三、解答題的解法第三部分內(nèi)容索引0102題型聚焦?思路概述常用解法?分類突破題型聚焦?思路概述【高考命題聚焦】

在高考數(shù)學(xué)試題中,解答題的題量雖然比不上選擇題多,但是其占分的比重最大,足見它在試卷中地位之重要.從近五年高考試題來(lái)看,5道解答題的出處較穩(wěn)定,分別為數(shù)列(或三角函數(shù)與解三角形)、概率、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù).在難度上,前三題為中等或中等以下難度題,多數(shù)考生都能拿到較高的分?jǐn)?shù);后兩題為難題,具有較好的區(qū)分層次和選拔功能,多數(shù)考生能夠解答后兩題的第1問(wèn),但難以解答或解答完整第2問(wèn).【方法思路概述】

解答題也就是通常所說(shuō)的主觀性試題,考生解答時(shí),應(yīng)把已知條件作為出發(fā)點(diǎn),運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行推理或計(jì)算,最后達(dá)到所要求的目標(biāo);同時(shí)要將整個(gè)解答過(guò)程的主要步驟和過(guò)程有條理、合邏輯、完整地陳述清楚.解題策略有以下幾點(diǎn):(1)審題要慢,解答要快;(2)確保運(yùn)算準(zhǔn)確,立足一次成功;(3)講究書寫規(guī)范,力爭(zhēng)既對(duì)又全;(4)面對(duì)難題,講究策略(缺步解答、跳步解答),爭(zhēng)取得分.常用解法?分類突破一、三角函數(shù)及解三角形的綜合問(wèn)題例1(2022新高考Ⅱ,18)記△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,以解題指導(dǎo)三角函數(shù)及解三角形的綜合問(wèn)題難度不大,訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)緊扣高考真題,不需要加深加寬.解答三角函數(shù)題的關(guān)鍵是進(jìn)行必要的三角恒等變形,其解題通法是:發(fā)現(xiàn)差異(角度,函數(shù),運(yùn)算),尋找聯(lián)系(套用、變用、活用公式,技巧,方法),合理轉(zhuǎn)化(由因?qū)Ч?由果探因);解三角形的題目不要忘記隱含條件“三角形三內(nèi)角的和為180°”,經(jīng)常用正弦定理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關(guān)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2022廣西桂林國(guó)龍外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三檢測(cè))在銳角三角形ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c-b=acosB-bcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.解:

(1)因?yàn)閏-b=acos

B-bcos

A,所以由正弦定理得,sin

C-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A.又C=π-(A+B),所以sin(A+B)-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A,所以sin

Acos

B+sin

Bcos

A-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A,所以2sin

Bcos

A-sin

B=0.二、數(shù)列的通項(xiàng)、求和問(wèn)題例2設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且3a1,2a2,a3成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;解:(1)∵3a1,2a2,a3成等差數(shù)列,∴3a1+a3=4a2,∴3a1+a1q2=4a1q,解得q=3或q=1(舍去).又a1=2,∴an=2×3n-1.當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),b1=1,顯然滿足上式,∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.∴an·bn=(4n-2)·3n-1.∴Tn=2×30+6×31+10×32+…+(4n-6)·3n-2+(4n-2)·3n-1,①3Tn=2×31+6×32+10×33+…+(4n-6)·3n-1+(4n-2)·3n,②②-①得2Tn=-2-4×(31+32+…+3n-1)+(4n-2)·3n,故Tn=(2n-2)·3n+2.解題指導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是高考的熱點(diǎn),求通項(xiàng)的常用方法有:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式;利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).求和常用方法有:公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法、分組求和法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2022貴州貴陽(yáng)二模)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2,2a2,S3成等比數(shù)列.(1)求an和Sn;(1)解:

依題意,S2S3=(2a2)2.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則(2+d)(3+3d)=4(1+d)2,解得d=-1或d=2.當(dāng)d=-1時(shí),a2=0,不符合題意,舍去.三、統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問(wèn)題例3有關(guān)部門在某公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取了100名乘客,統(tǒng)計(jì)其乘車等待時(shí)間(指乘客從進(jìn)站口到乘上車的時(shí)間,乘車等待時(shí)間不超過(guò)40分鐘),將數(shù)據(jù)按[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]分組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.假設(shè)乘客乘車等待時(shí)間相互獨(dú)立.(1)求抽取的100名乘客乘車等待時(shí)間的中位數(shù)(保留一位小數(shù));(2)現(xiàn)從該車站等車的乘客中隨機(jī)抽取4人,記等車時(shí)間在區(qū)間[20,30)內(nèi)的人數(shù)為X,用頻率估計(jì)概率,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:(1)第一個(gè)小矩形的面積S1=0.08,第二個(gè)小矩形的面積S2=0.14,第三個(gè)小矩形的面積S3=0.18,第四個(gè)小矩形的面積S4=0.26,所以X的分布列為

解題指導(dǎo)1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、排列組合、古典概型等知識(shí).2.求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法:(1)首先求隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值與方差的定義求解;(2)若隨機(jī)變量X~B(n,p),則可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3隨著互聯(lián)網(wǎng)的興起,越來(lái)越多的人選擇網(wǎng)上購(gòu)物.某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引顧客,提升銷售額,每年雙十一都會(huì)進(jìn)行某種商品的促銷活動(dòng).該商品促銷活動(dòng)規(guī)則如下:①“價(jià)由客定”,即所有參與該商品促銷活動(dòng)的人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià),每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià),也不知道參與該商品促銷活動(dòng)的總?cè)藬?shù);②報(bào)價(jià)時(shí)間截止后,系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)年雙十一該商品數(shù)量配額,按照參與該商品促銷活動(dòng)人員的報(bào)價(jià)從高到低分配名額;③每人限購(gòu)一件,且參與人員分配到名額時(shí)必須購(gòu)買.某位顧客擬參加2022年雙十一該商品促銷活動(dòng),他為了預(yù)測(cè)該商品最低成交價(jià),根據(jù)該購(gòu)物平臺(tái)的公告,統(tǒng)計(jì)了最近5年雙十一參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)(見下表).年份20172018201920202021年份編號(hào)t12345參與人數(shù)y/百萬(wàn)人0.50.611.41.7(1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(圖略)發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合參與人數(shù)y(單位:百萬(wàn)人)與年份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性(2)該購(gòu)物平臺(tái)調(diào)研部門對(duì)2000名參與2022年雙十一該商品促銷活動(dòng)人員的報(bào)價(jià)價(jià)格進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下的一份頻數(shù)表:報(bào)價(jià)區(qū)間/千元[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)頻數(shù)200600600300200100

參考公式及數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.所以預(yù)測(cè)2022年雙十一參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)為200萬(wàn).四、立體幾何的綜合問(wèn)題例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說(shuō)明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解:(1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB,DC,相交于點(diǎn)M(M∈平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB?平面PBE,CM?平面PBE,所以CM∥平面PBE.(說(shuō)明:延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)(方法一)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°.易知PA⊥平面ABCD,從而PA⊥AD,PA⊥CE.設(shè)BC=1,則在Rt△PAD中,PA=AD=2.過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PH.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過(guò)A作AQ⊥PH于Q,則AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA與平面PCE所成的角.(方法二)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB,PA⊥CD,可得PA⊥平面ABCD.設(shè)x=2,可取n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α,解題指導(dǎo)1.解答立體幾何綜合題時(shí),要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖、作圖.空間平行、垂直關(guān)系的證明,都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合.2.在引入空間向量后,立體幾何中的平行、垂直關(guān)系的證明轉(zhuǎn)換成了簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算,降低了思維上的難度;線面角與二面角的計(jì)算也轉(zhuǎn)換成了向量的代數(shù)運(yùn)算,非常的程序化.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4如圖,在直三棱柱ABC-DEF中,AC=BC=2,AB=2,AD=4,M,N,G分別為AD,CF,EF的中點(diǎn).(1)求證:AN⊥平面BCM;(2)求二面角C-BM-G的余弦值.解:

因?yàn)锳C=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.所以在直三棱柱ABC-DEF中,AC,BC,CF兩兩垂直.以C為原點(diǎn),CA,CB,CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則C(0,0,0),M(2,0,2),B(0,2,0),A(2,0,0),N(0,0,2),G(0,1,4),五、解析幾何的綜合問(wèn)題例5已知圓F1:(x+1)2+y2=r2,圓F2:(x-1)2+y2=(4-r)2,0<r<4.當(dāng)r變化時(shí),圓F1與圓F2的交點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)已知點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)F2的直線交曲線C于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P),與直線x=m交于點(diǎn)D,設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,直線PD的斜率為kPD,是否存在實(shí)數(shù)m,λ,使得kPA+kPB=λkPD成立?若存在,求出m,λ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由題意可知|PF1|=r,|PF2|=4-r,|F1F2|=2,所以|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,λ,使得kPA+kPB=λkPD成立.由題意知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則點(diǎn)D(m,k(m-1)).Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,解題指導(dǎo)解析幾何的熱點(diǎn)是把圓錐曲線、直線、圓融合在一起,重點(diǎn)是考查解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、求軌跡的方法、數(shù)形結(jié)合和整體思想等,主要融合點(diǎn)為函數(shù)、方程、三角、向量、不等式.近幾年解析幾何考查內(nèi)容較為穩(wěn)定,但在難度、形式上有所變化,設(shè)置背景還是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,但考點(diǎn)會(huì)是定點(diǎn)、定值和探究性問(wèn)題.(1)求雙曲線C的方程;(2)動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N.求證:△OMN的面積為定值.由已知得1-3k2≠0,Δ=(-6mk)2