動(dòng)量與角動(dòng)量一、知識(shí)點(diǎn)擊1．動(dòng)量定理⑴質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：，即即合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量．⑵質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理推廣到有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即可得到質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理．令和分別表示質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)所受的外力和內(nèi)力的總沖量，那么和表示質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)總的末動(dòng)量和初動(dòng)量之矢量和，那么：而，因質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力是成對出現(xiàn)的，且等值反向。即所有外力對質(zhì)點(diǎn)系的總沖量等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的增量2．動(dòng)量守恒定律⑴內(nèi)容：系統(tǒng)不受外力或所受外力的合力為零，這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量就保持不變．⑵表達(dá)式：系統(tǒng)內(nèi)相互作用前總動(dòng)量等于相互作用后總動(dòng)量：。系統(tǒng)總動(dòng)量的變化量為零：對于兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)可表達(dá)為：相互作用的兩個(gè)物體的動(dòng)量的變化量大小相等，方向相反?；蛘咦饔们皟晌矬w的總動(dòng)量等于作用后的總動(dòng)量：⑶適用范圍：動(dòng)量守恒定律適用于宏觀、微觀，高速、低速．⑷定律廣義：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)—質(zhì)心守恒．質(zhì)點(diǎn)系在無外力作用或者在外力偶作用下，其質(zhì)心將保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在外力作用下作某種運(yùn)動(dòng)，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，即，其質(zhì)心加速度：。定理只給出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，并不涉及質(zhì)點(diǎn)間的相對運(yùn)動(dòng)及它們繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。3．碰撞問題⑴彈性碰撞：碰撞時(shí)無機(jī)械能損失．①②由①②可得：，〔2〕非彈性碰撞：碰撞時(shí)有動(dòng)能損失。為此引入恢復(fù)系數(shù)e，它由兩球材料決定，與其質(zhì)量、初速度無關(guān)。其定義式為e=1為完全彈性碰撞情形；e＝0時(shí)，碰后兩物體結(jié)合一起速度相同，稱為完全非彈性；0<e<1，稱為非完全彈性碰撞，其機(jī)械能的損失為4．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量⑴定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體所受的對于某定軸的合外力矩等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下獲得的角加速度的乘積．即：．式中J為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小量度。⑵轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的大小與剛體的總質(zhì)量及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)，表達(dá)式為：5．角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律⑴質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)繞某固定點(diǎn)〔軸〕0作圓周運(yùn)動(dòng)對0點(diǎn)〔如圖5一1所示〕假設(shè)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)對任意定點(diǎn)0的角動(dòng)量，如圖5一2所示．〔方向垂直紙面向外〕⑵剛體對定軸的角動(dòng)量：剛體對定軸角動(dòng)量剛體對某定軸的角動(dòng)量等于剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，其方向由右手螺旋法那么確定。⑶角動(dòng)量定理①質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：，，或一質(zhì)點(diǎn)所受的外力矩等于它的角動(dòng)量對時(shí)間的變化率；或者一質(zhì)點(diǎn)所受的合沖量矩等于它的角動(dòng)量的增量．沖量矩：力矩的時(shí)間積累②剛體的角動(dòng)量定理：，③質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒：當(dāng)M外=0，F(xiàn)外=0，勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體對任意點(diǎn)O的角動(dòng)量守恒。力F過定點(diǎn)O，此力稱為有心力，有心力作用下的天體運(yùn)動(dòng)對力心O的角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)系〔剛體〕角動(dòng)量守恒定律：，即外力對定點(diǎn)〔軸〕力矩之和為零，有，對剛體：．二、方法演練類型一、動(dòng)量定理的類型問題一是要考慮質(zhì)點(diǎn)系，二是要考慮力系，分析時(shí)不能有時(shí)遺漏，但有時(shí)又要善于抓住主要因素忽略次要因素，這是解決這類問題經(jīng)常用到的手段。例1．軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻s。以速度起跳，如圖5—3所示，再用腳蹬墻面一次，身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動(dòng)以繼續(xù)升高，墻與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ．求能使人體重心有最大總升高的起跳角θ。分析和解：在解答此題時(shí)，注意摩擦力的沖量遠(yuǎn)大于人體重力的沖量，抓住主要因素忽略次要因素，是經(jīng)常用到的手段。人以角θ起跳，水平初速度和豎直初速度分別為，從起跳到蹬墻時(shí)空中飛行的時(shí)間為那么人蹬墻前豎直方向的速度為人重心升高：設(shè)人蹬墻的時(shí)間為△t，因△t很小，那么靜摩擦力的沖量遠(yuǎn)大于人體重力的沖量，即，由動(dòng)量定理得：而在水平方向同樣由動(dòng)量定理可知：人蹬墻后獲得豎直向上的速度：人蹬墻后再上升的高度人體重心上升的總高度：令tanφ=μ，那么對、s0一定時(shí)，當(dāng)時(shí)H最大．即時(shí)，人體的重心總升高最大．類型二、動(dòng)量守恒定律的問題最根本的特征就是和外力為零或某一方向上和外力為零，當(dāng)物體系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)數(shù)量比擬多時(shí)利用質(zhì)心守恒是解決此類問題的重要手段之一，解答過程，會(huì)比擬簡單。例2．如圖5—4所示，在光滑的水平地面上靜止放有一塊質(zhì)量m3=2kg，長度L=0.6m的木板，板的左右兩端分別放置質(zhì)量m1=2kg，m2=4kg的兩物塊，并分別以初速度=0.4m/s,=0.2m/s同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)．M1,m2和m3間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.22.試求：〔1〕m2在木塊上的最大位移；〔2〕m1在木塊上的最大位移；〔3〕m3的最大位移．分析和解：物體1、2可能會(huì)相碰，可能不會(huì)相碰，要予以討論。討論后利用動(dòng)量守恒〔和質(zhì)心守恒〕解答此題，會(huì)比擬簡單?！?〕假設(shè)物塊1、2在木板上不會(huì)相碰，當(dāng)時(shí)，2相對于3有最大位移，那么，t=0.5s，取3為參照系，2相對于3的加速度為：2在3上最大位移：〔2〕因系統(tǒng)總動(dòng)量為零，那么1、2、3最后都靜止．將數(shù)據(jù)和所求得的數(shù)據(jù)代人：因，假設(shè)成立．〔3〕1、2、3系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，那么系統(tǒng)的質(zhì)心C的位置不變，移動(dòng)前質(zhì)心跟右端為rC,2×0.6＋2×0.3=〔2＋2＋4〕rC，rC=0.225m設(shè)木板右端向右移動(dòng)x2×〔0.6-0.5＋x〕＋2×〔0.3＋x〕＋4×〔0.05＋x〕=8×0.225，x=0.1m.類型三、碰撞類問題往往是多過程、屢次往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題，動(dòng)量守恒及動(dòng)能定理是當(dāng)然的解決工具，但認(rèn)真分析清楚物理過程和物理情境在解決這類問題中非常重要。例3．一段凹槽A倒扣在水平長板C上，槽內(nèi)有一小物塊B．它到槽內(nèi)兩側(cè)的距離均為L/2，如圖5—5所示，木板位于光滑的水平桌面上，槽與板間的摩擦不計(jì)，小物塊與木板間的摩擦因數(shù)為μ.A、B、C三者的質(zhì)量相等，原來都靜止．現(xiàn)使槽A以大小為的初速度向右運(yùn)動(dòng)，；當(dāng)A和B發(fā)生碰撞時(shí)，兩者速度交換．求：〔1〕從A、B發(fā)生第一次碰撞到第二次碰撞的時(shí)間內(nèi)，木板運(yùn)動(dòng)的路程；〔2〕在A、B剛要發(fā)生第四次碰撞時(shí)，A、B、C三者速度的大小分析和解：這是個(gè)屢次碰撞、往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題，認(rèn)真分析清楚物理過程和物理情境在此題中非常重要。解題時(shí)每一個(gè)過程都要交代清楚，才能列出正確的動(dòng)量守恒或動(dòng)能定理的等式?！?〕A與B發(fā)生第一次碰撞后兩者交換速度，A停下來，B向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，C由靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩者速度逐漸接近，設(shè)B相對A〔地〕移動(dòng)了s1的路程后和C到達(dá)共同速度．對B、C系統(tǒng)而言：動(dòng)量守恒：對B用動(dòng)能定理：聯(lián)立得：，又，那么，即B、C到達(dá)共同速度時(shí)未與A碰撞，B和C需再以的速度繼續(xù)向右勻速運(yùn)動(dòng)一段距離〔L-s1〕后，才與A發(fā)生第二次碰撞．對C：由0加速到的距離為s2，那么有，因此C在兩次碰撞之間發(fā)生的路程為〔2〕在第二次碰撞前，A靜止，B、C以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)；剛發(fā)生第二次碰撞后，B靜止，A、C度均為，因B、C間有摩擦，B加速，C將減速，因＜，那么B、C再次到達(dá)共同速度前A和B不相碰．對B、C系統(tǒng)：，可得：又因A的速度大于B的速度，那么第三次碰撞發(fā)生在A的左壁，剛碰后，B的速度變?yōu)镃的速度仍然為，此時(shí)A的速度變?yōu)椋鞡和C第三次到達(dá)共同速度時(shí)A和B不會(huì)相碰對B,C系統(tǒng)：，可得：所以A、B發(fā)生第四次相碰前：，類型四、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題一般要涉及到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律以及角速度、角加速度等概念，解題時(shí)有關(guān)量的關(guān)系和臨界條件的分析是很重要的。例4、半徑r=10cm，重量G=10kg的均勻?qū)嵭膱A柱體〔其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量〕以角速度ω0=10r/s繞中心軸旋轉(zhuǎn)．然后將此勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱體輕輕放在摩擦因數(shù)μ=0.l的水平面上，問經(jīng)過多長時(shí)間后圓柱體變?yōu)榧儩L動(dòng)．分析和解：解答此題的關(guān)鍵是要分析清楚純滾動(dòng)的條件和轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)量之間的關(guān)系。設(shè)圓柱體變?yōu)榧儩L動(dòng)時(shí)的角速度為ω，質(zhì)心的速度將由0逐步增加，到純滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心的速度為，由于質(zhì)心速度的變化是摩擦力作用的結(jié)果．所以據(jù)題意，有①②式中為質(zhì)心的加速度．根據(jù)純滾動(dòng)的條件，與ω的關(guān)系式為③式中ω為純滾動(dòng)時(shí)的角速度．在摩擦力矩的作用下，圓柱體的角速度是逐步減小的．設(shè)角加速度為β，那么我們有ω=ω0-βt④根據(jù)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，我們有⑤ 將①式代人⑤式，得⑥ 將④、⑥式代人③式，得⑦ 比擬②式和⑦式，得3μgt=Rω0 所以 代人數(shù)據(jù)得類型五、角動(dòng)量守恒類問題主要是對剛體繞定點(diǎn)〔或軸〕轉(zhuǎn)動(dòng)的物體和系統(tǒng)解題依據(jù)，但有些非剛體或不是繞定點(diǎn)〔或軸〕轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間，只要系統(tǒng)或物體受的外力矩為零，角動(dòng)量保持不變也可用角動(dòng)量守恒定律來求解。例5．一質(zhì)量為m的小球放在光滑水平桌面上，用一穿過桌面中心光滑小孔的繩與小球相連〔圖5—6〕．〔1〕要使小球保持在半徑為r1的圓上，以角速度ω1繞中心作圓周運(yùn)動(dòng)．求繩的一端的拉力F1；〔2〕增大繩的拉力使小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑自r1減至r2,然后使小球保持在r2的圓周上．求此時(shí)拉力F2；〔3〕分析F1和F2哪一個(gè)大；〔4〕將小球自半徑r1減至r2的過程中拉力所作的功．分析和解：此題中繩的拉力作用使小球的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變化的過程中因拉力過轉(zhuǎn)軸，故小球受的外力矩為零，角動(dòng)量保持不變?！?〕在水平方向上，小球只受繩的拉力F1，在F1作用下，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)F1=mω12r〔2〕小球自半徑r1減為r2的過程中，小球受的外力矩為零，故角動(dòng)量保持不變，即〔mr12〕ω1=〔mr22〕ω2，即此時(shí)小球受的拉力根據(jù)上式，因?yàn)閞1>r2，所以F2>F1．〔4〕拉力作功A等于小球動(dòng)能的增量．即例6、一個(gè)無滑滾動(dòng)的臺(tái)球正面撞上一個(gè)同樣的靜止臺(tái)球，請分析碰撞后兩個(gè)球的運(yùn)動(dòng)．證明兩球的終態(tài)和兩球之間或球與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)無關(guān)．〔滾動(dòng)摩擦可以忽略不計(jì)〕分析和解：此題的焦點(diǎn)在于每一個(gè)小球相對于其與桌面的接觸點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變．可以想見，第一個(gè)臺(tái)球停止下來并在原地轉(zhuǎn)動(dòng)，而第二個(gè)球那么運(yùn)動(dòng)起來但無轉(zhuǎn)動(dòng)．因此在整個(gè)碰撞過程中，第一個(gè)臺(tái)球只是把動(dòng)量傳遞給第二個(gè)球，角動(dòng)量卻保持了下來．碰撞之后，摩擦使得第一個(gè)球向前運(yùn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)越來越慢，同時(shí)摩擦使得第二個(gè)球平移運(yùn)動(dòng)越來越慢，同時(shí)增加了轉(zhuǎn)動(dòng)．兩球之間的摩擦可以忽略不計(jì)，因此碰撞過程中，它們之間的相互作用力與其外表垂直．因而．第一個(gè)球碰撞后停下來，同時(shí)第二個(gè)球得到了第一個(gè)球的初速度．兩個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)在碰撞前后沒有變化，即第一個(gè)球在原地轉(zhuǎn)動(dòng)，第二個(gè)球無轉(zhuǎn)動(dòng)地以速度平移．臺(tái)球和桌面之間的摩擦力很重要，將影響兩球的運(yùn)動(dòng)．第一個(gè)球在摩擦力F摩擦力=μmg的作用下加速向前，而第二個(gè)球那么在同樣的力的作用下減速運(yùn)動(dòng)，如圖5—7所示．第一個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)由于摩擦力的作用將變慢，而第二個(gè)球的轉(zhuǎn)動(dòng)將因之增加．這局部摩擦力的作用，直到兩球到達(dá)無摩擦滾動(dòng)的狀態(tài)為止，然后將保持那樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．下面證明，兩個(gè)小球最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)既不依賴于摩擦因數(shù)，也與摩擦因數(shù)隨位置的可能變化無關(guān)．碰撞后，原來運(yùn)動(dòng)的小球以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其相對于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量為。由于小球的質(zhì)心靜止，即平動(dòng)帶來的角動(dòng)量變化為零，所以小球相對于其與桌面接觸點(diǎn)P的角動(dòng)量也為.由于摩擦力經(jīng)過P點(diǎn)，因此小球相對于P點(diǎn)的角動(dòng)量不會(huì)因摩擦力的作用而變化．〔重力和桌面的支撐力之和為零，因此它們也不會(huì)產(chǎn)生凈力矩．〕以速度作無滑滾動(dòng)的小球，其角動(dòng)量為自身角動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量之和。如圖5—8所示，左側(cè)為碰撞后短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)小球和它的受力情況，右側(cè)為最后的無滑滾動(dòng)狀態(tài)．根據(jù)角動(dòng)量守恒，我們有，因此。由類似的道理可以得到，第二個(gè)小球的最終速度為，與摩擦因數(shù)的大小無關(guān)。三、小試身手1．四個(gè)質(zhì)量分別為m1、m2、m3、m4的小球，用已拉緊的不可伸長的輕繩互相連接，放在光滑的水平桌面上．如圖5—9所示，其中，如果給1小球一個(gè)沿著2、1兩小球連線方向的沖量I，判斷能否求出4個(gè)小球獲得的速度。假設(shè)m1=m2=m3=m4，且，那么4小球的速度為多大？20231223202312232．一塊質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊內(nèi)有一如圖5一10所示的光滑管道，、，有一質(zhì)量為m的小球從左端口滑下，求m自滑下到返回左端口的總時(shí)間．〔可取〕3．由一光滑細(xì)管構(gòu)成一半徑為R的圓環(huán)，放在水平光滑桌面上．〔圖5一11〕管內(nèi)A1、A2處有兩個(gè)質(zhì)量為m的小球，圓形管道的質(zhì)量是，開始時(shí)管道靜止，兩小球向右以等大的速度開始運(yùn)動(dòng)，細(xì)管上P1、P2處有兩個(gè)缺口〔〕，小球自小孔中穿出后，將在平面上某處相遇，求：〔1〕相遇時(shí)兩球與管道中心O的距離〔2〕從小球穿出缺口直到小球相遇的過程中，管道在平面上移動(dòng)的路程s4．在圖5一12和圖5一12中，一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小雪橇放在一塊質(zhì)量M＝1kg的木板上．雪橇上的馬達(dá)牽引著一根繩子，使雪橇具有速度，忽略木板和桌面之間的摩擦．雪橇和木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.02。先握住木板，起動(dòng)馬達(dá)．當(dāng)雪橇到達(dá)速度時(shí)，放開木板．在這瞬間，雪橇與木板一端的距離為L=0.5m.繩子栓在：〔1〕遠(yuǎn)處的樁上；〔2〕木板的端點(diǎn)．試描述在上述兩種情形下木板與雪橇的運(yùn)動(dòng)．雪橇何時(shí)到達(dá)木板一端？5．如圖5一13所示，一質(zhì)量為M、長為L帶薄擋板P的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦因數(shù)與滑動(dòng)摩擦因數(shù)相等，皆為μ．質(zhì)量為m的人從木板的一端由靜止開始相對于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板P而停在木板上．人與木板間的靜摩擦因數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)．問在什么條件下最后可使木板向前方移動(dòng)的距離到達(dá)最大？其值等于多少？6．弟兄五個(gè)在連續(xù)靠近放置的跳板上表演雜技．他們各自的質(zhì)量分別為60kg，50kg，40kg，30kg和20kg。第一個(gè)最重的演員從2m高度跳到第一個(gè)跳板上〔見圖5—14〕。老二、老三、老四接著一個(gè)個(gè)被彈起落到相鄰的跳板上．假定演員的肌力正好都用于克服各種阻力，并且跳板的質(zhì)量可以忽略。試求最后一個(gè)兄弟被彈起的高度h5是多少？7．半徑為R，無摩擦地旋轉(zhuǎn)著的圓板的邊緣，趴著n＝10個(gè)甲蟲，每個(gè)的質(zhì)量為，甲蟲同時(shí)開始以同樣的速度向板中心爬動(dòng)。開始，板是以角速度旋轉(zhuǎn)，假假設(shè)甲蟲們中間停住后，板旋轉(zhuǎn)的角速度變?yōu)椋宓霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量是，那么每個(gè)甲蟲做了多少功？8．如圖5—15所示，一塊長為的光滑平板PQ固定在輕質(zhì)彈簧上端，彈簧的下端與地面固定連接。平板被限制在兩條豎直光滑的平行導(dǎo)軌之間〔圖中未畫出豎直導(dǎo)軌〕，從而只能地豎直方向運(yùn)動(dòng)。平板與彈簧構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期。一小球B放在光滑的水平臺(tái)面上，臺(tái)面的右側(cè)邊緣正好在平板P端的正上方，到P端的距離為。平板靜止在其平衡位置。水球B與平板PQ的質(zhì)量相等?，F(xiàn)給小球一水平向右的速度，使它從水平臺(tái)面拋出。小球B與平板發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短，且碰撞過程中重力可以忽略不計(jì)。要使小球與平板PQ發(fā)生一次碰撞而且只發(fā)生一次碰撞，的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？取參考解答1．解：設(shè)1小球獲得外力沖量I的同時(shí)，三根繩中的沖量分別為I1、I2、I3〔如右圖〕，由沖量定理可得對1小球：①對2小球：②③對3小球：④⑤對4小球：⑥由、、的關(guān)聯(lián)關(guān)系，可得⑦⑧⑨由方程①一⑨可解出，、、、、、、、、九個(gè)未知數(shù)．如果再把條件m1=m2=m3=m4，代入，可解得：2．解：取滑塊為參考系，小球受三個(gè)力：mg，F(xiàn)N和，設(shè)小球相對M的加速度是，那么對m：對M：由，可解得所以下到底端時(shí)，小球因轉(zhuǎn)彎和滑塊發(fā)生一個(gè)比擬猛烈的作用，此過程中動(dòng)量守恒．設(shè)轉(zhuǎn)彎結(jié)束后小球和滑塊的速度分別為和，那么可求出，和，相對速度水平段的時(shí)間一個(gè)來回的總時(shí)間3．解：〔1〕取管道為參考系，兩小球自小孔穿出后將沿切線方向運(yùn)動(dòng)，因此小球從A1、A2處到P1、P2處的過程中動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒可解得小球相對環(huán)的速度環(huán)的速度小球從穿出小孔到相遇的時(shí)間管道在平面上移動(dòng)的路程4．答案：〔1〕雪橇不能到達(dá)木板的另一端．〔2〕木板不動(dòng)．提示：〔1〕木板與桌面間無摩擦，因此它們構(gòu)成一孤立系統(tǒng)，而雪橇與木板是有摩擦的，在第一種情形中．雪做勻速運(yùn)動(dòng)，雪橇與木板以不同的速度運(yùn)動(dòng)，這樣就引起最大摩擦力μmg，它作用在木板上，因而產(chǎn)生加速度，直至木板到達(dá)雪橇速度。加速時(shí)間在這段時(shí)間內(nèi)，雪橇在木板上經(jīng)過的距離為因此，雪撬離木板右端點(diǎn)的距離為雪橇不能到達(dá)木板的另一端，因?yàn)閺倪@時(shí)起，木板也做勻速運(yùn)動(dòng)。在加速期間，馬達(dá)必須用力μmg牽引繩子，但以后馬達(dá)不能施加任何力，它只是卷繞繩子?！?〕我們可以用動(dòng)量守恒定律來分析。當(dāng)我們放開木板時(shí)，雪撬的動(dòng)量為。釋放后的木板具有速度，它由下式?jīng)Q定：此式說明，所以木板保持不動(dòng)，雪橇以同一速度繼續(xù)前進(jìn)。5．解：在人從木板的一端向另一端運(yùn)動(dòng)的過程中，先討論木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)的情形．設(shè)人開始運(yùn)動(dòng)到剛抵達(dá)另一端尚未停下這段過程中所用的時(shí)間為t，以x1表示木板向后移動(dòng)的距離，如下圖．以f表示人與木板間的靜摩擦力，以F表示地面作用在木板上的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，那么有，，，由以上四式聯(lián)立解之，得對人和木板組成的系統(tǒng)，人在木板另一端驟然停下后，兩者的總動(dòng)量等于從開始到此時(shí)地面的摩擦力F〔外力〕的沖量，忽略人驟然停下那段極短的時(shí)間，那么有V為人在木板另一端剛停下時(shí)兩者一起運(yùn)動(dòng)的速度．設(shè)人在木板另一端停下后兩者一起向前移動(dòng)的距離為x2，與地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，那么有木板向前移動(dòng)的凈距離為將以上各式聯(lián)立解之得由上式可知，欲使木板向前移動(dòng)的距離X為最大值，應(yīng)有即即木板向前移動(dòng)的距離為最大的條件是：人作用于木板的靜摩擦力等于地面作用于木板的滑動(dòng)摩擦力．移動(dòng)的最大距離為由上面可見，在設(shè)木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)，即的情況下，f=F時(shí)，X有極大值．換句話說，在時(shí)間0一t內(nèi)木板剛剛不動(dòng)的條件下X有極大值．再來討論木板不動(dòng)，即f<F的情況．這時(shí)，因?yàn)閒＜F，所以人積累的動(dòng)能和碰后的總動(dòng)能都將變小，從而前進(jìn)的距離x也小于上述的Xmax。6．解：首先我們注意一下列圖5—17的翹板，中間是一個(gè)無限重的支柱．第一個(gè)兄弟跳到翹板的一端，同時(shí)把第二個(gè)兄弟彈到空中，我們可以看作是弟兄們“通過〞翹板的碰撞．假定碰撞的持續(xù)時(shí)間很短，由此我們可以不考慮重力對碰撞本身的影響，因?yàn)樵谂鲎驳臅r(shí)間△t里，每一個(gè)兄弟和重力相關(guān)的沖量矩〔對翹板中心計(jì)算〕與△t成正比，是非常小的．碰撞時(shí)翹板支點(diǎn)是不動(dòng)的，我們可以采用角動(dòng)量守恒定律來研究．又由于翹板非常輕，我們可以認(rèn)為翹板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零。根據(jù)題中后面的說明和上面的假設(shè)．我們可以認(rèn)為碰撞時(shí)機(jī)械能是守恒的，也就是說是彈性碰撞。令表示第一個(gè)兄弟碰撞后的速度。與圖5一17上的指向同一個(gè)方向。由系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能守恒，可以寫出解這個(gè)方程組，我們得到兩組解1〕，2〕，第一組解相當(dāng)于碰撞之前；而第二組解相當(dāng)于碰撞之后。第二個(gè)兄弟跳到相鄰的翹板上，在碰撞的瞬間速度是。相繼而來的過程和第一次完全相似。因此以后的弟兄們彈起的速度相應(yīng)地為，，將前面的計(jì)算結(jié)果代人，可得第五個(gè)兄弟彈起的速度為所求的高度h5可以利用下式計(jì)算，于是得到把題中數(shù)據(jù)代入得：。7．解：在板加上甲蟲的系統(tǒng)上沒有任何對轉(zhuǎn)動(dòng)軸的外力矩作用，因此該系統(tǒng)對過板中心的豎直軸的角動(dòng)量守恒．用r表示甲蟲離板中心的末距離．系統(tǒng)對板中心軸的初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，而末了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為．由角動(dòng)量守恒定律有①所有甲蟲一起所做的功等于系統(tǒng)在末了和開始的動(dòng)能之差〔即轉(zhuǎn)動(dòng)能之差〕：