如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程——高中數(shù)學(xué)課程主線分析第一講張老師〔張思明北大附中數(shù)學(xué)特級(jí)教師〕：各位老師大家好，歡送各位老師繼續(xù)參加高中數(shù)學(xué)新課程國(guó)家級(jí)遠(yuǎn)程研修。上一個(gè)專題里，我們講了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制的背景和內(nèi)容統(tǒng)概，在這一講里，我們的專題是如何整體把握高中數(shù)學(xué)新課程，這個(gè)專題是我們做教學(xué)設(shè)計(jì)、做教學(xué)思考的一個(gè)核心，也是我們這次高中新課程的一個(gè)高頻率的主題詞。那么，我想先問(wèn)一問(wèn)王老師，為什么要把這個(gè)整體把握高中數(shù)學(xué)新課程的“整體把握〞提到了這樣一個(gè)位置。王老師〔王尚志首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授〕：做任何一件事情，都需要對(duì)這件事情有一個(gè)完整的了解，這樣我們才可以更好地、有效地完成這樣一件事情，我們覺(jué)得和整體的把握課程，相關(guān)的這些重要的核心詞就是有效的，我想整體的把握就能使得我們更有效地實(shí)施高中新課程，那么，怎么樣表達(dá)整體把握新課程呢？我們研討一下來(lái)感覺(jué)有這么幾個(gè)方面：第一個(gè)方面，就是內(nèi)容上的整體把握，我想高中課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)對(duì)內(nèi)容一定不是按照知識(shí)點(diǎn)來(lái)走，他有一個(gè)根本的脈絡(luò)，就是我們所說(shuō)的主線。那么，我們?cè)谠O(shè)計(jì)高中新課程的時(shí)候，有這樣幾條根本的脈絡(luò)或者我們說(shuō)主線是我們構(gòu)架起整個(gè)高中課程的根底。那么，其中一個(gè)是函數(shù)主線；一個(gè)是圖形的主線，我們幾何就是研究圖形的，或者我們叫幾何；另外就是運(yùn)算；在有一個(gè)是算法；還有一個(gè)是應(yīng)用；再一個(gè)是統(tǒng)計(jì)概率，我們這每一條主線都形成一個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，不同的主線之間有又著密切聯(lián)系，所以我想從這個(gè)層面來(lái)說(shuō)，如果能夠理解高中課程的這些根本脈絡(luò)，對(duì)于整體把握高中新高程，應(yīng)該是非常積極有效的。第二個(gè)層面：就是我們通常所說(shuō)的能力層面，我們數(shù)學(xué)有一些最根本的能力，那么這些能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)的目標(biāo)。比方說(shuō)：我們有計(jì)算能力、有邏輯推理能力、空間想象能力和抽象概括能力，數(shù)據(jù)處理能力。這些能力是貫穿在整個(gè)高中新課程的使用過(guò)程中的。這些能力的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)于把握高中新課程會(huì)有很大的好處，那么，能力更上位一點(diǎn)的，我們還需要有一些思考，比方我們數(shù)學(xué)，有兩種根本的推理方式，一種演繹的，一種是歸納，他又表達(dá)在不同的能力上，有一個(gè)數(shù)學(xué)里很重要的希望老師給予關(guān)注的地方，就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用，數(shù)學(xué)不同于其他的學(xué)科，很重要的方面是他的本身有他一套獨(dú)特的語(yǔ)言體系。通常我們說(shuō)，符號(hào)的語(yǔ)言體系和圖形語(yǔ)言的體系，我想這些語(yǔ)言體系，也不是表達(dá)在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是貫穿在整個(gè)課程的過(guò)程中，所以我想需要我們老師有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，當(dāng)然如果我們有一個(gè)整體的設(shè)計(jì)，那就更好了。所以我想我們將在單元教學(xué)設(shè)計(jì)里，提到這些內(nèi)容，就是有時(shí)候我們也可以把能力當(dāng)做一個(gè)單元來(lái)設(shè)計(jì)，我們也可以把掌握語(yǔ)言的能力，當(dāng)做一個(gè)單元來(lái)設(shè)計(jì)，這樣就使我們老師不是局部的看待我們高中課程，而是把高中數(shù)學(xué)課程看作一個(gè)整體。張老師〔張飴慈首都師范大學(xué)教授〕：比方說(shuō)，我們有些數(shù)學(xué)知識(shí)或者概念比方弧度，如果你就弧度講弧度，很難讓學(xué)生真正理解為什么要引入弧度，如果你不能從整體來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)概念的話，就很難真正的把握數(shù)學(xué)，又比方通性、通法，如果你沒(méi)有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，那么就很難提煉出通性、通法這個(gè)理論，所以我想要真正理解這個(gè)理論，我想要整體，認(rèn)識(shí)這個(gè)定義才能知道我們的定位，才知道我們要掌握什么是一些細(xì)微末節(jié)，什么是一些技術(shù)性問(wèn)題，什么是重要的思想，才能有一個(gè)更好的認(rèn)識(shí)。王：那么張老師剛剛說(shuō)的，我覺(jué)得也是我們要考慮第三個(gè)層面，就是一些知識(shí)的理解、概念的理解，技能的把握，也希望他放在一個(gè)大的范圍里來(lái)考慮，剛剛張老師講的弧度，就是我們?cè)诔踔须A段，究竟為弧度奠定了一些什么？我們?cè)诟咧须A段如何引入？我們?nèi)绾蜗驅(qū)W生說(shuō)清楚，弧度是必不可少的一個(gè)概念，他給我們帶來(lái)什么好處？我想所有這些都不能在一節(jié)課去完成的，如果我們老師有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，就會(huì)把它設(shè)計(jì)成為一個(gè)完整的理解，那么，對(duì)于一些技能我想也是這樣的。比方說(shuō)：剛剛張老師說(shuō)的通性通法，我們?cè)诟咧须A段，希望學(xué)生形成的一個(gè)很重要的通性、通法就是如何來(lái)對(duì)待模型？也就是通常我們所說(shuō)待定系數(shù)法，當(dāng)我們判定一個(gè)模型就是指數(shù)函數(shù)的模型的時(shí)候，那么這個(gè)時(shí)候我們關(guān)鍵的問(wèn)題就要去在這個(gè)情景中確定Y等于a的x次方的參數(shù)a是誰(shuí)？它才能有效地幫助我們，運(yùn)用這個(gè)具體的模型來(lái)解決模型具體的問(wèn)題，所以我想整體把握課程的本身，也需要有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，那么這樣才能使我們更好的駕馭我們整個(gè)課程的全體，這樣我們才能提高我們課程教學(xué)的效率，否那么的話可能就會(huì)欲速那么不達(dá)，當(dāng)然也包括對(duì)考試、對(duì)高考的把握，我們也需要有一個(gè)整體的看法來(lái)思考高考與日常教學(xué)的關(guān)系。比方說(shuō)我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)環(huán)節(jié)，總有一個(gè)疏理知識(shí)階段，那么我們很多老師總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，疏理知識(shí)不要等到高三再開(kāi)始，我們?cè)诟咭痪烷_(kāi)始做，學(xué)完每一章，每一節(jié)的內(nèi)容我們逐漸從幫助學(xué)生疏理知識(shí)到讓學(xué)生能夠獨(dú)立疏理知識(shí)、形成他的一個(gè)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在他的腦子里，始終出現(xiàn)了就是一個(gè)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，那么我想到了高三階段，再進(jìn)行知識(shí)的疏理，再應(yīng)對(duì)高考我們就效率好的多了，所以我覺(jué)得我們提出來(lái)整體把握課程這個(gè)詞兒，具有豐富的內(nèi)涵！我們也提給老師，希望我們參加培訓(xùn)的每一位老師，能夠認(rèn)真的思考這個(gè)問(wèn)題。課是要一節(jié)一節(jié)的上，但是我們對(duì)高中數(shù)學(xué)理解是要站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)上面，對(duì)高中數(shù)學(xué)有一個(gè)完整的理解。張：我個(gè)人也是體會(huì)跟著兩位老師學(xué)習(xí)，整體把握其實(shí)也是一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)方法，特別對(duì)于抽象度很高的內(nèi)容，我們很多的是包括我自己在大學(xué)里，包括學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，如果一下進(jìn)入了細(xì)微末節(jié)每一個(gè)定理好象都念過(guò)，但是不知道他們的關(guān)系、聯(lián)系，也沒(méi)有整體的把握住，最后，還是腦子空空的！所以我想兩位老師提出整體把握，其實(shí)對(duì)于老師來(lái)說(shuō)，要把這種理念變成一種教法，甚至是對(duì)學(xué)生一種學(xué)法的一種影響，告訴學(xué)生要學(xué)這些東西，要有微觀、中觀、大觀、宏觀的這些東西。我們過(guò)去可能做的都是微觀上的，老師應(yīng)該是對(duì)的，強(qiáng)調(diào)的比擬多，但是由于學(xué)生最后的教學(xué)效率卡在這兒，沒(méi)有宏觀的認(rèn)識(shí)，知識(shí)沒(méi)有形網(wǎng)絡(luò)，所以也降低了學(xué)習(xí)效率。最后我想兩位老師談?wù)勥@樣的認(rèn)識(shí)，我們知道我們高中把整體把握作為一個(gè)關(guān)鍵字，意義在這里。為了使各位老師對(duì)這個(gè)事情也一個(gè)比擬具體的形象認(rèn)識(shí)，我們特別請(qǐng)了我們北京市海淀區(qū)的19中的老師為我們提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例，來(lái)具體的分析一下，下面我們請(qǐng)〔檀晉軒〕老師和王老師一起為我們介紹這個(gè)教學(xué)案例?！局鞒秩恕浚焊魑焕蠋煷蠹液茫蚁葋?lái)向大家介紹一下我身邊的這兩位老師，這位是北京市海淀區(qū)第十九中學(xué)的檀晉軒老師，〔檀晉軒：北京十九中高級(jí)教師〕這位是同一個(gè)學(xué)校的王肖華老師，〔王肖華：北京十九中區(qū)骨干教師〕兩位老師都是我們海淀區(qū)很有名的青年骨干教師，參加我們的課程討論，我們希望兩位老師給我們帶來(lái)一些具體的案例，我們這一講主要談如何把握整體高中數(shù)學(xué)新課程，我想很多一線的老師在教學(xué)實(shí)踐中有這樣那樣的想法，我想你們二位老師給我們老師帶來(lái)什么樣的案例。檀老師：我們今天想就著集合這一節(jié)，這個(gè)段落的內(nèi)容教學(xué)，一起跟老師們探討一下關(guān)于在新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施過(guò)程中，我們?nèi)绾蔚娜ニ伎迹瑥恼w來(lái)認(rèn)識(shí)和把握這樣一個(gè)關(guān)鍵的內(nèi)容，因?yàn)榧线@個(gè)內(nèi)容跟以往舊的大綱相比，有一定的改變，所以我們?cè)趯W(xué)生剛剛?cè)雽W(xué)的時(shí)候，有一個(gè)階段，我們做了一些很深入的討論，在上課之初，也就是學(xué)生在入校之前，我們老師在這方面做了大量的工作，我們下面簡(jiǎn)單地介紹一下，在整個(gè)準(zhǔn)備的過(guò)程中，我們都做了哪些的思考和我們相應(yīng)的一些討論結(jié)果，提供應(yīng)老師們作為參考。首先我們?cè)谒伎歼@個(gè)內(nèi)容之前，請(qǐng)所有老師分頭去收集了有關(guān)集合段落教學(xué)的各種不同的版本，有一些不一樣的教學(xué)的設(shè)計(jì)。比方說(shuō)，我們看到有的設(shè)計(jì)集合這一個(gè)單元，一共設(shè)計(jì)了八個(gè)學(xué)時(shí)，還有的設(shè)計(jì)了六個(gè)學(xué)時(shí)，當(dāng)然還五個(gè)學(xué)時(shí)，還有其他一些情況。下面我舉典型的三個(gè)例子，我們一起也看一下，在我們教學(xué)之初，我們學(xué)校的數(shù)學(xué)高一年級(jí)的老師，一起坐下來(lái)分析了這幾個(gè)典型的例子。比方說(shuō)過(guò)去在舊的教材過(guò)程中，我們有一局部老師對(duì)集合這局部教學(xué)設(shè)計(jì)了八個(gè)學(xué)時(shí)，我們一起就來(lái)分析了一下，這八個(gè)學(xué)時(shí)主要設(shè)計(jì)是這樣的一個(gè)安排，其中關(guān)于集合的概念以及它的表示方法，大約是設(shè)計(jì)的三個(gè)學(xué)時(shí)。在第一個(gè)學(xué)時(shí)中，它的重點(diǎn)是把集合的根本概念做了一個(gè)介紹，然后重點(diǎn)去介紹了集合的列舉法，描述法和圖形表示方法。同時(shí)給出了空集以及集合的各種分類的方式。在第二個(gè)課時(shí)過(guò)程中，我們就看到它事實(shí)上主要是對(duì)前面根本知識(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程。同時(shí)，在這個(gè)領(lǐng)域，由于舊的教材中比擬強(qiáng)調(diào)集合的三個(gè)重要的性質(zhì)，也就是老師們都非常熟悉的，關(guān)于集合中元素確實(shí)定性、無(wú)序性和互異性，他就這幾個(gè)性質(zhì)做了幾個(gè)比擬復(fù)雜的一些練習(xí)問(wèn)題，這是第二個(gè)課時(shí)。第三個(gè)課時(shí)，他介紹子集，全集和補(bǔ)集的概念，同時(shí)也簡(jiǎn)單地做了一些補(bǔ)集和判斷集合間關(guān)系的一些問(wèn)題。第四個(gè)學(xué)時(shí)就是子集、全集和補(bǔ)集進(jìn)一步練習(xí)的課時(shí)，我們看到它增加了一個(gè)第五的課時(shí)，仍然是在子集，全集和補(bǔ)集。我們看到有一些例子，比方在這里說(shuō)到例一和例二。實(shí)際上，這里我們?cè)谟懻摲治龅倪^(guò)程中，發(fā)現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)，主要這里涉及到方程本身的知識(shí)，對(duì)于方程根一些討論問(wèn)題，因此他并不是集合本身知識(shí)相關(guān)問(wèn)題的難點(diǎn)，所以他在這里占有比擬大的一個(gè)時(shí)間段。第六個(gè)學(xué)時(shí)的時(shí)候介紹了交集和并集的概念，以及一些相關(guān)的符號(hào)表示，也運(yùn)用這些知識(shí)解決了簡(jiǎn)單的求交、并集的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。最后在第八個(gè)學(xué)時(shí)過(guò)程中，同樣是做了一個(gè)交并、集練習(xí)的課時(shí)，其實(shí)我們也看到這里涉及到了含有絕對(duì)值的不等式，以及分式不等式，因?yàn)槭桥f的教材，所以在這些內(nèi)容中滲透了這些內(nèi)容。同樣的，我們也分析了，在新課標(biāo)下，網(wǎng)上出現(xiàn)關(guān)于集合這局部出現(xiàn)的六個(gè)學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)的過(guò)程，其中我們也發(fā)現(xiàn)它主要增加的局部的內(nèi)容，我們?cè)谔接戇^(guò)程中，感覺(jué)難度主要并不都在集合知識(shí)本身，而有一些例題難度主要放在對(duì)于方程根情況的討論，以及涉及到某些含有二元的方程，這里實(shí)際有一些解析幾何的味道，就是坐標(biāo)系中點(diǎn)和相關(guān)的一些知識(shí)。同時(shí)，在這里也發(fā)現(xiàn)，他把過(guò)去舊教材中要求的，關(guān)于幾何中元素那三個(gè)重要性質(zhì)，他所有一些相應(yīng)的練習(xí)，強(qiáng)化來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練。因此我們整體分析之后，我們也是課時(shí)非常緊張，我們仔細(xì)做了討論，我們感覺(jué)反復(fù)閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)以后，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)幾何這局部，和以前大綱這樣幾點(diǎn)不同，這是我們的思考。首先一點(diǎn)，他與大綱相比擬，課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重集合的語(yǔ)言性和根底性，淡化了一些相應(yīng)的技巧，也淡化它與其他數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程的結(jié)合，我想這個(gè)改變是很好的。原因我們也分析了我們自己的學(xué)生，因?yàn)槲覀兊膶W(xué)校是海淀區(qū)一所中等偏上的學(xué)校，我們學(xué)生的層次，以及他們自己原有在初中的根底知識(shí)并不是十分扎實(shí)。那么集合作為學(xué)生高中入學(xué)后的第一個(gè)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，過(guò)多的綜合性的問(wèn)題會(huì)使得學(xué)生喪失很多的信心，所以我們?cè)谶@里也希望突出在第一個(gè)模塊過(guò)程中、第一個(gè)知識(shí)內(nèi)容，把它突出作為一個(gè)最根本的語(yǔ)言，最根本的將來(lái)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常要使用到的一些符號(hào)，來(lái)進(jìn)行教學(xué)。第二個(gè)重要的不同點(diǎn)，在課標(biāo)中提出要能夠用三種語(yǔ)言來(lái)描述學(xué)生的問(wèn)題，我想這個(gè)是比擬突出語(yǔ)言之間的一種轉(zhuǎn)化。我們也就覺(jué)得在這個(gè)階段中，作為語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，我們也學(xué)習(xí)和借鑒了，語(yǔ)文教學(xué)和英語(yǔ)教學(xué)他們中的一些特點(diǎn)。因此我們就嘗試著讓學(xué)生在學(xué)生集合語(yǔ)言的過(guò)程中，不斷轉(zhuǎn)換符合語(yǔ)言，自然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。第三個(gè)我們比擬的不同，學(xué)生在初中中雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)集合的概念，但是事實(shí)上，初中為我們學(xué)習(xí)集合概念準(zhǔn)備了一些大量的素材。所以我們認(rèn)為借助這些素材可以在素材本身上不增加學(xué)生的難度，只是在新的一種符號(hào)表達(dá)，和一種新的認(rèn)識(shí)方式和我們?cè)谖磥?lái)的表達(dá)過(guò)程中，我們可以不斷加深這種認(rèn)識(shí)，在這種定位下，我們的教學(xué)實(shí)際最終設(shè)計(jì)四個(gè)學(xué)時(shí)，在第一個(gè)學(xué)時(shí)就是作為語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，主要是梳理了學(xué)生在小學(xué)和初中階段，他們所遇到過(guò)一些集合的概念，比方在小學(xué)過(guò)程中學(xué)習(xí)過(guò)的一些奇數(shù)、偶數(shù)。比方說(shuō)12的所有正整數(shù)因子等等這些概念。初中也有大量的一些例子，比方說(shuō)不等式的解集，方程的一些解集，當(dāng)然在幾何中他們還學(xué)習(xí)過(guò)四邊形的各種分類，三角形的一些分類，以及直線上的一些點(diǎn)作為直線的一些元素等，他們也從這個(gè)角度認(rèn)識(shí)了圓的概念，就是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。這樣一系列的知識(shí)都是學(xué)生舊有的，我們把它羅列出來(lái)之后，提供應(yīng)學(xué)生一種新的表示方式，也就是我們?cè)谝还?jié)課把描述法和列舉法都教給學(xué)生，作為一種語(yǔ)言，是比照著進(jìn)行學(xué)習(xí)。進(jìn)而，在這個(gè)具體的這些例子當(dāng)中，幫助他認(rèn)識(shí)元素和集合之間的關(guān)系，以及每個(gè)集合各自在表示方法過(guò)程中，選擇不同的表示形式的必要性，特別是在描述法中學(xué)生感覺(jué)還是比擬困難的，在這實(shí)質(zhì)上對(duì)一些特別無(wú)限集，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的表示方法用列舉法就非常不方便，這個(gè)就需要在學(xué)生分類清晰的情況下，把一類事物要能夠找到它一個(gè)共同屬性來(lái)進(jìn)行描述。因此我們的第一課時(shí)根本上介紹了以語(yǔ)言為根本的轉(zhuǎn)換單位，重點(diǎn)是符號(hào)語(yǔ)言和自然語(yǔ)言之間的一種轉(zhuǎn)化，把過(guò)去學(xué)過(guò)的一些東西用新的一種符號(hào)展現(xiàn)出來(lái)。第二個(gè)學(xué)時(shí)，我們就介紹了集合之間的關(guān)系，子集關(guān)系，包含關(guān)系。同時(shí)我們?cè)谶@里進(jìn)一步突出了圖形語(yǔ)言。在上一節(jié)課重點(diǎn)是自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，到了第二個(gè)學(xué)時(shí)的時(shí)候，我們就增加了一些圖形語(yǔ)言，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這些符號(hào)。第三個(gè)學(xué)時(shí)，我們實(shí)際到集合的運(yùn)算，我們做了兩個(gè)學(xué)時(shí)的設(shè)計(jì)。在這兩個(gè)學(xué)時(shí)中，同樣我們是把交、并、補(bǔ)的概念再次讓他們運(yùn)用符號(hào)的語(yǔ)言進(jìn)行闡述，又強(qiáng)化了他們這種符號(hào)語(yǔ)言的使用，同時(shí)也準(zhǔn)確地理解交、并、補(bǔ)的含義。同時(shí)把自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間做了相互的傳遞，強(qiáng)調(diào)了他們之間轉(zhuǎn)化的功能，大概我們是這樣一個(gè)設(shè)想?！局鞒秩恕客趵蠋煟瑢?duì)這個(gè)設(shè)計(jì)有什么樣的感受？王：因?yàn)槭俏覀兗w備課的一個(gè)成果，所以我也非常贊同，而且參與過(guò)程也考慮到學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)情況，它的知識(shí)水平、知識(shí)結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合它的實(shí)際狀況來(lái)設(shè)計(jì)的?！局鞒秩恕坷蠋熢趨⑴c這個(gè)討論過(guò)程中，有沒(méi)有不同意見(jiàn)？王：雖然我們針對(duì)整體學(xué)生大局部的水平來(lái)制訂的，但是有一些班的情況具有特殊性，所以針對(duì)特殊性，具體的老師根據(jù)自己班的實(shí)際情況，具體做一些微調(diào)。檀老師：是這樣的。確實(shí)有一些不同的意見(jiàn)，比方過(guò)去老師們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，在集合教學(xué)中就希望能夠滲透關(guān)于方程根討論的一些問(wèn)題，當(dāng)然剛剛我們也看到，包括像集合互異性的一些問(wèn)題，實(shí)際上因?yàn)槲覀儗W(xué)校的學(xué)生雖然整體水平屬于中上等的，但是程度也參差不齊。因此我們?cè)诰唧w的教學(xué)過(guò)程中，我們的定位是要把住一條底線，即語(yǔ)言和符號(hào)的初步認(rèn)識(shí)。對(duì)于剛剛談到這幾點(diǎn)，個(gè)別學(xué)生可以給他提出一些思考問(wèn)題，嘗試讓他們課下去完成。我們?cè)谶@個(gè)年的過(guò)程中，因?yàn)槭窍Ｍ诟咧械谝粋€(gè)學(xué)段中解決學(xué)生最重要的一個(gè)是學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)問(wèn)題，因此我們?cè)谶@一階段的教學(xué)過(guò)程，都嘗試著每節(jié)課拿出五到十分鐘的時(shí)間讓學(xué)生閱讀書籍，然后指導(dǎo)他們?nèi)ラ喿x和自己梳理知識(shí)，同時(shí)在這個(gè)階段結(jié)束之后，對(duì)于集合，我們是給了學(xué)生復(fù)習(xí)框架，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)小組，每個(gè)班大概是組成五到六個(gè)學(xué)生形成學(xué)習(xí)小組，給他們相關(guān)的數(shù)學(xué)課題，提供應(yīng)他們可供思考的問(wèn)題，像剛剛的問(wèn)題，我們都提供應(yīng)他們作為課外思考。學(xué)生在隨后的探討過(guò)程中，實(shí)際上我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最后的所得到的東西，比我們?cè)鞠胂Ｍ探o他們的東西獲得的多得多。比方他們非常有興趣查找了一些與集合有關(guān)系的數(shù)學(xué)史知識(shí)，像康托，他們都通過(guò)自己去查找資料去了解，并且用各種各樣的形式，有的班最后用的是板報(bào)的形式，以后專門有數(shù)學(xué)板報(bào)。還有的班是用的班校會(huì)的時(shí)間，做了一節(jié)數(shù)學(xué)史和集合這局部的宣講，學(xué)生非常踴躍、非常積極。像集合中有一些悖論的問(wèn)題，集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，他們都非常有興趣自己去查找資料然后相互交換，我想這樣他們獲得的東西會(huì)更多。【主持人】非常感謝兩位老師給我們帶來(lái)非常生動(dòng)的案例。我們一會(huì)也要請(qǐng)專家對(duì)這個(gè)案例發(fā)表一下他們的點(diǎn)評(píng)。張：通過(guò)剛剛老師們的介紹，我們對(duì)檀老師提出來(lái)的問(wèn)題和分析有了一個(gè)初步的了解，那么，我們下面聽(tīng)一聽(tīng)專家對(duì)這個(gè)過(guò)程的一個(gè)分析和點(diǎn)評(píng)。王：〔王尚志：首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授〕集合是我們新課程中高中教學(xué)的第一個(gè)單元，他們對(duì)這些做了一些案例的分析也做了比照。張老師，您看對(duì)他們這些分析和比照有什么點(diǎn)評(píng)？張：〔張飴慈：首都師范大學(xué)教授〕首先我覺(jué)得很快樂(lè)看到他們把別人的一些案例拿過(guò)來(lái)跟做比照、做分析，然后設(shè)立自己的案例，這樣一種教研的方法非常好。其次我就覺(jué)得他們這些思維能夠抓住我們這些結(jié)合點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)對(duì)集合的定位抓的比擬準(zhǔn)。比方第一個(gè)關(guān)于集合的三性問(wèn)題，我覺(jué)得集合的三性只是一些規(guī)定，這些規(guī)定要求我們的學(xué)生要知道，并且要遵循這就夠了。我們數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多這樣的規(guī)定，比方說(shuō)平面直角坐標(biāo)系哪個(gè)是第一象限，哪個(gè)是第二象限，哪個(gè)是第三象限線，這個(gè)學(xué)生要知道，這就夠了。王：沒(méi)有必要討論那些說(shuō)不清楚的集合，那根本不是我們數(shù)學(xué)要求的東西。張：比方要求集合的元素是確定的，我們但凡討論的集合元素都是確定的，這么規(guī)定就可以了，用不著去設(shè)計(jì)很多奇奇怪怪的來(lái)說(shuō)是不是集合，包括它的互異性、無(wú)序性，做這種討論都是沒(méi)有用的。它本身沒(méi)有對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想有所提高。其次我們這里要講的按標(biāo)準(zhǔn)來(lái)講，就是集合的概念、包含的關(guān)系、屬于關(guān)系，包括子集這個(gè)內(nèi)容。也就是說(shuō)我們不涉及到集合的領(lǐng)域，我們定位是把它作為一種語(yǔ)言，而且這個(gè)語(yǔ)言是要貫穿高中三年的始終的，在后面講到解析幾何的時(shí)候，講到線性規(guī)劃的時(shí)候，講到不等式解集的時(shí)候，講到函數(shù)一系列內(nèi)容的時(shí)候要把它拿來(lái)用，所以我們把它放在一開(kāi)始，希望在高中三年要貫徹、去要學(xué)會(huì)應(yīng)用。所以在現(xiàn)我們一定是要用初中熟知的知識(shí)來(lái)作為載體，來(lái)講并、交、補(bǔ)，來(lái)講屬于、包含、相等，這樣講，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)困難應(yīng)該不是特別大。如果我們把一些后面要講的一些不等式、一些平面的圓的方程等都放到這里，就無(wú)形中增加了難度。特別在初高中過(guò)渡的問(wèn)題，我們要給學(xué)生一個(gè)感覺(jué)，讓學(xué)生感到比擬容易的事，我們是要把難的東西要講容易了，而不是把后面的東西放在這講，我們要把握好，一步到位是不好的。檀：有一些學(xué)校把不等式的解法提前放到這里，一開(kāi)始的時(shí)候我們聽(tīng)到這樣一些說(shuō)法，我們內(nèi)部也做過(guò)討論，實(shí)際我們做這樣的取舍，一開(kāi)始還是有一些心中不是特別有把握的地方，我們仔細(xì)也做過(guò)一些分析，比方您剛剛提到的，集合是在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中都要運(yùn)用的一個(gè)語(yǔ)言，一個(gè)工具。因此事實(shí)上，集合在初期階段只是一個(gè)新的符號(hào)，新的語(yǔ)言，還有一些簡(jiǎn)單的交、并、補(bǔ)的知識(shí)，分析之后覺(jué)得在函數(shù)研究定義域、值域的問(wèn)題，研究單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，包括后面我們?cè)谘芯苛Ⅲw幾何的時(shí)候，我們始終在使用這些符號(hào)語(yǔ)言，等到不等式的時(shí)候，我們還可以加深對(duì)集合符號(hào)使用的一些認(rèn)識(shí)，我們到今天為止，我們已經(jīng)講了四個(gè)必修的模塊了，感覺(jué)學(xué)生的使用上還是沒(méi)有問(wèn)題的。王：比方像線性規(guī)劃的問(wèn)題，難點(diǎn)就在平面上點(diǎn)集的表示，在那都是難點(diǎn)，把它弄到集合里來(lái)大家都覺(jué)得暈了，所以我想沒(méi)有必要，他有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。我在大學(xué)教書，平面點(diǎn)集的表示仍然是學(xué)生容易出問(wèn)題的地方。所以你們的這種設(shè)計(jì)考慮，我是非常贊成的。張：我們剛剛也談到方程的問(wèn)題，我們不是在講解方程，而是在講集合的符號(hào)表示，講集合的交、并、補(bǔ)的關(guān)系，用我們初中講到的有限整數(shù)集，或者自然數(shù)或者用我們學(xué)的不等式組都是很好的很充分的載體，讓學(xué)生感到不難就能學(xué)會(huì)它。所以在這種情況下，因?yàn)槲覀円莆盏臇|西跟我們以后要學(xué)的東西是兩回事，一步到位的問(wèn)題是一個(gè)非常應(yīng)該把握住的問(wèn)題，還不會(huì)走的孩子非要讓他會(huì)走，這樣反而把他害了。所以我想在初高中的地方，我也知道，有一些地方，剛一上高一的學(xué)生11點(diǎn)才能睡覺(jué)，晚上做很難很難的題，就把學(xué)生給嚇住了，我覺(jué)得這不是我們數(shù)學(xué)中的教育水準(zhǔn)。王：關(guān)鍵怎么樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，而且對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，一上高中就讓他感覺(jué)到數(shù)學(xué)沒(méi)有自己想像的那么難，開(kāi)頭要開(kāi)好，這樣學(xué)生后期就會(huì)很有信心，而且也會(huì)加倍努力把以前落下的、把自己缺乏的地方趁著高中入學(xué)這一段時(shí)間趕上。張：有的時(shí)老師一開(kāi)始就給你一個(gè)下馬威，我讓你不好好學(xué)習(xí)，我告訴你高中數(shù)學(xué)有多難。王：本來(lái)有一點(diǎn)想法的，有一點(diǎn)方案的，這一上來(lái)就被嚇回去了。王：剛剛說(shuō)張老師說(shuō)的我非常贊成，比方我們數(shù)學(xué)在高中階段，在初中階段，在大學(xué)階段都要做的事情是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)有兩種非常特殊的語(yǔ)言，一個(gè)是符號(hào)語(yǔ)言，一個(gè)是圖形語(yǔ)言。我覺(jué)得他們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)這樣一個(gè)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化強(qiáng)調(diào)的比擬好。就是不著急，先用學(xué)生熟悉的載體去做這種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，為語(yǔ)言的繼續(xù)轉(zhuǎn)化做一個(gè)鋪墊，并且把這樣一種思想貫穿到我們整個(gè)高中的教學(xué)中，就是符號(hào)語(yǔ)言不是說(shuō)一步就能理解的，我們教學(xué)一定不是要把在高中所要用到所有的集合表示都在集合這局部講到位，這是不可能的，也完全沒(méi)有必要。這么做結(jié)果是，集合的東西也沒(méi)有很好地掌握，新加進(jìn)來(lái)的東西也是囫圇吞棗，所以我想，他們這樣一個(gè)設(shè)計(jì)的思考，我覺(jué)得是非常好的，而且是真心實(shí)意地認(rèn)識(shí)到這個(gè)問(wèn)題，就應(yīng)該這樣做，我覺(jué)得這樣的探索對(duì)我們所有進(jìn)入新課程的老師是很有借鑒作用的。我們要根據(jù)我們學(xué)校學(xué)生的特點(diǎn)，老師的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)自己的教學(xué)方案，我們的目的是為了我們的學(xué)生能夠在高中期間獲得一較好的開(kāi)展，我覺(jué)得這樣的思考，是給我們提供的一個(gè)非常重要的借鑒。另外他們?cè)谒伎嫉倪^(guò)程還有一點(diǎn)，就是數(shù)學(xué)在做分類，學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)到哪，都是在進(jìn)行不同的分類。他們利用集合這樣一個(gè)載體，把學(xué)過(guò)的東西，在做一下梳理，我覺(jué)得集合在某種意義上是對(duì)學(xué)過(guò)東西的一個(gè)很好的梳理的平臺(tái)。我們學(xué)過(guò)自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，和一些實(shí)數(shù)。我們學(xué)過(guò)方程，方程的解，學(xué)過(guò)有解的方程，學(xué)過(guò)沒(méi)解的方程，我們總得對(duì)他進(jìn)行一下分類。我們學(xué)過(guò)不等式，我們總要討論這些不等式的解集，如一元一次不等式組的解集，它反響的是什么，是或的關(guān)系還是且的關(guān)系，把它梳理一下。我們還學(xué)了函數(shù)，函數(shù)在什么范圍里有意義，我想也是一個(gè)很好的梳理，這樣把我們學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)做了一個(gè)比擬好的梳理，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定根底。這種梳理又幫助學(xué)生能夠用一種新的語(yǔ)言來(lái)表述這些東西，這樣我想收獲下來(lái)的東西，就遠(yuǎn)比你用一些他不懂的東西來(lái)講新的東西，對(duì)學(xué)生的開(kāi)展要好的多。所以我想，這兩個(gè)功能他們都考慮了。另外我印象還非常深的一件事情，就是他們讓學(xué)生做了一些大作業(yè)，這些作業(yè)我覺(jué)得對(duì)于一個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常受益的。我們要告訴學(xué)生，從高一的學(xué)習(xí)開(kāi)始，你們就要學(xué)會(huì)梳理你學(xué)過(guò)的知識(shí)，你學(xué)過(guò)了集合梳理一些，哪些是新的，哪些是舊的，新的對(duì)舊的有什么影響，我們形成一個(gè)認(rèn)知的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生還查閱了一些資料，查了一些數(shù)學(xué)史的情況，這樣學(xué)生的主動(dòng)性就有了，我相信有一些學(xué)生或許也查到了一些用參變量表示的一些拓展的東西。那是他興趣所在，不是硬逼他去弄的，這樣他的感覺(jué)就完全不一樣了。所以我建議把這一段還要做一個(gè)好好的總結(jié)，比方我們學(xué)生是怎么梳理這局部知識(shí)的，他們板報(bào)的形式是什么樣子，你們都保存下來(lái)，將來(lái)把這些資料在什么時(shí)間展示給我們更多的老師，看看我們?cè)趺礃影褜W(xué)生的主動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來(lái)，我覺(jué)得這件事做的非常好。就讓我們的學(xué)生變得有信心，有興趣，感覺(jué)自己能夠把握自己的命運(yùn)，能夠?qū)W好一些東西，我覺(jué)得這件事情是值得我們認(rèn)真總結(jié)的。另外，我還希望你們接著總結(jié)一件事情，就是我們的老師雖然在教集合的過(guò)程中，對(duì)于這局部的定位已經(jīng)搞清楚了，我們還希望我們19中的老師再繼續(xù)梳理一下，在整個(gè)高中學(xué)習(xí)中，用符號(hào)語(yǔ)言，因?yàn)閹缀问翘厥獾姆?hào)語(yǔ)言，去描述分類的時(shí)候，在哪一個(gè)階段，還需要發(fā)揮他的作用，我想做一個(gè)完整的梳理，就讓老師感覺(jué)，這樣做就更仔細(xì)了。比方說(shuō)剛剛檀老師也總結(jié)了，在我們后面函數(shù)的學(xué)習(xí)中，哪些地方還要用到集合的語(yǔ)言，在函數(shù)的應(yīng)用中哪些地方還用到集合的語(yǔ)言。在必修二，我們?cè)谥v立體幾何的時(shí)候，討論點(diǎn)、線、面的屬于關(guān)系的時(shí)候，包含關(guān)系的時(shí)候，哪些地方要用到集合的語(yǔ)言。講到解析幾何里，我們一個(gè)突出的點(diǎn)，就是平面點(diǎn)集的表示，后來(lái)到必修三，統(tǒng)計(jì)還是要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們還要用到集合的語(yǔ)言。到必修四，我們要學(xué)到數(shù)列，要學(xué)到三角函數(shù)，有三角函數(shù)的特殊點(diǎn)，有三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還有三角函數(shù)的周期等等，都要持續(xù)地用到集合的語(yǔ)言。我們學(xué)到數(shù)列里，又有很多集合語(yǔ)言的載體，到必修五，比方說(shuō)我們學(xué)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，不等式問(wèn)題等等，這些我們都會(huì)不斷地使用集合語(yǔ)言，我們把這些都寫清楚，我想這也是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，等到你們高二的老師，再教這局部?jī)?nèi)容的時(shí)候，大家心里都有數(shù)了，我們就知道，集合語(yǔ)言是需要通過(guò)一個(gè)過(guò)程幫助學(xué)生來(lái)提升符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力的。逐漸把它積淀成為我們學(xué)校教學(xué)的一個(gè)特色，然后我們跟其他學(xué)校進(jìn)行交流，提供別人做一個(gè)借鑒。張：我看兩個(gè)理解，現(xiàn)在的考生，我覺(jué)得這些高考定義在什么位置，就定義在我們現(xiàn)在所講的位置。王：后面一些用集合語(yǔ)言表達(dá)的一些問(wèn)題，我想是非常重要的。有時(shí)候我們編造了很多集合的題目，覺(jué)得實(shí)在意義不是很大，我說(shuō)一個(gè)極端的例子，就是哥德巴赫猜測(cè)，哥德巴赫猜測(cè)是什么呢-------即沒(méi)有這樣的偶數(shù)，它大于等于四，并且不能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和，用集合的語(yǔ)言來(lái)描述是什么問(wèn)題呢？就是這樣一個(gè)集合，偶數(shù)的集合，是大于等于四的偶數(shù)集合，而且不能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的集合，這樣的集合是不是空集，那有什么意義？對(duì)于解決哥德巴赫猜測(cè)沒(méi)有任何意義，所以并不是說(shuō)我們生拉硬套，造出一些帶有參變量的集合的題目解決理解數(shù)學(xué)的一種好方法。數(shù)學(xué)是要把難的東西變得容易，而不是要把容易的東西弄的別人不懂，所以我覺(jué)得19中提供了一個(gè)很好的案例，希望你們繼續(xù)做下去。把這個(gè)寫清楚，將來(lái)我們提供應(yīng)更多的老師作為參考，我們也希望就這些問(wèn)題和老師們有一個(gè)更好的交流，一起來(lái)探索怎么樣教好集合這一局部的內(nèi)容。張：好！在這個(gè)案例里面整體的把握課程，對(duì)于一個(gè)基層老師來(lái)說(shuō)，是做好教學(xué)設(shè)計(jì)的前提，為了使大家對(duì)于我們高中新課程中具體的主線、能力有一個(gè)比擬清楚的層次，我們下面請(qǐng)兩位老師來(lái)具體的對(duì)六條主線，逐一進(jìn)行一個(gè)分析，我們先請(qǐng)張老師對(duì)于函數(shù)主線做一個(gè)介紹和分析。張：函數(shù)這個(gè)概念，現(xiàn)在變成是數(shù)學(xué)一個(gè)中心概念，它現(xiàn)在越來(lái)越成為數(shù)學(xué)里不可缺的一局部，過(guò)去我們?cè)谥袑W(xué)里面，在我們的念書的時(shí)候，那個(gè)時(shí)候是50年代或者是60年代，那個(gè)時(shí)候中學(xué)是以方程為主線，是以計(jì)算求解方程為主線的，但是，隨著時(shí)代的變化，克萊因提出來(lái)函數(shù)概念以后，就把函數(shù)這樣變量之間的依賴關(guān)系成了我們整個(gè)的數(shù)學(xué)教育的一條主線，這個(gè)概念，在小學(xué)的時(shí)候的就開(kāi)始有所滲透，然后是到了初中以后，我們給出了變量和變量依賴關(guān)系這種概念，然后到了我們高中，是必修第一冊(cè)的一開(kāi)始就要學(xué)、要掌握的概念，我們是要求通過(guò)大量的具體事例讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)這個(gè)概念。從概念上來(lái)說(shuō)我們首先對(duì)這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)是一步一步深化過(guò)來(lái)的，我們特別強(qiáng)調(diào)這樣變量依賴的關(guān)系，特別對(duì)我們的高中階段是一個(gè)核心的內(nèi)容，然后到最后我們把它抽象設(shè)置為映射這種概念，這樣一種概念開(kāi)展，實(shí)際上我們知道這個(gè)概念一直到大學(xué)來(lái)開(kāi)展，都始終是一個(gè)核心概念。王：到中學(xué)階段，還需要強(qiáng)化對(duì)函數(shù)圖形的認(rèn)識(shí)，函數(shù)圖形是一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，給定一個(gè)函數(shù)圖形就是等于給了一個(gè)函數(shù)，什么叫相同的函數(shù)呢？就是意味函數(shù)圖形應(yīng)該是重合的，所以我想剛剛張老師給我們表達(dá)了三個(gè)根本概念，理解的角度，一個(gè)是變量的依賴關(guān)系，一個(gè)是用映射來(lái)刻劃這個(gè)我們所謂抽象的函數(shù)定義，再有一個(gè)就是函數(shù)圖形。張：這樣一種概念實(shí)際上到了后來(lái)的大學(xué)里面，除了咱們學(xué)的分析外，實(shí)變、復(fù)變、包括泛函、算子就是這個(gè)概念一系列來(lái)講，始終是數(shù)學(xué)里一個(gè)核心概念，而且在中學(xué)里面，我們學(xué)了很多很多都是和這個(gè)概念密切聯(lián)系的，比方說(shuō)我們?cè)诳紤]不等式的時(shí)候，在我們討論方程的時(shí)候，在我們討論計(jì)算的時(shí)候，算法里的賦值變量，在概率隨機(jī)變量，包括我們像線性規(guī)劃這個(gè)多元函數(shù)，就是說(shuō)我們?cè)谥袑W(xué)里涉及到的幾乎都離不開(kāi)函數(shù)，都和我們的函數(shù)緊密相關(guān)的，包括我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，圖形的認(rèn)識(shí)，作為函數(shù)始終貫穿始終，而且所有的概念幾乎都跟它有緊密聯(lián)系，有些東西雖然我們不一定很明確，但是它都暗含著思想。給了兩點(diǎn)求距離，就是這些東西幾何里面都滲著函數(shù)這個(gè)概念。給了一個(gè)幾何體求體積等等都有這種概念。所以函數(shù)始終是我們一條非常重要的概念，所以我們?cè)谶@里面要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，對(duì)函數(shù)應(yīng)用的研究，我們對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究也始終是我們?cè)谶@里面，我們大概是從我們?cè)诟咧衼?lái)說(shuō)，一個(gè)是代數(shù)法開(kāi)始，我們討論函數(shù)單調(diào)性，討論函數(shù)的周期性。然后到了微積分時(shí)候，我們開(kāi)始用導(dǎo)數(shù)方法再來(lái)研究，研究函數(shù)本身的變化和性質(zhì)，然后是函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)應(yīng)用的問(wèn)題也是非常非常廣的，它既有在數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部的應(yīng)用，比方說(shuō)它處理一些函數(shù)極值問(wèn)題，二分法的解方程問(wèn)題，解不等式的問(wèn)題等。在數(shù)學(xué)有大量的應(yīng)用，另外有凸顯它的實(shí)力。我們過(guò)去在中學(xué)里，對(duì)函數(shù)的應(yīng)用是比擬欠缺的，現(xiàn)在隨著數(shù)學(xué)建模等對(duì)應(yīng)用的強(qiáng)調(diào)，函數(shù)的應(yīng)用被放在一個(gè)非常突出的地位。也就是說(shuō)把函數(shù)作為一個(gè)模型來(lái)討論，這樣的一種思想，就使得我覺(jué)得我們這次高中里頭，把函數(shù)這樣一個(gè)東西整體的思想，函數(shù)的模型的思想都凸顯出來(lái)，和以前就事兒論事兒講一個(gè)東西相比有很大的不一樣。王：其實(shí)剛剛張老師說(shuō)的很清楚，那么在高中階段對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，有四個(gè)重要的緯度，第一個(gè)就是概念的緯度，從對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，剛剛張老師幫我們總結(jié)了三個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)，從依賴關(guān)系、從圖形、從一個(gè)嚴(yán)格映射定義，我們不是只滿足對(duì)一個(gè)角度的認(rèn)識(shí)，而是全方位的認(rèn)識(shí)，我覺(jué)得剛剛張老師提到我們?cè)诟咧须A段要強(qiáng)調(diào)模型，我們要千方百計(jì)把一批模型放在學(xué)生的腦子里，這一批模型包括什么呢？包括我們通常所說(shuō)的簡(jiǎn)單的冪函數(shù)，冪函數(shù)又包括我們通常所說(shuō)的y=x以及y=x拓展，就是y=kx+b這樣的線性函數(shù)的認(rèn)識(shí)和二次函數(shù)，我們是從y=x2出發(fā)來(lái)研究二次函數(shù)的，而y=x2是最簡(jiǎn)單的冪函數(shù)，拓展到y(tǒng)=ax2+bx+c這樣的一個(gè)模型的認(rèn)識(shí)，這樣我們就比擬完整的把初中對(duì)一元二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)提升到一個(gè)一般的認(rèn)識(shí)，然后還有一個(gè)y=x3還有我們所謂反比例函數(shù)的一個(gè)拓展，因?yàn)橛蓎=x-1我們拓展到y(tǒng)=a/x這樣的一個(gè)模式。當(dāng)然我們還需要討論一個(gè)特殊的，就是通常我們說(shuō)的，這些都是簡(jiǎn)單冪函數(shù)的一個(gè)拓展，我想對(duì)于冪函數(shù)我們沒(méi)有必要在這個(gè)根底上再做拓展。張：不要把一般的冪函數(shù)的內(nèi)容再做拓展了。王：對(duì)，這是一類函數(shù)，第二類函數(shù)就是我們通常所說(shuō)的，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之所以重要，我想不僅僅是它本身，更重要的是它告訴我們兩種非常重要的變化趨勢(shì)。大家想象對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)非常慢，非常緩慢。但是它在增長(zhǎng)，他比多項(xiàng)函數(shù)要慢，而指數(shù)函數(shù)是增長(zhǎng)非?？斓?，我說(shuō)當(dāng)a>1的時(shí)候，那么它的變化非常迅速，這樣一種變化趨勢(shì)，在我們將來(lái)的學(xué)習(xí)中，是刻畫自然界變化規(guī)律的最根本的模型，因此，通常我們也把指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)稱之為根本初等函數(shù)。另外我們還有一類是周期函數(shù)，特別是三角函數(shù)，作為特殊的周期函數(shù)，它在我們整個(gè)的高中課程中占有一個(gè)明顯的位置，我希望我們老師應(yīng)該看到這樣一個(gè)變化，在我念書的時(shí)候，主要講的不是三角函數(shù)，而是三角，主要是講的是三角形中的邊角關(guān)系，但是現(xiàn)在發(fā)生了變化，重心做了轉(zhuǎn)移，我們是以研究三角函數(shù)為主的一個(gè)課程設(shè)計(jì)，當(dāng)然也包括對(duì)于三角恒等變換或者叫三角運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。所以我覺(jué)得這樣一種變化我們老師應(yīng)該清楚！張：那您提到這幾類非常具體的函數(shù)跟原來(lái)根本是一樣的。但初中還涉及到一些具體的比方說(shuō)我們這次提的比擬多的例子---分段函數(shù)，還有像數(shù)列，我們也把它歸納為一種離散函數(shù)。王：當(dāng)然具體的說(shuō)有等差數(shù)列，等比數(shù)列等，這些實(shí)際上是我們要在學(xué)生腦子里擱住的，它是作為我們思考任何函數(shù)問(wèn)題的根底的函數(shù)模型，所以我覺(jué)得這是張老師總結(jié)的第二個(gè)方面，第三個(gè)方面張老師特別給我們總結(jié)了就是研究函數(shù)的根本方法，在高中階段有兩種，一種是代數(shù)法，通過(guò)運(yùn)算來(lái)探索函數(shù)的性質(zhì)，來(lái)探索函數(shù)的應(yīng)用，包括我們說(shuō)的數(shù)的運(yùn)算、多樣式的運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算，它在我們研究函數(shù)中都會(huì)發(fā)揮作用，這是一種根本的方法，也是學(xué)生必須認(rèn)真掌握的方法。另外一種方法就是我們通常所說(shuō)微積分的方法，利用變化率來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)的變化，這是一個(gè)新的角度，這也是牛頓微積分一個(gè)核心的內(nèi)容。那么，第四個(gè)方面張老師剛剛不斷強(qiáng)化的就是函數(shù)的應(yīng)用。張：這一點(diǎn)好象是我們這次課程特別突出的一局部，函數(shù)是一個(gè)工具來(lái)解決問(wèn)題。王：包括函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，怎么樣用函數(shù)來(lái)看待方程，我們提出了二分法。怎么樣用函數(shù)來(lái)研究不等式，研究一元二次不等式，我們又提出了一元二次不等式的問(wèn)題。那么又有線性規(guī)劃問(wèn)題，本質(zhì)上說(shuō)它是一個(gè)二次函數(shù)極值問(wèn)題，我們又用函數(shù)去研究數(shù)列，我們又用函數(shù)去研究隨機(jī)現(xiàn)象，所以我們就建立了隨機(jī)變量。我們又用函數(shù)去研究算法，在算法中非常重要的是所謂循環(huán)變量，那么這種變量應(yīng)該怎么刻畫？所以用函數(shù)來(lái)研究數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題，應(yīng)該是老師非常關(guān)注的一個(gè)脈絡(luò)，再有就是函數(shù)在解決其他學(xué)科和日常生活中問(wèn)題的作用，那么我想這一點(diǎn)我們分了三個(gè)層次。張：第一個(gè)是特別希望能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)函數(shù)模型，這是第一個(gè)層次。王：就是能用函數(shù)的語(yǔ)言去描述實(shí)際問(wèn)題，這個(gè)我覺(jué)得是某種意義上說(shuō)明我們符號(hào)語(yǔ)言的重要性。張：這個(gè)也是我們以前比擬欠缺的東西，我們過(guò)去是給定了一個(gè)函數(shù)的模型，然后利用它來(lái)研究、解決，就有點(diǎn)像過(guò)去的應(yīng)用題，就是前面說(shuō)的，把實(shí)際問(wèn)題用函數(shù)來(lái)描述這個(gè)過(guò)程是需要強(qiáng)調(diào)的！還有一個(gè)就是說(shuō)真正套用。這也是很重要的環(huán)節(jié)！張：它有一個(gè)識(shí)別的功能，知道這個(gè)模型是這個(gè)函數(shù)。王：我記得思明做過(guò)一個(gè)研究，就是在我們老百姓的經(jīng)濟(jì)生活中，用到的數(shù)學(xué)模型根本上是等差數(shù)列和等比數(shù)列，個(gè)別有一點(diǎn)混合用了，那么這就說(shuō)明我們需要用我們學(xué)到的等比數(shù)列，去刻畫復(fù)利問(wèn)題，等差數(shù)列去刻畫沒(méi)有復(fù)利的存款問(wèn)題，貸款問(wèn)題等等！這是第二個(gè)階段，第三個(gè)階段就是張老師說(shuō)的，函數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要模型，所以我們也希望讓學(xué)生經(jīng)歷一下數(shù)學(xué)建模這個(gè)根本過(guò)程，我們?cè)谶@次培訓(xùn)中有專門一個(gè)專題要討論數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究，在那個(gè)專題里要詳細(xì)說(shuō)明數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的意義和作用，以及如何操作。張：兩位老師的分析比方說(shuō)兩位都提到了研究函數(shù)的工具，過(guò)去我們認(rèn)識(shí)比擬窄，比擬強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的工具，總是把這個(gè)工具限定在求函數(shù)值，研究的單調(diào)性就作差等，不斷的練習(xí)，這些東西在學(xué)習(xí)的過(guò)程中開(kāi)始是非常重要的，但是如果我們忘記了還有其他研究函數(shù)的工具的時(shí)候，比方微積分工具的時(shí)候，我們就會(huì)把前面的作用夸大，把它難度就提高了。如果我們整體看到函數(shù)、看到工具的開(kāi)展，包括微積分也是一種函數(shù)的表現(xiàn)，同時(shí)為研究函數(shù)提供的工具的話，就可能減少前面的難度和訓(xùn)練不必要，就能提高效率。王：這就是一個(gè)整體的把握。張：包括值域的求法，你要能夠知道后面我們學(xué)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，給出一種通性通法，只要把函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)把極值求出來(lái)的話，因?yàn)槲覀兒瘮?shù)一般都是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，把連續(xù)函數(shù)的極值求出來(lái)，最大值、最小值求出來(lái)，它的值域就出來(lái)了，分段一求并就出來(lái)了，那么就不會(huì)在前面用八種方法、十種方法來(lái)討論各種各樣的值域的求法，到整體來(lái)把握這個(gè)問(wèn)題，來(lái)認(rèn)識(shí)我們的工具，就知道什么地方是重點(diǎn)，什么是通性通法，什么是我們不應(yīng)該過(guò)分強(qiáng)調(diào)的。王：我想從函數(shù)本身來(lái)說(shuō)，一個(gè)整體的把握就能使我們更好的提高我們教學(xué)的有效性，強(qiáng)調(diào)教學(xué)的效率，有的時(shí)候后面還要講的東西，那你在前面就要適度，你有一個(gè)照應(yīng)和一個(gè)整體把握，你就知道什么時(shí)候我教到什么程度，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是容易理解的，也得有效。那么，我們后續(xù)怎么跟上，我想這些東西呢，包括對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，我想一步到位都不是一件科學(xué)的事情，也不能是一步到位！隨著后面我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，我們還會(huì)不斷的去認(rèn)識(shí)，另外即或到大學(xué)我們還需要繼續(xù)去研究函數(shù)，去認(rèn)識(shí)函數(shù)。張：你比方像函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)，比方單調(diào)性，其實(shí)單調(diào)性沒(méi)什么，就是這個(gè)一減的問(wèn)題，那奇偶性你看把戲很多，實(shí)際上單調(diào)性才是真正重要的，是函數(shù)變化的，正是有了單調(diào)性后面我們才討論極值的問(wèn)題，才有了單調(diào)。我們的極值就是依賴單調(diào)性，所以它的廣泛應(yīng)用非常非常重要，相反奇偶性問(wèn)題雖然有一定的意義，他有一定圖形的對(duì)稱性，但是它依賴于坐標(biāo)的選擇，相比之下，像這樣的東西要整體來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、整體把握數(shù)學(xué)就能清楚這個(gè)概念為什么重要。張：重要的是度，就知道它彼此之間看上去都不一樣，其實(shí)在發(fā)揮作用上范圍是一樣的。王：這里面有一個(gè)對(duì)中學(xué)研究函數(shù)的定位，實(shí)際上在中學(xué)階段，我們有幾個(gè)前提，首先我們研究的都是好函數(shù)，也就是說(shuō)除了個(gè)別分段函數(shù)以外，我們研究的都是所謂連續(xù)的，可導(dǎo)的，光滑的好函數(shù)，即或是在大學(xué)數(shù)學(xué)分析里，我們也是以研究好函數(shù)為主。所以我們沒(méi)有必要去設(shè)計(jì)一些曲形的函數(shù)，完全沒(méi)有必要。第二個(gè)定位，就是我們的函數(shù)在中學(xué)階段，只考慮它的形狀，而單調(diào)性根本揭示它的形狀，單調(diào)上升，單調(diào)下降，把這個(gè)函數(shù)變化根本的形狀就勾勒出來(lái)了。那么，第三個(gè)我覺(jué)得很重要的在中學(xué)需要弄清的就是周期，因?yàn)槲覀冊(cè)谡J(rèn)識(shí)世界中無(wú)論是從宏觀還是從微觀，周期概念都是非常重要的概念。因此，我想這些中學(xué)的大定位我們要把握住，那么我們就知道什么是主要的，什么是知微末節(jié)的，當(dāng)然我知道我們能體會(huì)老師對(duì)考試擔(dān)憂，我想隨著課程的不斷開(kāi)展，命題者也在思考這個(gè)問(wèn)題，怎么考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，怎么去考察學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)能力，所以我覺(jué)得所有大家思考的方向是一致的，即或在個(gè)別問(wèn)題上有點(diǎn)出入，一定不會(huì)干擾主流。所以我們考試大綱里，連篇累牘地強(qiáng)調(diào)通性通法，我想這些都是我們需要的，大家一起來(lái)關(guān)注，才能使得我們中國(guó)的數(shù)學(xué)教育沿著健康的軌道去開(kāi)展，所以這件事兒，是我們認(rèn)真的思考。張：兩位老師以函數(shù)主線的分析給我們做了一個(gè)例子，上我們看到了分析函數(shù)主線這個(gè)過(guò)程，是由概念、具體的函數(shù)模型、函數(shù)的應(yīng)用、研究函數(shù)的工具，這四個(gè)角度進(jìn)行了分析，而且也給我們看到了整體把握函數(shù)概念，對(duì)于認(rèn)識(shí)課程內(nèi)容、認(rèn)識(shí)課程內(nèi)容深化的過(guò)程是很有幫助的。那么，在下一節(jié)課里，我們還將請(qǐng)兩位老師繼續(xù)就其他的五條主線進(jìn)行分析，謝謝大家的參與，我們希望大家在下節(jié)課見(jiàn)面。專題二如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程——高中數(shù)學(xué)課程主線分析第二講張〔張思明北大附中數(shù)學(xué)特級(jí)教師〕：各位老師大家好，歡送各位老師繼續(xù)參加高中數(shù)學(xué)新課程國(guó)家級(jí)遠(yuǎn)程培訓(xùn)，在上節(jié)課里，我們對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的主線之一--函數(shù)進(jìn)行了一個(gè)比擬細(xì)致的分析，在這講里，我們將繼續(xù)對(duì)其他的幾條主線進(jìn)行分析，那好我們首先先請(qǐng)王老師，對(duì)于運(yùn)算這條主線進(jìn)行一下分析。王老師〔王尚志首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授〕：上一講張老師對(duì)于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)課程中的位置進(jìn)行了分析，那么我先對(duì)于運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)課程中的位置做一個(gè)簡(jiǎn)單的分析，提供應(yīng)各位老師做一個(gè)參考。大家知道運(yùn)算始終是數(shù)學(xué)課程最根本的內(nèi)容，也是最根本的能力，我們?cè)谛W(xué)階段學(xué)習(xí)了數(shù)的運(yùn)算，初中階段，我們完整的理解了有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，或者初步的理解了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，我們又引入了代數(shù)式的運(yùn)算，并且利用這種運(yùn)算去研究方程、函數(shù)、不等式等等，那么我們可以看出運(yùn)算的作用，我想在小學(xué)初中運(yùn)算的這些作用，沒(méi)有結(jié)束，在高中課程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，仍然在發(fā)揮作用，因此我想提醒老師注意的第一個(gè)問(wèn)題是，無(wú)論學(xué)生在初中和小學(xué)階段運(yùn)算學(xué)到什么程度，我們高中的老師都有責(zé)任幫助他們繼續(xù)提升和培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力，因此在高中階段我們應(yīng)該有意識(shí)的幫助學(xué)生培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力，提升他們的運(yùn)算能力。下面我來(lái)分析一下高中運(yùn)算的主要內(nèi)容，在高中階段，除了會(huì)不斷的使用多項(xiàng)式運(yùn)算和數(shù)的運(yùn)算之外，我們又引入了一些新的運(yùn)算對(duì)象，其中特別突出的就是指數(shù)運(yùn)算，就是，還有相應(yīng)的一些指數(shù)運(yùn)算的法那么，比方說(shuō)，等等。老師都應(yīng)該知道，我說(shuō)的第一個(gè)性質(zhì)，是指數(shù)運(yùn)算最根本的性質(zhì)，當(dāng)然我們不要去推導(dǎo)，后面是怎么從前面推導(dǎo)出來(lái)的，我想這是一個(gè)重要的運(yùn)算的載體，這個(gè)運(yùn)算的載體會(huì)滲透在我們對(duì)于很多問(wèn)題的思考過(guò)程中。同時(shí)我們還會(huì)利用這種運(yùn)算，去研究指數(shù)函數(shù)，另外一個(gè)運(yùn)算的載體就是對(duì)數(shù)函數(shù)，它和指數(shù)函數(shù)是相對(duì)應(yīng)的，我就不重復(fù)了。指數(shù)函數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算，在我們高中的學(xué)習(xí)中碰到的新的運(yùn)算載體，那么到了必修4的課程里面，我們還會(huì)學(xué)習(xí)另外一些運(yùn)算規(guī)那么，就是我們傳統(tǒng)說(shuō)的三角函數(shù)的很多背景，實(shí)際上我們也何以把它看作一種運(yùn)算，比方說(shuō)明等等，我們既可以把它看作公式，也是一種運(yùn)算的法那么，在三角函數(shù)研究過(guò)程中，這種法那么常常會(huì)起作用，當(dāng)然我們可以告訴老師在高中階段，三角函數(shù)運(yùn)算法那么的作用，發(fā)揮的不是特別的重要，到了大學(xué)的學(xué)習(xí)，特別研究三角級(jí)數(shù)的時(shí)候，這些運(yùn)算法那么才會(huì)真正的發(fā)揮作用，我想我們學(xué)到的指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算，如果從運(yùn)算的角度來(lái)說(shuō)，我希望我們的老師應(yīng)該清楚，這些運(yùn)算和我們所學(xué)過(guò)數(shù)的運(yùn)算和多項(xiàng)式的運(yùn)算有一些不同，通常我們?cè)跀?shù)學(xué)里叫它做非線性運(yùn)算，這些運(yùn)算的掌握是提升我們學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體。除了這個(gè)載體，在高中階段還有一個(gè)非常非常重要的運(yùn)算載體，就是向量，二維向量和三維向量，它提供了我們非常豐富的運(yùn)算的內(nèi)涵，它不僅有向量的加法，向量的數(shù)乘，還有向量的點(diǎn)乘，將來(lái)還會(huì)學(xué)習(xí)向量的其他運(yùn)算形式。所以向量的運(yùn)算給我們整個(gè)的對(duì)運(yùn)算的理解帶來(lái)了一個(gè)新的面孔，這一點(diǎn)在大學(xué)一年級(jí)的課程中，給予足夠的照應(yīng)，也就是說(shuō)我們?cè)诖髮W(xué)一年級(jí)所學(xué)的線性代數(shù)中所要學(xué)到的線性空間的概念，實(shí)際上就是向量運(yùn)算概念的一個(gè)直接的拓展，我們不僅要重視向量的運(yùn)算，還要重視向量運(yùn)算的意義，特別是它的幾何意義和它的物理背景，向量每一個(gè)運(yùn)算，都有著它明確的幾何意義。比方說(shuō)我們?cè)趲缀沃幸芯康闹饕獑?wèn)題是直線型的平行與垂直，判定垂直的主要應(yīng)用了向量的點(diǎn)乘是不是等于零，判斷平行的主要使用共線問(wèn)題。所以我想向量作為一種新的運(yùn)算載體，對(duì)我們整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用是非常重要的。這是我們所說(shuō)的運(yùn)算的載體。張老師〔張飴慈首都師范大學(xué)教授〕：我想對(duì)我們中學(xué)來(lái)說(shuō)向量是非常重要的，它的運(yùn)算是用幾何的平行四邊形來(lái)做，但是它運(yùn)算的規(guī)律卻同我們過(guò)去的很相像，這個(gè)非常困難。除了這個(gè)以外，在我們中學(xué)里面還有幾個(gè)重要的運(yùn)算，一個(gè)就是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，還有就是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，兩個(gè)相乘的導(dǎo)數(shù)、兩個(gè)相除的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。所以，運(yùn)算始終是我們高中的一個(gè)主線，一個(gè)人的運(yùn)算能力反映了他思維清楚不清楚，我們常說(shuō)培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力，實(shí)際上這個(gè)運(yùn)算的本身也很反映這個(gè)問(wèn)題，所以運(yùn)算的能力的培養(yǎng)始終是我們關(guān)注的問(wèn)題，數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力，所謂簡(jiǎn)化的思維對(duì)他的做問(wèn)題的正確能夠有意義，另外要關(guān)注運(yùn)算的背景，向量的幾何背景，向量的物理背景，兩個(gè)向量的和--力，向量的內(nèi)積就是做功等。只有關(guān)注運(yùn)算的背景，才能知道這個(gè)運(yùn)算法那么為什么會(huì)這樣。王老師：從運(yùn)算的角度里我們要去理解數(shù)形結(jié)合，將來(lái)我們?cè)購(gòu)膱D形的角度，又要從另外一個(gè)角度來(lái)理解數(shù)形結(jié)合，這是運(yùn)算的載體，另外我們必須認(rèn)識(shí)，運(yùn)算的作用不僅僅限于這些載體，更重要的是運(yùn)用我們所學(xué)過(guò)的運(yùn)算，綜合的使用去解決某些問(wèn)題。比方說(shuō)研究函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，研究線性規(guī)劃問(wèn)題，研究很多的問(wèn)題，計(jì)數(shù)問(wèn)題，二項(xiàng)式定理，可能都需要用。所有這些都是運(yùn)算的一個(gè)直接應(yīng)用。所以，我想學(xué)生運(yùn)算能力的提升，我們應(yīng)該采取一種整體的管理，這是我們高中三年的根本任務(wù)，不是一次課、兩次課能解決的問(wèn)題，而是持續(xù)下來(lái)的問(wèn)題，很多技能都是通過(guò)對(duì)某種運(yùn)算總結(jié)，比方說(shuō)配方法、消元法，都是特定的一系列運(yùn)算步驟形成的一種固定的方法。張老師：算法里的二分法求方程的解。王老師：所以對(duì)于運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，我覺(jué)得可能是最重要的。我個(gè)人的觀點(diǎn)，覺(jué)得在高中所有的這些能力中，我們第一位要重視的是計(jì)算能力，當(dāng)然我不是說(shuō)無(wú)視其他的能力。我們要幫助學(xué)生，要會(huì)算，要算的比擬正確，要算的正確，這種能力的培養(yǎng)，我們老師要把它始終作為教學(xué)的一個(gè)基點(diǎn)。所以，我這兒提出一個(gè)問(wèn)題供老師參考，你的學(xué)生在計(jì)算上還有哪些問(wèn)題，反映在哪些地方，你有什么好的經(jīng)驗(yàn)去克服這些問(wèn)題？我想這個(gè)是我們這次研修活動(dòng)希望和老師一起研究的一個(gè)問(wèn)題。下面是北京市海淀區(qū)十九中的老師帶來(lái)的案例：張：各位老師大家好，這里我先向大家介紹兩位一線的老師，我身邊這位，是北京市海淀區(qū)第十九中譚晉軒老師，〔檀晉軒：北京十九中高級(jí)教師〕這邊是同一學(xué)校的王肖華老師〔王肖華：北京十九中區(qū)骨干教師〕。兩位老師都是海淀區(qū)優(yōu)秀的青年骨干教師，這次請(qǐng)他們來(lái)，想就整體把握高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)很有必要討論的問(wèn)題---就是怎么樣從整體上看待學(xué)生能力的開(kāi)展，我們想就這個(gè)問(wèn)題聽(tīng)聽(tīng)來(lái)自一線老師給我們提供的一些案例。檀老師：從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)看，應(yīng)該說(shuō)運(yùn)算是一個(gè)很重要的很核心的一個(gè)能力問(wèn)題。在這一點(diǎn)上，我們?cè)诩w備課過(guò)程中，做過(guò)從五個(gè)模塊的整體的梳理，下面請(qǐng)王肖華老師給我們簡(jiǎn)單介紹一下我們梳理的結(jié)果。王：剛剛譚老師已經(jīng)介紹了，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，計(jì)算能力是學(xué)生必須具備的一個(gè)非常重要的能力之一。針對(duì)前一學(xué)段，我們?cè)诒匦弈K學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算能力方面，存在很多問(wèn)題，具體在以下幾大方面，首先是函數(shù)局部，第二是數(shù)列局部，第三是不等式，還有向量，立體幾何和解析幾何局部，下面針對(duì)在必修模塊當(dāng)中，每一局部學(xué)生在計(jì)算能力方面存在一些問(wèn)題，具體簡(jiǎn)單做一下說(shuō)明。首先在必修一模塊當(dāng)中，函數(shù)局部，討論函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性，在等價(jià)變形過(guò)程當(dāng)中學(xué)生存在不知道如何去等價(jià)變形，去因式分解，再就是待定系數(shù)法求一元二次函數(shù)的解析式，怎么利用初中所學(xué)到消元的思想，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解，這個(gè)消元的思想，以及解方程的能力，有的同學(xué)參差不齊。第三點(diǎn)是關(guān)于求指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域，及相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。學(xué)生在給定相關(guān)的一元二次方程，如何來(lái)利用配方來(lái)求最值，如何利用整體代換的思想來(lái)求方程，以及如何針對(duì)方程當(dāng)中所隱含的，根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義隱藏的條件如何必修二模塊當(dāng)中，利用空間幾何局部，空間幾何局部主要涉及到計(jì)算空間幾何體的面積和體積的問(wèn)題，這局部主要培養(yǎng)學(xué)生也是訓(xùn)練計(jì)算能力，在這里涉及到柱、錐、臺(tái)、球它的面積和體積問(wèn)題，在這里如何來(lái)借助一些特殊的截面把立體幾何圖形轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形，盡而借助于直角三角形的勾股定理來(lái)構(gòu)造方程，進(jìn)而來(lái)求解，這個(gè)過(guò)程很多同學(xué)存在一些問(wèn)題，以及如何利用公式中的變量，把變量看作一些未知數(shù)，這是一個(gè)等式來(lái)列方程，然后求解，學(xué)生存在不同的問(wèn)題。在必修四模塊當(dāng)中，根本初等函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題當(dāng)中同角三角函數(shù)兩個(gè)根本關(guān)系式，，這兩個(gè)關(guān)系式的應(yīng)用問(wèn)題存在很多問(wèn)題。因?yàn)檫@兩個(gè)最根本的關(guān)系式組合在一起，會(huì)形成一個(gè)把作為一個(gè)整體，整體代換的思想在這個(gè)前提條件下，會(huì)形成二元二次方程組，這一塊如何在利用消元的思想，把二元二次方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解的問(wèn)題，化簡(jiǎn)這一塊就存在很多問(wèn)題。第二點(diǎn)，是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及它圖象的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這一塊其實(shí)存在很多問(wèn)題，比方，給定一個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的一個(gè)函數(shù)，，求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值，以及在取得最值的時(shí)候自變量x值的集合，首先是整體代換的思想，把sinx作為一個(gè)整體未知數(shù)，在如何來(lái)進(jìn)行配方這一塊學(xué)生存在一定的問(wèn)題，以及配方完了以后，根據(jù)正弦函數(shù)本身的特性--周期性，如何來(lái)求自變量X的集合，這一塊也存在一系列的問(wèn)題。第三個(gè)問(wèn)題是三角函數(shù)當(dāng)中，不等式求解的廣泛應(yīng)用，比方求函數(shù)的定域，值域，單調(diào)區(qū)間，比擬大小，以及與三角函數(shù)有關(guān)的不等式的求解等等很多方面。比方求函數(shù)的定義域問(wèn)題，還有求函數(shù)的最值，以及對(duì)應(yīng)的自變量x的集合，還有求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間等等一系列問(wèn)題都需要學(xué)生都具備不等式求解的能力，以及如何來(lái)利用三角函數(shù)的性質(zhì)--周期性，來(lái)進(jìn)行相關(guān)的求解問(wèn)題。在必修五模塊當(dāng)中，解三角形涉及到正余弦定理，這兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用及鄉(xiāng)相互轉(zhuǎn)化邊角之間的相互轉(zhuǎn)換，以及它的實(shí)際應(yīng)用。這里主要是方程，如何把公式當(dāng)中的變量其中幾個(gè)，未知幾個(gè)，是一個(gè)方程的問(wèn)題。張：知三求二，就是哪些能解，哪些不能解，這里包括很多過(guò)去的知識(shí)，有一些過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)。王：比方兩邊，及其一邊所對(duì)的角，利用余弦定理也可以求相應(yīng)的問(wèn)題，這個(gè)最終都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的求解問(wèn)題，這是在初中的時(shí)候?qū)W生必須要具備的。在必修五模塊當(dāng)中第二局部---數(shù)列局部。在這局部中方程的思想貫穿著整個(gè)數(shù)列這一章。因?yàn)閿?shù)列這一局部的公式特別多，公式這里有一個(gè)變量，這個(gè)變量也是一個(gè)方程。比方在等差數(shù)列求和當(dāng)中，知道了首項(xiàng)，知道了公差，知道了和，求項(xiàng)數(shù)的問(wèn)題，就會(huì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于n的一元二次方程求解的問(wèn)題。第二方面就是平方差與立方差公式在等比數(shù)列當(dāng)中的廣泛應(yīng)用。在等比數(shù)列當(dāng)中，很多涉及到高次方程。在高次方程中如何把高次的利用整體的思想轉(zhuǎn)化成低次的，這里很多需要利用平方差公式和立方差公式進(jìn)行分解，最后直接或者間接轉(zhuǎn)化成一元一次方程，或者一元二次方程來(lái)求解，因式分解這一塊學(xué)生存在很多的問(wèn)題。再就是等差數(shù)列中求最值，依然用到了配方法，也可以利用不等式求最值。在不等式局部，作差比擬，在等價(jià)變形的過(guò)程中涉及到因式分解，還有配方來(lái)確定符號(hào)，因式分解和配方這局部學(xué)生也存在一些問(wèn)題。在遇見(jiàn)二次不等式的求解，尤其是含參數(shù)的求定義域等等，那么對(duì)于給定的一個(gè)關(guān)于x的方程，比方說(shuō)mx2-〔1-m〕x+m=0，涉及到二次項(xiàng)的系數(shù)為一個(gè)參數(shù)的時(shí)候，首先要對(duì)這個(gè)參數(shù)要進(jìn)行討論，即分類討論的思想，但是他說(shuō)這個(gè)方程有兩個(gè)正實(shí)根，有的學(xué)生對(duì)于判別式與兩個(gè)正實(shí)根之間的關(guān)系不太清楚，還有針對(duì)根系關(guān)系也不清楚，這個(gè)也是初中教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師比擬淡化的一點(diǎn)，有的學(xué)生不太清楚，所以存在一些問(wèn)題。綜合上面的必修一到必修五我們前一學(xué)段所學(xué)的知識(shí)，有聯(lián)系的一些主要問(wèn)題有以下三個(gè)方面。首先是配方法，在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中的地位和作用。第二點(diǎn)是學(xué)生具備方程的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重要性。第三點(diǎn)是不等式在高中數(shù)學(xué)各個(gè)模塊當(dāng)中的地位和作用。針對(duì)這三點(diǎn)，我們著重來(lái)談一下我們學(xué)校在處理學(xué)生具備方程的思想和解方程能力這一局部，在不同的模塊當(dāng)中所處理的一些具體的情況以及我們的定位。首先，必修一模塊當(dāng)中，待定系數(shù)法求一元二次函數(shù)解析式，列方程、解方程組。這個(gè)因?yàn)樵诔踔袑W(xué)生具備了消元的思想，但是他們只具備一元二次方程，或者是二元一次方程組的求解，在解二元一次方程組的時(shí)候，學(xué)生只知道一個(gè)消元的思想。在這個(gè)根底上，在給定求一元二次函數(shù)解析式是一個(gè)列完方程組以后是一個(gè)三元一次方程組，我們?cè)趯W(xué)生知道消元思想這個(gè)根底上，如果把三元轉(zhuǎn)化成二元，再進(jìn)行消元思想把二成轉(zhuǎn)化成一元，這一塊繼續(xù)強(qiáng)化和加深學(xué)生對(duì)消元思想的理解。在必修四當(dāng)中，我們剛剛說(shuō)了同角三角函數(shù)兩個(gè)根本關(guān)系式，在與這兩個(gè)根本關(guān)系式相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)消元思想繼續(xù)強(qiáng)化消元思想，在消元過(guò)程當(dāng)中，我們還給學(xué)生繼續(xù)強(qiáng)化了整體代換的思想，同時(shí)在幫助學(xué)生處理化簡(jiǎn)變成一元二次方程這個(gè)過(guò)程給學(xué)生強(qiáng)調(diào)了很多，因?yàn)橛械膶W(xué)生知道去消元，但是他不知道怎么具體地去消元最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)與或者有關(guān)的一元二次方程。在這個(gè)根底上，有的同學(xué)在求解這一局部還比擬欠缺，在初中有的學(xué)生，如果知道有公式法求解，他會(huì)很自然用最根本的方法求解出來(lái)，但是學(xué)生在因式分解這一塊欠缺，我們?cè)谶@個(gè)根底上，同時(shí)給學(xué)生強(qiáng)化了用因式分解來(lái)求解一元二次方程過(guò)程中的解決問(wèn)題的能力和方法。在數(shù)列局部也是具體針對(duì)等比數(shù)列，還有等差數(shù)列求和的問(wèn)題，以及求某些項(xiàng)的問(wèn)題，繼續(xù)為學(xué)生強(qiáng)調(diào)整體代換的思想，如涉及到一些高次的也可以把高次的之間存在關(guān)系的比方與之間存在平方關(guān)系，利用整體的思想，可以借助平方差公式來(lái)因式分解，或者針對(duì)與之間存在立方差關(guān)系和立方和關(guān)系，進(jìn)而來(lái)因式分解，把因式分解這局部給學(xué)生強(qiáng)化了，因?yàn)閷W(xué)生在在因式分解這一塊存在很多問(wèn)題，最終的問(wèn)題又轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的求解問(wèn)題，繼續(xù)給學(xué)生加深和熟練學(xué)生的一元二次方程求解的程度。在空間幾何局部的柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積公式。問(wèn)題依然是在前面已有的根底上，繼續(xù)讓學(xué)生感覺(jué)到方程、方程的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中是占有非常重要的地位的，而且必須要具備這種計(jì)算能力，讓學(xué)生有一個(gè)更深刻的理解。檀：大家都知道，我們今年所接到是第一批正式使用教材課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)生，在義務(wù)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)于以往的大綱體系下的一些運(yùn)算方面，做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。比方立方和、差公式，再比方說(shuō)因式分解中十字相乘法等等，在義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)淡化了它的處理。但是我們經(jīng)過(guò)前期的梳理之后，發(fā)現(xiàn)有一些地方還需要用到它。從另一個(gè)角度來(lái)講，我們也可以換一個(gè)角度，去用其他的思想，比方去強(qiáng)化學(xué)生“元〞的意識(shí)。就是方程中誰(shuí)作為元，這種代換，換元的思想如果從逐步強(qiáng)化的話，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是能夠經(jīng)過(guò)幾個(gè)模塊下來(lái)之后，對(duì)這局部?jī)?nèi)容有所重新認(rèn)識(shí)，而且加深他們對(duì)于初中方程的一些理解，把他們初中所學(xué)習(xí)過(guò)的一些方程的解題方法和一些思想進(jìn)一步提高和深化。從我們整個(gè)五個(gè)模塊教學(xué)下來(lái)，感覺(jué)到還是不用特別著急，雖然初中在這局部有一定的淡化，但是高中所用到的東西，學(xué)生還具備了一定的能力，只需要我們?cè)陔S之相應(yīng)的章節(jié)，有意識(shí)地突出和強(qiáng)化，使學(xué)生不斷地加深對(duì)這局部問(wèn)題的理解，還是能夠到達(dá)對(duì)學(xué)生計(jì)算能力有一定的提高?！局鞒秩恕课覀兲貏e感謝北京海淀十九中的王老師、譚老師給我們帶來(lái)他們通過(guò)我們的必修模塊，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)生的分析和思考，謝謝兩位老師。謝謝。主持人：我也覺(jué)得兩位老師提的特別好，我們?cè)诨鶎永锩嬉哺杏X(jué)到，說(shuō)句實(shí)話，老師對(duì)運(yùn)算是高度的重視，但是有的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生這樣一種認(rèn)識(shí)----認(rèn)為提高計(jì)算能力是要靠大量的練習(xí)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，我個(gè)人感覺(jué)到這里面是不是都對(duì)，就是什么強(qiáng)度的練習(xí)能夠提高，或者是僅僅憑加大強(qiáng)度不停的進(jìn)行這種運(yùn)算是不是能夠到達(dá)提高運(yùn)算能力的目的，我也覺(jué)得兩位老師提一些您的看法。張老師：我覺(jué)得對(duì)于運(yùn)算，只靠大量的強(qiáng)度來(lái)作題是不夠的，也就是說(shuō)他要有思維，他不能做了一遍又錯(cuò)，做了一遍又錯(cuò)，甚至養(yǎng)成了一些很不好的習(xí)慣，就是要有一個(gè)比擬好的一個(gè)習(xí)慣。比方說(shuō)Sinx乘3，3一定放在Sinx的前面，你放在后面，結(jié)果就不對(duì)了。就是這樣一些不好的情況會(huì)造成，另外就要培養(yǎng)學(xué)生自信的能力，就是說(shuō)每一步我要做的踏實(shí)，哪怕開(kāi)始慢一點(diǎn)，但是我要自信我能作對(duì)。那么經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的積累，有自信就能做得到。否那么的話，養(yǎng)成一個(gè)不好的習(xí)慣，光靠大量的作題使勁的作題是不行的，當(dāng)然也要做一些題，特別對(duì)一些根本運(yùn)算的難點(diǎn)要把握，比方說(shuō)指數(shù)運(yùn)算，它把乘法變成了加法，這是非常容易混淆的，所以這一點(diǎn)要特別的關(guān)注。有的東西，比方說(shuō)這個(gè)乘，就比擬好做，也不太容易做錯(cuò)，但是加跟乘的運(yùn)算就不太好掌握了。就是說(shuō)抓一些比擬容易出錯(cuò)的地方，有針對(duì)性的訓(xùn)練，我個(gè)人感覺(jué)比擬好。王老師：我同意張老師的分析，第一件事，就是需要做一定量的練習(xí)這是毫不模糊，也需要做我們?cè)谥袑W(xué)階段通常所說(shuō)的變式訓(xùn)練，但在變式訓(xùn)練中，一定要抓住最根本的東西，就是那些不變的東西，不能就變成一種技巧性的展示，實(shí)際上我們?nèi)魏我粋€(gè)變式，都有那些不變的東西，我覺(jué)得這是本質(zhì)的東西，這是需要關(guān)注的第一件事。第二件事，在做運(yùn)算的同時(shí)，一定要把算理的想清楚，逐漸讓這種算理變成一種下意識(shí)的思維，這種符合規(guī)律的思維，但是如果沒(méi)有一定的思考，尤其是在掌握一個(gè)新的運(yùn)算法那么的時(shí)候，沒(méi)有這樣的思考，很可能就會(huì)出大問(wèn)題。張老師：就是開(kāi)始階段的問(wèn)題。王老師：開(kāi)始階段的錯(cuò)誤會(huì)造成后面很大的擺動(dòng)。第三個(gè)問(wèn)題，我覺(jué)得這是我們一起需要來(lái)考慮的問(wèn)題，就是學(xué)生在哪些地方運(yùn)算容易出問(wèn)題，為什么出這些問(wèn)題，我舉一個(gè)例子，比方說(shuō)符號(hào)常常容易出問(wèn)題，我和很多老師討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題，到底為什么會(huì)出這個(gè)問(wèn)題，那么發(fā)現(xiàn)了一個(gè)依據(jù)，我不知道老師是不是同意，就是在數(shù)學(xué)里面，一個(gè)符號(hào)常常只有一種含義，但是減號(hào)它有兩種不同的含義，反映在乘法，反映在減法，反映在代數(shù)和運(yùn)算中，我們都需要轉(zhuǎn)化它的含義，這一點(diǎn)是很容易出錯(cuò)誤的，另外我們通常所說(shuō)的移項(xiàng)也容易出錯(cuò)，我覺(jué)得這就是在開(kāi)始移項(xiàng)階段對(duì)它的算理缺乏一個(gè)正確的引導(dǎo)，它算理是什么呢？就是說(shuō)在等式的兩邊，同加同減一個(gè)數(shù)，等號(hào)不變，你才能把等式右邊的一項(xiàng)轉(zhuǎn)到左邊，實(shí)際上你是通過(guò)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)這件事情。所以我覺(jué)得這種習(xí)慣的形成不是說(shuō)異號(hào)只是一個(gè)口訣，尤其是在我們學(xué)生在這佛教出問(wèn)題的時(shí)候，老師應(yīng)該在算理上給以指導(dǎo)。所以我個(gè)人覺(jué)得，這三件事，我們都要關(guān)注。而第三件事，我特別希望我們一起來(lái)思考，這樣來(lái)提高我們整個(gè)中國(guó)的計(jì)算水平，我覺(jué)得這是我們數(shù)學(xué)教育工作者的一個(gè)根本的任務(wù)。主持人：對(duì)于運(yùn)算我們分析完了，跟運(yùn)算特別接近的上一講也提到了就是算法，也是與運(yùn)算很接近的一件事情，請(qǐng)張老師幫我們分析一下算法在整個(gè)高中課程中的地位和作用。張老師：算法從這次新課標(biāo)、從名詞來(lái)看好似是新增加的，實(shí)際上不是，它始終在我們數(shù)學(xué)領(lǐng)域一直存在的，從我們?cè)谛W(xué)就學(xué)過(guò)，比方最大公約數(shù)，還有初中學(xué)的像消元法，這些都是算法，算法實(shí)際上是為完成一件事情有限步的一個(gè)通性通法，它要求你、告訴你第一步怎么做，第二步怎么做，第三步怎么做，什么時(shí)候結(jié)束這個(gè)事做完了，就是這樣一個(gè)通性通法，所以就算法本身來(lái)說(shuō)，它始終是整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)核心，始終貫穿在其中。從我們中國(guó)古代開(kāi)始，中國(guó)的古代沒(méi)有邏輯論證推理，但是它始終有一種算法這樣一種構(gòu)造行為的數(shù)學(xué)。所以對(duì)我們數(shù)學(xué)老師，不應(yīng)該害怕，實(shí)際上我們只是把它提出一個(gè)名詞來(lái)，把我們過(guò)去的引申來(lái)做的，而且我們這樣整個(gè)高中的大量的問(wèn)題都是有算法的。所以我們?cè)谶@次高中課程里，我們絕不是在必修里面，那12個(gè)學(xué)時(shí)講算法，我們希望把這樣的一個(gè)算法思想在整個(gè)高中課程里總結(jié)出來(lái)。比方說(shuō)我們講完了一元二次方程式，就希望把一元二次不等式的算法給總結(jié)出來(lái)，講完線性規(guī)劃，把線性規(guī)劃的算法提出來(lái)。講一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面的距離的步驟、算法，要讓學(xué)生能夠在這些外表看起來(lái)一個(gè)一個(gè)個(gè)別的問(wèn)題，總結(jié)出通性通法，這是一個(gè)指導(dǎo)思想。所以我們要認(rèn)識(shí)到這樣一個(gè)構(gòu)造性的東西，不但是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使它越來(lái)越凸顯出來(lái)，而且在數(shù)學(xué)里面，始終是一個(gè)非常重要的。王老師：就張老師這個(gè)分析，我非常的同意。上一節(jié)課，我們?cè)?jīng)提到，在數(shù)學(xué)為什么要講算法，它的重點(diǎn)是什么，這一點(diǎn)我們上節(jié)課已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了。算法實(shí)際上有兩個(gè)組成局部，一個(gè)是它本身所需要的理解的一些根本知識(shí)，比方算法的根本思想，算法的根本結(jié)構(gòu)、根本語(yǔ)句，而在這三個(gè)根本里面，最關(guān)鍵的是結(jié)構(gòu)，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)就把我們整個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程講的非常的清晰、準(zhǔn)確、直觀，我覺(jué)得這三個(gè)詞非常的重要，清晰、準(zhǔn)確、直觀，因?yàn)橐粋€(gè)框圖，我們看一遍就知道它是解決什么問(wèn)題的，所以我覺(jué)得這是算法的知識(shí)層面。另外，剛剛張老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的，算法滲透在對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，剛剛張老師舉了很多的例子，我再說(shuō)的稍微細(xì)一點(diǎn)，比方說(shuō)線性規(guī)劃的問(wèn)題，一旦判定一個(gè)問(wèn)題是線性規(guī)劃的問(wèn)題，第一步，確定目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)一般都是Z=AX+BY+C這種形式，即用線性的形式表達(dá)出來(lái)，其中有兩個(gè)未知數(shù)，然后我們要問(wèn)，這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的定義域是什么，用線性規(guī)劃的語(yǔ)言就是它的約束的條件是什么，盡而我們需要把這個(gè)表達(dá)規(guī)劃問(wèn)題的約束條件找清楚，第三步要把這些約束條件用二元一次不等式表示出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)二元一次不等式組，下面一個(gè)步驟我覺(jué)得是老師不應(yīng)該無(wú)視的，要把這個(gè)二元一次不等式組的圖、區(qū)域定性的勾畫出來(lái)。這個(gè)時(shí)候我們就知道，定義在這樣一個(gè)圖形上的目標(biāo)函數(shù)的極值是取在哪呢？不僅是在邊界上，而且是在邊界的頂點(diǎn)上，因此第五步，就是要把所有頂點(diǎn)求來(lái)，進(jìn)而求出這些頂點(diǎn)關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，根據(jù)題目的要求，第六步得到我們所要求的最大值最小值，這樣幾個(gè)步驟非常的清晰、準(zhǔn)確，我們用框圖一旦表示出來(lái)，直觀。我想不僅僅是線性規(guī)劃的問(wèn)題，任何一個(gè)問(wèn)題我們都應(yīng)該有這樣一個(gè)清晰的一種描述，就把我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中強(qiáng)調(diào)的所謂算理，表達(dá)的我覺(jué)得是淋漓盡致，所以我想這個(gè)算法本身，除了它本身的知識(shí)重要之外，那么指導(dǎo)思想也很重要。張老師：算法思想是非常培養(yǎng)人的邏輯思維，把一件事情把一件做法這個(gè)程序說(shuō)清楚，第一步、第二步、第三步，不丟不落，這是非常好的一個(gè)載體。主持人：是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)一個(gè)非常好的載體，也是培養(yǎng)邏輯思維、甚至是包括學(xué)生養(yǎng)成梳理知識(shí)的習(xí)慣，梳理的合情合理、清楚，都是用算法，可以變成滲透我們整個(gè)高中學(xué)習(xí)過(guò)程，或者教學(xué)過(guò)程一個(gè)指導(dǎo)的方向。張老師：對(duì)，這方面清晰。王老師：清晰、準(zhǔn)確、直觀。我補(bǔ)充兩個(gè)，在我們實(shí)驗(yàn)過(guò)程中碰到的問(wèn)題，我想第一個(gè)問(wèn)題，就是老師的畏懼情緒。很多都選擇這個(gè)順序：14532，14523，都把算法放最后。其實(shí)帶來(lái)的難處并不是學(xué)生，而是老師，也不是統(tǒng)計(jì)概率，而是算法。我覺(jué)得大可不必，因?yàn)槲以诙鄠€(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)開(kāi)座談會(huì)的時(shí)候，幾乎老師都給我一個(gè)一致的信息，第一遍有點(diǎn)怵，到了第二遍就覺(jué)得沒(méi)什么問(wèn)題，他們告訴我的第二個(gè)重要信息，學(xué)生沒(méi)問(wèn)題，問(wèn)題在老師自己，我覺(jué)得這是在教學(xué)中希望給老師參考的一個(gè)方面。第二個(gè)方面，切忌切忌不要把算法講成計(jì)數(shù)，講成語(yǔ)言，我們的重中之重是框圖、是邏輯、是算理，這樣對(duì)我們只有好處沒(méi)有害處，如果老師擔(dān)憂，我可以肯定的說(shuō)，考試是無(wú)法考語(yǔ)言的，因?yàn)槲覀兇蠹覍W(xué)了各種各樣的語(yǔ)言，考試到底用什么？也沒(méi)有統(tǒng)一的要求，除非專門考計(jì)算機(jī)，有固定的要求。所以老師千萬(wàn)不要把重點(diǎn)放在語(yǔ)言上面。張老師：另外也不要在多一步少一步這個(gè)細(xì)節(jié)上去下功夫。王老師：非常贊成，我要說(shuō)的第三條，希望我們老師建立一個(gè)數(shù)量級(jí)的概念，這個(gè)在分析的教學(xué)中大家都清楚，我們知道N是無(wú)窮大，2N也是無(wú)窮大，我們常常說(shuō)他們是同級(jí)無(wú)窮大，對(duì)于算法來(lái)說(shuō)，N+1、N+5和N算法的復(fù)雜程度是一樣的，N和2N的算法復(fù)雜程度是一樣的，所以老師千萬(wàn)不要把教學(xué)的主要精力放在減少一步怎么優(yōu)化一步，沒(méi)有意義，因?yàn)閷?duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)這不算什么事。張老師：咱們的重點(diǎn)應(yīng)該是把自然語(yǔ)言描述算法，會(huì)用框圖語(yǔ)言表示，另外，給一個(gè)框圖語(yǔ)言，我們能夠讀懂它是一個(gè)什么樣的算法，解決什么問(wèn)題，這是我們重點(diǎn)。王老師：當(dāng)然算法的教學(xué)的細(xì)節(jié)上，我們將來(lái)還會(huì)介紹一些方法，其實(shí)并不是很困難的事情，所以我希望我們的老師能夠樹(shù)立起教好算法的信心，將來(lái)我們?cè)陧樞蛏线€要再講，不同順序我們應(yīng)該關(guān)注哪些問(wèn)題。主持人：那么算法的主線我們也分析了，下面我們?cè)僬?qǐng)王老師分析一下幾何這條主線，大家也都非常關(guān)注幾何，好似老師們也覺(jué)得新課程中的幾何，特別是立體幾何跟以前的要求有一些不同，我們請(qǐng)王老師把這個(gè)做一下分析。王老師：我們?cè)谏弦还?jié)談變化的時(shí)候，曾經(jīng)談到了這個(gè)問(wèn)題，我現(xiàn)在再重述一遍，幾何課程的設(shè)計(jì)由兩局部組成，第一局部是知識(shí)局部，第二局部是能力局部，或者我們叫做觀念局部，這個(gè)能力表達(dá)在空間的想象力，或者叫幾何直觀能力，或者叫數(shù)形結(jié)合能力，我想我們不去細(xì)分他們的差異，那么這兩局部都是貫穿在我們整個(gè)高中課程中的根本的東西，下面我先說(shuō)知識(shí)局部。知識(shí)局部，我覺(jué)得老師一定要清楚，我們知識(shí)局部分了這樣三大塊，一塊是立體幾何，一塊是解析幾何，一塊是向量，這是支撐幾何課程的三個(gè)基點(diǎn)，那么老師又問(wèn)了，在講運(yùn)算的時(shí)候講到向量，你在講幾何的時(shí)候又講向量，我希望我們的老師對(duì)向量有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，向量有兩個(gè)稱號(hào)，一個(gè)叫向量代數(shù)，就是我們?cè)诖鷶?shù)里講的；一個(gè)叫向量幾何，就是我們下面要講的，所以向量是一個(gè)獨(dú)特的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。首先，立體幾何局部，我們把整個(gè)課程分成兩塊，一塊叫立體幾何初步，一塊叫空間向量與立體幾何，支撐空間向量與立體幾何的除了立體幾何初步之外，還有平面向量，我想這個(gè)結(jié)構(gòu)我們應(yīng)該清楚。下面我們就說(shuō)立體幾何初步的定位是什么？---它是要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力為主的一個(gè)課程載體。我想這個(gè)主要定位老師千萬(wàn)不要發(fā)生動(dòng)搖，我們通過(guò)這樣一些內(nèi)容，來(lái)支撐這樣的一個(gè)載體，第一局部就是我們要對(duì)空間圖形有一個(gè)了解，盡而我們要會(huì)畫空間圖形的直觀圖，在此根底上我們要建立三視圖的概念，這個(gè)是在義務(wù)教育根底上的一個(gè)深化，在三視圖中我們要關(guān)注什么問(wèn)題，我想將來(lái)我們?cè)偌?xì)化，那么緊接著，我們需要幫助學(xué)習(xí)建立的是點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，這是必修課程的根本的東西，當(dāng)然還有一些，體積面積的計(jì)算，這個(gè)我想不是重點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，在立體幾何初步中，我們希望幫助學(xué)生形成兩個(gè)角度，一個(gè)是從局部到整體，一個(gè)是從整體到局部，我們希望長(zhǎng)方體這個(gè)模型，成為貫穿對(duì)于點(diǎn)、線、面位置關(guān)系認(rèn)識(shí)的一個(gè)根本圖形，這一點(diǎn)是非常重要的，這個(gè)圖形不僅在高中階段是根本圖形，在大學(xué)學(xué)習(xí)其他的幾何的時(shí)候，它仍然是很重要的，仍然是最根本的，特別是正交系這都是非常根本的圖形。有時(shí)候我們一說(shuō)到這些根本的圖形，老師就覺(jué)得好似是不是把我們的抽象看低了，絕對(duì)不是這個(gè)樣子，這是我們的知識(shí)載體，那么我們要處理好的一個(gè)問(wèn)題是什么呢？就是我們?cè)诹Ⅲw幾何初步對(duì)于邏輯推理的要求，做了一定的控制，我們大概有4個(gè)判定定理和4個(gè)性質(zhì)定理，我們只要求證明性質(zhì)定理，不要求證明判定定理，我們還希望在性質(zhì)定理的證明中，增加更多的空間、圖形來(lái)支撐它。張老師：是這樣的，我們要知道培養(yǎng)邏輯思維能力，不是幾何學(xué)單獨(dú)來(lái)培養(yǎng)的，它是所有的數(shù)學(xué)課程共同培養(yǎng)的，對(duì)幾何課來(lái)說(shuō)，它的定位就是掌握空間想象能力，或者把握?qǐng)D形的能力，這是它的本職工作和核心工作，當(dāng)然它也和其他的數(shù)學(xué)一樣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，現(xiàn)在我們有時(shí)候本末倒置了，好似幾何就培養(yǎng)人的思維能力，所以我們一定要把這個(gè)定位認(rèn)識(shí)清楚，所以在這里面，一些證明，比方說(shuō)判定定理證明，我們?cè)诤竺婵臻g向量、立體幾何還可以處理，在這里面我們更要把握?qǐng)D形，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，這是一個(gè)最核心的問(wèn)題。主持人：下面我們?cè)賮?lái)解釋空間向量與立體幾何。首先，我們要清楚在立體幾何初步里主要是位置關(guān)系，定性的認(rèn)識(shí)位置關(guān)系，那么實(shí)際上在高中階段，我們要幫助學(xué)生研究的主要對(duì)象有兩個(gè)，一個(gè)是位置關(guān)系，一個(gè)是度量關(guān)系，在這個(gè)前提下，我們才談得上為什么要用向量討論這件事情，下面就解釋。最主要的位置關(guān)系是兩個(gè)，一個(gè)是平行，一個(gè)是垂直，我們很容易就想象得到，利用向量會(huì)給我們帶來(lái)什么好處，判定垂直就是看這兩個(gè)平面〔要平面就說(shuō)法向量，要直線就說(shuō)方向向量〕，他們的點(diǎn)乘是不是等于零，另外一個(gè)是平行問(wèn)題，平行問(wèn)題是共線問(wèn)題，所以我們用向量來(lái)處理這些問(wèn)題的給我們帶來(lái)很大的方便，下面我們?cè)僬f(shuō)度量問(wèn)題。度量問(wèn)題一個(gè)是我們說(shuō)的是長(zhǎng)度，一個(gè)是角度，距離是屬于長(zhǎng)度的范疇，對(duì)于面