北京市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)本試卷共8頁，共150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，把答案填在答題紙上）1．已知集合，則是（）A． B． C． D．2．設(shè)，則（）A． B． C． D．3．在的展開式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為10，則（）A．4 B．5 C．6 D．74．在中，已知，則（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，則“角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（）A． B． C． D．7．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素，安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）A．102m B．112m C．117m D．125m8．如圖，分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．9．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)，人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)．已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為．若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.910．在數(shù)列中，若對(duì)任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題：①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列：②若數(shù)列滿足，則數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差③若數(shù)列滿足則該數(shù)列不是比等差數(shù)列：④若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列是比等差數(shù)列．其中所有真命題的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①③第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上）11．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為______12．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則的夾角的余弦為______13．已知直線（其中）與圓交于M、N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則為______14．小明用數(shù)列記錄某地區(qū)2019年12月份31天中每天是否下過雨，方法為：當(dāng)?shù)趉天下過雨時(shí)，記，當(dāng)?shù)趉天沒下過雨時(shí)，記：他用數(shù)列記錄該地區(qū)該月每天氣象臺(tái)預(yù)報(bào)是否有雨，方法為：當(dāng)預(yù)報(bào)第k天有雨時(shí)，記，當(dāng)預(yù)報(bào)第k天沒有雨時(shí)，記；記錄完畢后，（1）小明計(jì)算出，那么該月氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的總天數(shù)為______（2）若，則氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的天數(shù)為______（用m，k表示）．15．已知集合由集合P中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”．給出下列結(jié)論;①“水滴”圖形與y軸相交，最高點(diǎn)記為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為;②在集合P中任取一點(diǎn)M，則M到原點(diǎn)的距離的最大值為3;③陰影部分與y軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記為C，D，則;③白色“水滴”圖形的面積是．其中正確的有______三、解答題（共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．）16．（本小題共15分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式：（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（III）求函數(shù)的最大值與最小值．17．（本小題共13分）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，．（Ⅰ）求證：：（II）從下面四個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使五面體ABCDEF存在．求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．條件①：條件②：條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題13分）不粘鍋是家庭常用的廚房用具，近期，某市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)委員會(huì)從市場(chǎng)上購買了12款不粘鍋商品，并委托第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè)，本次選取了食物接觸材料安全項(xiàng)目中與消費(fèi)者使用密切相關(guān)的6項(xiàng)性能項(xiàng)目進(jìn)行比較試驗(yàn)，性能檢測(cè)項(xiàng)目包含不粘性、耐磨性、耐堿性、手柄溫度、溫度均勻性和使用體驗(yàn)等6個(gè)指標(biāo)．其中消費(fèi)者關(guān)注最多的兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”檢測(cè)結(jié)果的數(shù)據(jù)如下：檢測(cè)結(jié)果檢測(cè)結(jié)果序號(hào)品牌名稱不粘性耐磨性序號(hào)品牌名稱不粘性耐磨性1品牌1Ⅰ級(jí)Ⅰ級(jí)7品牌7Ⅰ級(jí)Ⅰ級(jí)2品牌2Ⅱ級(jí)Ⅰ級(jí)8品牌8Ⅰ級(jí)Ⅰ級(jí)3品牌3Ⅰ級(jí)Ⅰ級(jí)9品牌9Ⅱ級(jí)Ⅱ級(jí)4品牌4Ⅱ級(jí)Ⅱ級(jí)10品牌10Ⅱ級(jí)Ⅱ級(jí)5品牌5Ⅰ級(jí)Ⅰ級(jí)11品牌11Ⅱ級(jí)Ⅱ級(jí)6品牌6Ⅱ級(jí)Ⅰ級(jí)12品牌12Ⅱ級(jí)Ⅱ級(jí)（Ⅰ級(jí)代表性能優(yōu)秀，Ⅱ級(jí)代表性能較好）（Ⅰ）從這12個(gè)品牌的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，求這兩個(gè)品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ級(jí)的概率：（II）從前六個(gè)品牌、后六個(gè)品牌中各隨機(jī)選取兩個(gè)品牌的數(shù)據(jù)，求兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級(jí)的品牌個(gè)數(shù)恰為2個(gè)的概率；（Ⅲ）顧客甲從品牌中隨機(jī)選取1個(gè)品牌，用“”表示選取的品牌兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ級(jí)，“”表示選取的品牌兩個(gè)指標(biāo)“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ級(jí)（k=1，4，7，10）．寫出方差的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．19．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）求在區(qū)間上的最大值：（III）設(shè)實(shí)數(shù)a使得對(duì)恒成立，寫出a的最大整數(shù)值，并說明理由．20．（本小題14分）如圖，點(diǎn)M是圓A:上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段MB的垂直平分線交半徑AM于點(diǎn)P．（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；（II）點(diǎn)N為曲線E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，不過點(diǎn)N且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l：交曲線E于S，T兩點(diǎn)，直線SN，TN分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若C，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為2，問：直線l是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：如果不是，請(qǐng)說明理由．21．（本小題15分）設(shè)集合，其中