智建領(lǐng)航者智建領(lǐng)航者強(qiáng)化訓(xùn)練7空間幾何體中的綜合問(wèn)題1．(2021·運(yùn)城景勝中學(xué)模擬)下列幾何體不是旋轉(zhuǎn)體的為()A．圓柱B．棱柱C．球D．圓臺(tái)答案B解析由題意，圓柱、球、圓臺(tái)均為旋轉(zhuǎn)體，棱柱為多面體．2．關(guān)于棱臺(tái)，下列說(shuō)法正確的是()A．兩底面可以不相似 B．側(cè)面都是全等的梯形C．側(cè)棱長(zhǎng)一定相等 D．側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)答案D解析棱臺(tái)的三個(gè)特征：①兩底面相互平行且相似，②各側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，③側(cè)面都是梯形．3.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱錐A1－ABC的體積是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C．4 D．8答案A解析∵A1A⊥底面ABC，∴A1A為三棱錐A1－ABC的高，且AA1＝2，又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).4．(2020·寧城蒙古族中學(xué)模擬)若圓錐的高等于底面圓的半徑，則它的底面積與側(cè)面積之比是()A．1∶2B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(2)D.eq\r(2)∶eq\r(3)答案C解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則高為r，母線長(zhǎng)l＝eq\r(r2＋r2)＝eq\r(2)r，則S底＝πr2，S側(cè)＝πrl＝eq\r(2)πr2，eq\f(S底,S側(cè))＝eq\f(πr2,\r(2)πr2)＝eq\f(1,\r(2)).5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).6.(多選)將正三棱錐P－ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P(pán)－ABC－Q，如圖．下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中，正確的有()A．PQ⊥平面ABCB．若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上C．若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB＝eq\r(2)PAD．若AB＝eq\f(\r(6),2)PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心答案AD解析由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ⊥平面ABC，A正確；當(dāng)P，A，B，C在同一球面上時(shí)，若△ABC的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn)Q不在該球面上，B錯(cuò)誤；若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐P－ABC的外接球的半徑與等邊三角形ABC外接圓的半徑相等，設(shè)其為R，則AB＝eq\r(3)R，PA＝eq\r(2)R，則AB＝eq\f(\r(6),2)PA，C錯(cuò)誤；由C的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為△ABC的中心，即PQ的中點(diǎn)，D正確，故選AD.7．(2021·上海新場(chǎng)中學(xué)模擬)若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．答案8π解析因?yàn)檩S截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以圓錐底面半徑r＝2，圓錐母線l＝4.圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π×2×4＝8π.8．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_______．答案eq\f(5,3)π解析由題意可知幾何體的直觀圖如圖，旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個(gè)底面相同，高為1的倒圓錐，幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.9．(2020·咸陽(yáng)模擬)已知在三棱錐A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，則三棱錐A－BCD外接球的體積為_(kāi)_______．答案4eq\r(3)π解析因?yàn)槿忮F側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖，該長(zhǎng)方體的三邊分別為1，eq\r(3)，2eq\r(2)，所以球的直徑為2R＝eq\r(1＋\r(3)2＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，即R＝eq\r(3)，所以三棱錐A－BCD的外接球的體積為V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π，10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)，則AE＋DE的最小值是________．答案eq\r(6)＋eq\r(2)解析如圖，取CD1的中點(diǎn)為P，連接AP，DP，則由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1，DP⊥CD1，所以AE≥AP，DE≥DP，所以AE＋DE≥AP＋DP，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，所以AP＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)×2＝eq\r(6)，DP＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，故當(dāng)E在線段CD1上運(yùn)動(dòng)，E與P重合時(shí)，AE＋DE有最小值eq\r(6)＋eq\r(2).11.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，過(guò)頂點(diǎn)B，D，A1截下一個(gè)三棱錐．(1)求剩余部分的體積；(2)求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．解(1)由題意，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為V正方體＝a3，根據(jù)三棱錐的體積公式，可得＝eq\f(1,3)·S△ABD·A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3，所以剩余部分的體積V＝V正方體－＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.(2)由(1)知＝eq\f(1,6)a3，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為d，則＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\r(2)a)2×d＝eq\f(\r(3),6)a2d，故eq\f(\r(3),6)a2d＝eq\f(1,6)a3，解得d＝eq\f(\r(3),3)a.12.如圖所示，正四棱臺(tái)AC′的高是17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm.(1)求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高；(2)求該棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積．解(1)設(shè)棱臺(tái)AC′兩底面的中心分別是O′和O，B′C′，BC的中點(diǎn)分別是E′，E，連接O′O，E′E，OB，O′B′，O′E′，OE，如圖所示，則四邊形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，且O′O＝17cm，在正方形ABCD中，BC＝16cm，則OB＝8eq\r(2)cm，OE＝8cm，在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4cm，則O′B′＝2eq\r(2)cm，O′E′＝2cm，在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝eq\r(172＋8\r(2)－2\r(2)2)＝19(cm)，在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝eq\r(172＋8－22)＝5eq\r(13)(cm)，即這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為5eq\r(13)cm.(2)S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(4＋16)×5eq\r(13)＝200eq\r(13)(cm2)，S表面積＝S側(cè)＋S上底面＋S下底面＝200eq\r(13)＋4×4＋16×16＝(200eq\r(13)＋272)cm2.13．(2020·安康模擬)四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABCD是邊長(zhǎng)為3eq\r(2)的正方形，若四棱錐P－ABCD體積的最大值為54，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．100πD．144π答案C解析設(shè)球心到平面ABCD的距離為h，球O的半徑為r，根據(jù)題意得，當(dāng)P到平面ABCD距離最大，即為r＋h時(shí)，四棱錐P－ABCD的體積最大，所以V＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×3eq\r(2)×(r＋h)＝54，解得r＋h＝9，又A，B，C，D都在球面上，設(shè)平面ABCD所在圓的圓心為O′，由題意得O′A＝eq\f(\r(3\r(2)2＋3\r(2)2),2)＝3，所以r2＝h2＋32，解得r＝5，所以表面積S＝4π×52＝100π.14.(2020·濟(jì)南模擬)《九章算術(shù)》是西漢張蒼等輯撰的一部數(shù)學(xué)巨著，被譽(yù)為人類數(shù)學(xué)史上的“算經(jīng)之首”．書(shū)中“商功”一節(jié)記錄了一種特殊的錐體，稱為鱉臑(biēnào)．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，則該三棱錐即為鱉臑．若AB＝2且三棱錐外接球的體積為36π，則PB＋AC長(zhǎng)度的最大值是________．答案4eq\r(5)解析設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，由體積為36π，知eq\f(4,3)πR3＝36π，即R＝3，又∵PA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(AC,2)，即有R2＝eq\f(PA2,4)＋eq\f(AC2,4)＝9，有PA2＋AC2＝36，而在Rt△PAB中，AB＝2，PB2＝PA2＋AB2＝PA2＋4，∴PB2＋AC2＝40，而(PB＋AC)2≤2(PB2＋AC2)＝80，當(dāng)且僅當(dāng)PB＝AC時(shí)等號(hào)成立，∴PB＋AC≤4eq\r(5).15．(2020·佛山模擬)如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為4eq\r(2)m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.答案1解析把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)P的母線展開(kāi)成如圖所示的扇形，由題意OP＝4m，PP′＝4eq\r(2)m，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(2)2,2×4×4)＝0，且∠POP′是三角形的內(nèi)角，所以∠POP′＝eq\f(π,2).設(shè)底面圓的半徑為rm，則2πr＝eq\f(π,2)×4，所以r＝1.16．(2020·徐州模擬)如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正方形材料ABCD，截去如圖所示的陰影部分后，可焊接成一個(gè)正四棱錐的封閉容器．設(shè)∠FCB＝θ.(1)用θ表示此容器的體積；(2)當(dāng)此容器的體積最大時(shí)，求tanθ的值．解(1)取BC的中點(diǎn)M，連接FM，連接AC交GF于N，如圖．由題意知FM⊥BC，在Rt△CFM中，CF＝eq\f(1,cosθ).在Rt△CFN中，eq\f(NF,CF)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))，所以NF＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)tanθ，所以GF＝eq\r(2)－eq\r(2)tanθ.因?yàn)閑q\f(CN,CF)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))，所以CN＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)tanθ.從而S四邊形GFEH＝(eq\r(2)－eq\r(2)tanθ)2，正四棱錐的高CO＝eq\r(CN2－NO2)＝eq\r(CN2－NF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)tanθ))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)tanθ))2)＝eq\r(2)·eq\r(tanθ)，所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形GFEH·CO＝eq\f(1,3)×(eq\r(2)－eq\r(2)tanθ)2×eq\r(2)×eq\r(tanθ)＝eq\f(2\r(2),3)(1－tanθ)2eq\r(tanθ)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).(2)令t＝eq\r(tanθ)，t∈(0,1)，則V(t)＝eq\f(2\r(2),3)(1－t2)2t＝eq\f(2\r(2),3)(t5－2t3＋t)，V′(t)＝eq\f(2\r(2),3)(5t4－6t2＋1)＝eq\f(2\r(2),3)(5t2－1)(t2－1)．令V′(t)＝0，得t＝eq\f(\r(5),5).當(dāng)t變化時(shí)，V′(t)，V(t)的變化情況如下表：te