．【詳解】如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，根據(jù)題意得，，解得，所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，故選A．【點睛】本題考查了直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半、扇形的弧長公式、圓的周長公式，準確將扇形的弧長轉(zhuǎn)化為底面圓的周長是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【分析】連接、，證出是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，再由弧長公式求出弧的長即可．【詳解】解：連接、，六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，，，，的長為．故選：D．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得的長，進而根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校三模）如果圓錐底面圓的半徑為3cm，它的側(cè)面積為12cm2，則這個圓錐的母線長為_____cm．【答案】4【分析】設(shè)圓錐的母線長為lcm，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：由扇形面積公式和弧長公式可得，設(shè)圓錐的母線長為lcm，根據(jù)題意知側(cè)面展開扇形的弧長為，從而得到，解得l＝4，即圓錐的母線長為4cm，故答案為：4．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．7．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·九年級期末）如圖，的半徑為2cm，正六邊形內(nèi)接于，則圖中陰影部分面積為______．【答案】【分析】如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，證明△OBC的面積=△ABC的面積，可得圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，再利用扇形的面積公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面積=△ABC的面積，∴圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積=．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的扇形思考問題，屬于中考常考題型．8．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在矩形中，，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得點落在邊上的點處，線段掃過的面積為___________．【答案】##【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得由銳角三角函數(shù)可求從而得出由扇形面積公式即可求解．【詳解】解：∵矩形中，由旋轉(zhuǎn)可知，∵，∴∴線段AB掃過的面積故答案為：【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解此題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得，連接AC、AE，用圖中陰影部分作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為______．【答案】【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長為4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，進而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，過B作BHAC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH=CH=AC，BH=2．在RtABH中，由勾股定理求得AH=，得到．根據(jù)扇形的面積公式可得到陰影部分的面積，即是圓錐的側(cè)面積，最后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解底面半徑即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為4，∴AB=BC=4，，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴，如圖，過B作BHAC于H，∴AH=CH=AC，，在RtABH中，，∴，同理可求∠EAF=30°，∴，∴，∴，∵，∴，∴r=，故答案為：．【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面積，掌握扇形面積公式和圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．10．（2022·山東青島·中考真題）如圖，是的切線，B為切點，與交于點C，以點A為圓心、以的長為半徑作，分別交于點E，F(xiàn)．若，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】【分析】先證明再利用陰影部分的面積等于三角形面積減去扇形面積即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接OB，是的切線，設(shè)故答案為：【點睛】本題考查的是圓的切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，掌握“整體求解扇形的面積”是解本題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是AB延長線上一點，∠BCD＝∠A，CA＝CD.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若BD=2，求圖中陰影部分面積.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的判斷方法，利用等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理求出∠OCD＝90°即可；（2）求出三角形OCD的面積和扇形BOC的面積即可．（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AO＝OC，∴∠A＝∠ACO，又∵∠BCD＝∠A，∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）連接OC，設(shè)∠D＝x，∵CA＝CD，∴∠A＝∠D＝x，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠D＝x，∴CB＝BD，∠OCB＝∠BCD+∠D＝x+x＝2x．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝2x．由（1）可得CD是⊙O的切線，OC是⊙O半徑，∴∠OCD＝90°，∵∠OCD＝∠OBC+∠BCD＝2x+x＝3x，∴3x＝90°，即x＝30°∴∠OBC＝∠OCB＝2x＝60°，∴∠COB＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠COB＝∠OBC，∴OB＝BC＝BD＝2．∴OC＝OB＝2，OD＝OB+BD＝2+2＝4．在Rt△OCD中，CD2＝OD2﹣OC2，∴，∴，．∴．【點睛】本題考查切線的判斷和性質(zhì)，圓周角定理以及扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算方法，圓周角定理以及切線的判斷是正確詳解的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，AB＝，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于F，∠A＝(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBC圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角等于所對的圓心角的一半和垂徑定理，求出扇形的圓心角為120°，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理可求出半徑的長，利用扇形的面積公式即可求解；（2）直接根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑．(1)解：連接AC．∵AD⊥BC，AD是直徑，∴AD垂直平分BC∴AB＝AC，BF＝FC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．∵BF＝AB＝2，AF＝＝6．∴OB2＝BF2+OF2∴∴OB＝4．∴S陰影＝(2)解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，∴2πr＝∴【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式和圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系．本題還涉及到圓中的一些性質(zhì)，如垂徑定理等．13．（2022·山東日照·九年級期末）如圖，平面直角坐標系xoy在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一段圓弧過，，三點．(1)利用直尺畫圖，確定圓弧所在圓的圓心M的位置，并寫出點M的坐標__________；(2)求出的半徑；(3)連接AM、CM，將扇形AMC剪下，圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓半徑是___________．【答案】(1)圖見解析，M（2，1）(2)(3)【分析】（1）連接AB、BC，分別作AB、BC的垂直平分線，兩條直線交點即為圓心M；（2）連接MC，利用勾股定理求出半徑；（3）如圖，證明△AFM≌△MNC（SAS），得到∠AMF=∠MCN，證得∠AMC=90°，設(shè)圓錐的底面圓半徑是r，得到求出r即可．(1)解：如圖，點M即為所求，點M坐標為（2，1）；故答案為（2，1）；(2)解：連接MC，的半徑；(3)如圖，∵AF=MN