第十一章動(dòng)量定理動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題：建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，聯(lián)立求解即可。實(shí)際上的問題是：1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難； 2、大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),僅需

要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。從本章起,講述解答動(dòng)力學(xué)問題的其它方法,而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。

表明兩種量

——一種是同運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動(dòng)力學(xué)問題非常方便簡(jiǎn)捷。幾個(gè)有意義的實(shí)際問題地面拔河與太空拔河，誰勝誰負(fù)？冰上拔河，誰勝誰負(fù)？幾個(gè)有意義的實(shí)際問題偏心轉(zhuǎn)子電動(dòng)機(jī)工作時(shí)為什么會(huì)左右運(yùn)動(dòng)；會(huì)不會(huì)上下跳動(dòng)？蛤蟆夯是如何工作的？光滑臺(tái)面幾個(gè)有意義的實(shí)際問題蹲在磅秤上的人站起來時(shí)，磅秤指示數(shù)會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？水水池隔板抽去隔板后將會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？第十一

章動(dòng)量定理

§11-1動(dòng)量與沖量

§11-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

結(jié)論與討論

§11-2動(dòng)量定理

§11-1動(dòng)量與沖量一、動(dòng)量1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv

稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。動(dòng)量是矢量，其方向與速度方向一致。動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量?。淮核俣刃?，質(zhì)量大。m在國際單位制中，動(dòng)量的單位為kg·m/s。動(dòng)量的量綱為dimmv

=MLT-12、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量（1）質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量主矢，簡(jiǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。用p表示。[例]三物塊用繩連接如圖示，其質(zhì)量為m1=2m2=4m3，如繩的質(zhì)量和變形均不計(jì)，

則三物塊均以同樣的速度v運(yùn)動(dòng)。求該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。m3m1m2v2v1v345°（2）利用質(zhì)心求質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量m1m2mnzoxyrCCrimi設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的矢徑為ri，則結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積。（3）若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系由多個(gè)剛體組成，則該質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量可寫為式中 mi、vCi

分別為第

i個(gè)剛體的質(zhì)量和它的質(zhì)心的速度。[例]求圖示均質(zhì)物體或物體系統(tǒng)的動(dòng)量。vCOvCO

C

C例題1畫橢圓的機(jī)構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄OA，規(guī)尺BD以及滑塊B和D組成(圖a)，曲柄與規(guī)尺的中點(diǎn)A鉸接。已知規(guī)尺長(zhǎng)2l，質(zhì)量是2m1；兩滑塊的質(zhì)量都是m2；曲柄長(zhǎng)l，質(zhì)量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)曲柄OA與水平成角φ時(shí)整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量。(a)xyOADφωB

整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)量等于曲柄OA，規(guī)尺BD，滑塊B和D的動(dòng)量的矢量和，即解：p=pOA+pBD

+pB+pD其中曲柄OA的動(dòng)量pOA=m1vE，大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向與vE一致，即垂直于OA并順著ω的轉(zhuǎn)向(圖

b)。xyOADφωBvDvBvEExyOADφωBEpOA(b)因?yàn)橐?guī)尺和兩個(gè)滑塊的公共質(zhì)心在點(diǎn)A，它們的動(dòng)量表示成p′=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于動(dòng)量pOA

的方向也是與vA

的方向一致，所以整個(gè)橢圓機(jī)構(gòu)的動(dòng)量方向與vA

相同，而大小等于xyOADφωBEpBD+pB+pDpOAxyOADφωBvDvAvBvEE思考：1、皮帶輪傳動(dòng)系統(tǒng)由均質(zhì)輪和均質(zhì)皮帶組成，該系統(tǒng)的動(dòng)量等于多少？ω2O2O1m2ω1m1mCCCvmm1m1dRRvv2、兩均質(zhì)輪質(zhì)量均為m1，半徑均為R，兩輪間距離為d，履帶質(zhì)量為m，長(zhǎng)為

L，求(1)系統(tǒng)的動(dòng)量；(2)除去與地面接觸的履帶以外的履帶的動(dòng)量。解：(1)系統(tǒng)的動(dòng)量為各部分動(dòng)量的矢量和p=p輪1

+p輪2

+p帶

=(2m1+m)v

p輪1

=p輪2

=m1

v；p帶=m

v

(2)p帶==mv=p帶二、沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。1、常力的沖量······常力矢量與其作用時(shí)間的乘積。2、變力的沖量力的元沖量力在微小時(shí)間間隔dt內(nèi)的沖量。力在有限時(shí)間內(nèi)（瞬時(shí)t1至瞬時(shí)t2）的沖量與動(dòng)量的量綱相同則沖量計(jì)算的投影式為若3、力系的沖量作用于質(zhì)點(diǎn)系中力系的各力沖量的矢量和稱為力系的沖量，即結(jié)論：力系的沖量等于力系的主矢在同一時(shí)間內(nèi)的沖量。一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理若質(zhì)量m恒定，則牛頓第二定律可寫為即：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于其上的力。在t1至t2時(shí)間內(nèi)積分，得即：質(zhì)點(diǎn)在t1至t2時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的改變量等于作用于其上的力在同一時(shí)間內(nèi)的沖量?；?/p>

§11-2動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi；受力Fi(e)········外力，F(xiàn)i(i)········內(nèi)力，對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。其中：或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。在瞬時(shí)t1至t2段時(shí)間內(nèi)積分，有動(dòng)量定理的投影式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式v1v2xyθIxIyI例題1質(zhì)量為1kg的小球，以v1=4m/s的速度與一固定水平面相碰撞，α＝30o，小球彈起的速度為v2=2m/s，β＝60o。求：作用于小球的沖量的大小和方向。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，并取如圖所示的坐標(biāo)系。帶入數(shù)值得H=1.5mPN*x例題2重30kN的重錘自高H＝1.5m自由落下并打在工件上，工件在鍛錘的打擊下發(fā)生變形，變形所經(jīng)歷的時(shí)間τ＝0.01s。求：鍛錘對(duì)工件的平均壓力。解：以鍛錘為研究對(duì)象。工件的反力與工件的變形有關(guān)，工件變形是在時(shí)間τ內(nèi)的變化，所以工件的反力也是變化的，現(xiàn)取平均值N*。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理得0－0＝N*τ－P(t＋τ)ωC2C1φe例題3已知定子m1，轉(zhuǎn)子m2；角速度ω；偏心距為e。求基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)的反力。研究定子與轉(zhuǎn)子組成的系統(tǒng)，受力如圖，解：系統(tǒng)的動(dòng)量為p

=p

1+p

2設(shè)t=0時(shí)，C1C2鉛直，則φ=ωt時(shí)，px=m2ωecosωt

p

y=m2ωesinωt由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：xyp2FyFxm1gm2g∴p=p2=m2ωeA三.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律★當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力主矢恒等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變?！锂?dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力主矢在某軸（如x軸）上投影恒等于零時(shí)，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影保持不變。當(dāng)=常矢量當(dāng)=常量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的實(shí)例炮身與炮彈水平飛行時(shí)的火箭人與小船結(jié)論：只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量；內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但能改變其中各部分的動(dòng)量。動(dòng)量守恒方程中的速度必須是絕對(duì)速度；應(yīng)確定一個(gè)正方向，嚴(yán)格按照動(dòng)量投影的正負(fù)號(hào)去計(jì)算；動(dòng)量守恒定理常用來求速度。C實(shí)例分析—太空拔河宇航員A、B的質(zhì)量分別為mA、mB。開始時(shí)二人在太空保持靜止。若A的力氣大于B，則拔河勝負(fù)如何？∴二人拔河不分勝負(fù)！例題4火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是m1，炮彈的質(zhì)量是m2，炮彈相對(duì)炮車的發(fā)射速度是vr

，炮筒對(duì)水平面的仰角是

（圖a）。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrα解:炸藥（其質(zhì)量略去不計(jì)）的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸x

的投影都是零，即有Fx

=0；可見，系統(tǒng)的動(dòng)量在軸x上的投影守恒。ABFAFBm1gm2gvm1xyvrαvm1vrα

v取火炮和炮彈（包括炸藥）這個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。設(shè)火炮的反座速度是vm1，炮彈的發(fā)射速度是

v，對(duì)水平面的仰角是

（圖b）。（b）（a）px=m2vcos

m1vm1=0對(duì)于炮彈應(yīng)用速度合成定理，可得v=ve+vr考慮到ve

=vm1，并將上式投影到軸x和y上，就得到vcos

=vrcos

vm1

vsin

=vrsin

聯(lián)立求解上列三個(gè)方程，即得考慮到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于平衡，即有pox=0，于是有（b）vm1vrα

v§11-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心（質(zhì)量中心）m1m2mnzoxyrCCrimixCyCzC投影得到質(zhì)心的位置坐標(biāo)：質(zhì)心和重心是兩個(gè)不同的概念

重心是與重力場(chǎng)相聯(lián)系的，離開了重力場(chǎng)就沒有意義。而質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量分布情況的一個(gè)幾何點(diǎn)，它是客觀存在的，與作用力無關(guān)。即質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和（外力主矢）。二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的投影式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述的是質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的平行移動(dòng)。三、幾點(diǎn)說明（1）質(zhì)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，可以視為一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如將質(zhì)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心上，同時(shí)將作用在質(zhì)系上所有外力都平移到質(zhì)心上，則質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度與所受外力的關(guān)系符合牛頓第二定律。如在定向爆破中，爆破時(shí)質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，但質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡近似一拋物線，由此可初步估計(jì)出大部分物塊堆落的地方。Pv定向爆破宜賓一樓定向爆破不成，炸樓炸成“比薩斜塔”跳高運(yùn)動(dòng)員的過桿姿勢(shì)h3=254~305mmh3=51~102mm跳高運(yùn)動(dòng)員的過桿姿勢(shì)（2）質(zhì)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。N2驅(qū)動(dòng)汽車行駛的力N1F2F1FrMaCW汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)氣體的爆炸力，對(duì)汽車來說是內(nèi)力。當(dāng)F1＞F2＋Fr時(shí)，aC＞0（3）若質(zhì)點(diǎn)系是由n個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，則剛體系內(nèi)各剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度乘積的矢量和，等于作用于剛體系的外力的主矢。即在直角坐標(biāo)上投影形式

若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始時(shí)系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。四、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的投影式例題5電動(dòng)機(jī)的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對(duì)它的軸線有一個(gè)很小的偏心距b（圖中有意夸張）。試求電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子以勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，電動(dòng)機(jī)所受的總水平力和鉛直力。bωtW1W2O1O2ωxyFyFx解:

取整個(gè)電動(dòng)機(jī)（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對(duì)象。選坐標(biāo)系如圖所示。質(zhì)心C的坐標(biāo)為質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為bωtW1W2O1O2ωxyFyFx從而求得質(zhì)心加速度在坐標(biāo)系上的投影把上式代入式(1)和(2)，即可求得Fx=

m2bω2cosωtFy=(m1+m2)g

m2bω2sinωt解法二：分析系統(tǒng)中各剛體的運(yùn)動(dòng)bωtW1W2O1O2ωxyFyFx當(dāng)ω>

時(shí)，有<0，如果電動(dòng)機(jī)未用螺栓固定，將會(huì)離地跳起來。砸夯機(jī)例題6如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1

，船長(zhǎng)l，水的阻力不計(jì)。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g取人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影等于零，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。

人走到船尾時(shí)，船移動(dòng)的距離為s，則質(zhì)心的坐標(biāo)為解：取坐標(biāo)軸如圖所示。在人走動(dòng)前，質(zhì)心的坐標(biāo)為由于質(zhì)心在軸上的坐標(biāo)不變，解得Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題7圖示水平面上放一均質(zhì)三棱柱A，在其斜面上又放一均質(zhì)三棱柱Ｂ．兩三棱柱的截面均為直角三角形．三棱柱Ａ的質(zhì)量ma為三棱柱Ｂ的質(zhì)量mb

的三倍，其尺寸如圖示.設(shè)各處摩擦不計(jì),初始時(shí)系統(tǒng)靜止.求當(dāng)三棱柱B沿三棱柱A滑下接觸到水平面時(shí),三棱柱A移動(dòng)的距離，三棱柱A的加速度和地面的約束反力αaAbB解：（1）以整體為研究對(duì)象，水平向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒θaAbBmAgmBgFNaAaAar（2）以整體為研究對(duì)象，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

單獨(dú)考慮B塊，經(jīng)求解可得A、B塊的加速度為（3）確定地面的反力,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理mBgFNBaAar

xtB沿xt方向運(yùn)動(dòng)微分方程為：牛頓第二定律動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定理工程力學(xué)中的動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定理比物理學(xué)中的相應(yīng)的定理更加具有一般性，應(yīng)用的領(lǐng)域更加廣泛，主要研究以地球?yàn)閼T性參考系的宏觀動(dòng)力學(xué)問題，特別是非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。這些問題的一般運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)量往往是不守恒的。結(jié)論與討論1、牛頓第二定律與動(dòng)量守恒2、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式I－質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的沖量質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的改變量等于系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)沖量的矢量和。3、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理建立了動(dòng)量與外力主矢之間的關(guān)系，涉及力、速度和時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題。對(duì)于大錘，；對(duì)