2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破專題09軸對(duì)稱的作圖如圖是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在網(wǎng)格圖中補(bǔ)畫一個(gè)有陰影的小正方形，使四個(gè)陰影的小正方形組成的圖形為軸對(duì)稱圖形．【分析】將圖形沿某一條直線對(duì)折，直線兩邊的圖形能完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：如圖所示：已知點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．求作：點(diǎn)，使得，且點(diǎn)到兩邊的距離相等．（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）【分析】過點(diǎn)作的垂線，與的角平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．

如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)直接寫出點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在x軸上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，請(qǐng)標(biāo)出點(diǎn)P．【分析】（1）關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得答案．（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，再根據(jù)圖寫出點(diǎn)坐標(biāo)即可．（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，連接，此時(shí)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離和最?。驹斀狻浚?）解：（1）與關(guān)于軸對(duì)稱，，點(diǎn)．（2）解：如圖，即為所求，．

（3）解：如圖，點(diǎn)即為所標(biāo)．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)關(guān)于y軸對(duì)稱的（其中點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)，不寫畫法）(2)將向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位，再下平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位，則平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別是________．(3)若在y軸上存在點(diǎn)P，使的值最大，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【分析】（1）根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫圖即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)則，上加下減，左減右加，求解即可；（3）根據(jù)，得到三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，延長(zhǎng)與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）∵向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位，再下平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位，，，，∴對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為：，，，即：，，；（3）∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，延長(zhǎng)與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，如圖：

由圖可知：；故答案為：．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的；(2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在x軸上找一點(diǎn)P，使的和最小．（標(biāo)出點(diǎn)P即可，不用求點(diǎn)P的坐標(biāo)）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，順次連接即可；（2）根據(jù)（1）中坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得答案；（3）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)P，即可得答案.【詳解】（1）解：如圖所示：

；（2）解：如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P，∴，∴，∴的最小值為，如圖所示：

．2．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖．(1)請(qǐng)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的（其中分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；(2)直接寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)：__________，__________，__________．【分析】（1）根據(jù)圖形關(guān)于軸對(duì)稱的作圖方法即可求解；（2）根據(jù)圖形與坐標(biāo)的特點(diǎn)即可求解．【詳解】（1）解：關(guān)于軸對(duì)稱的，如圖所示，

∴即為所求圖形．（2）解：由（2）中的圖形可知，，，，故答案為：，，．3．如圖，已知，，，D為上一點(diǎn)，且到A、B兩點(diǎn)的距離相等。(1)用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（請(qǐng)用鉛筆作圖）(2)連接，若，則的度數(shù)為________．【分析】（1）以點(diǎn)A、B為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)，連接，直線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)D；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)；

（2）解：連接，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴．故答案為：．4．圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．A，B，C均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：(1)在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且M，N為格點(diǎn)．(2)在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且P，Q為格點(diǎn)．(3)在圖③中，畫一個(gè)，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且D，E，F(xiàn)為格點(diǎn)．【分析】（1）先畫出一條3×3的正方形網(wǎng)格的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性即可在圖①中，描出點(diǎn)A、B的對(duì)稱點(diǎn)M、N，它們一定在格點(diǎn)上，再連接即可；（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解．【詳解】（1）解：如圖①，即為所求；（答案不唯一）．

；（2）解：如圖②，即為所求；（答案不唯一）．

；（3）解：如圖③，△DEF即為所求．（答案不唯一）．

．5．（1）如圖，A，B，C都在網(wǎng)格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的（其中，，分別是A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法）；（2）直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)：，，．（3）求的面積是多少？【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，，再順次連接即可；（2）根據(jù)畫出的軸對(duì)稱圖形即可寫出坐標(biāo)；（3）把三角形的面積看成矩形面積減去周圍是各個(gè)三角形面積即可．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）如圖，，'三點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，故答案為：，，；（3）．6．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，已知，點(diǎn)是射線上的一個(gè)定點(diǎn)，在射線上求作點(diǎn)在和之間），使．下面是小路設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：作線段的垂直平分線l，直線l交射線于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．根據(jù)小路設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明：證明：連接，∵直線l為線段的垂直平分線，∴，（）（填推理的依據(jù)）∴，∴（）（填推理的依據(jù)）(3)能否在射線上再求作點(diǎn)，使．若能簡(jiǎn)要說明作法，并使用直尺和圓規(guī)畫出圖形．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法：分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑，在線段兩側(cè)畫弧，交線段兩側(cè)于兩點(diǎn)，連接兩交點(diǎn)，交于點(diǎn)，據(jù)此作圖即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，即可得出結(jié)論；（3）以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于另一點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求；根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，進(jìn)而即可得出．【詳解】（1）解：補(bǔ)全的圖形如圖所示；（2）證明：連接，∵直線l為線段的垂直平分線，∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等），∴，∴（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴．故答案為：；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和（3）解：能．以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于另一點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．∵，又∵，∴，即．7．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，已知，點(diǎn)是射線上的一個(gè)定點(diǎn)，在射線上求作點(diǎn)，使．下面是小路設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段的垂直平分線，直線交射線于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于另一點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．根據(jù)小路設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）(2)根據(jù)以上做法，證明：．【分析】（1）根據(jù)題目中的小路的尺規(guī)作圖過程，直接作圖即可．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角、三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題目中的小路的設(shè)計(jì)步驟，補(bǔ)全的圖形如圖所示，

；（2）證明：連接，，由作圖知：直線是的垂直平分線，，∴，，∴，又，∴，又，∴，即．8．綜合與實(shí)踐在等腰三角形紙片中，，．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺規(guī)解決這一問題的過程，請(qǐng)閱讀后完成相應(yīng)的任務(wù)．作法：如圖1．①分別作，的垂直平分線，交于點(diǎn)；②連接，，結(jié)論：沿線段，，剪開，即可得到三個(gè)等腰三角形理由：∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴______．（依據(jù)）同理，得∴∴，，都是等腰三角形．任務(wù)：(1)上述過程中，橫線上的結(jié)論為______，括號(hào)中的依據(jù)為______．(2)受小文的啟發(fā)，同學(xué)們想到另一種思路：如圖2，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．在此基礎(chǔ)上構(gòu)造兩條線段（以圖中標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)）作為裁剪線，也可解決問題．請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一種裁剪方案，并求出得到的三個(gè)等腰三角形及相應(yīng)頂角的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，．請(qǐng)?jiān)趫D3中設(shè)計(jì)出一種裁剪方案，將該三角形紙片分成三個(gè)等腰三角形．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，說明裁剪線）【分析】對(duì)于（1），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出結(jié)論；對(duì)于（2），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可判斷和的特征，然后根據(jù)等腰三角形的判定說明即可；對(duì)于（3），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理