第二章點(diǎn)、線(xiàn)和面的投影學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握投影的概念和種類(lèi)，學(xué)會(huì)用正投影法繪制物體的三視圖，并理解三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.掌握點(diǎn)、線(xiàn)、面的投影規(guī)律和各種特殊位置直線(xiàn)和平面的投影特性，理解點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的相對(duì)位置、投影關(guān)系。2.1投影的基本知識(shí)2.3點(diǎn)的投影

2.4直線(xiàn)的投影2.5平面的投影學(xué)習(xí)內(nèi)容2.6直線(xiàn)與平面的投影2.7換面法2.2常見(jiàn)的幾種投影圖第一節(jié)投影法的基本概念投影法—用投射線(xiàn)通過(guò)物體，向選定平面投射，在該平面上得到圖形的方法。投影現(xiàn)象→投影法投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法畫(huà)透視圖畫(huà)斜軸測(cè)圖

畫(huà)標(biāo)高圖及正軸測(cè)圖單面投影多面投影畫(huà)工程圖樣一、投影法分類(lèi)投影面投影面中心投影法得到的投影一般不反映形體的真實(shí)大小。投影特性投射中心投影體ACB投影abc投射線(xiàn)CABabc物體位置改變，投影大小也改變度量性較差，作圖復(fù)雜。1.中心投影法投射線(xiàn)從投影中心發(fā)出

中心投影應(yīng)用—電冰箱兩點(diǎn)透視圖

能準(zhǔn)確、完整地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)，且作圖簡(jiǎn)便，度量性較好，故廣泛用于工程圖。投影特性投影體ACB投影面

立體感較差。投影體ACB投影面abc斜投影投射線(xiàn)傾斜于投影面abc正投影正投影法

投射線(xiàn)互相平行且垂直于投影面斜投影法

投射線(xiàn)互相平行且傾斜于投影面投射線(xiàn)垂直于投影面2.平行投影法投影法小結(jié)1.中心投影法2.平行投影法正投影法

斜投影法正投影

中心投影顯實(shí)性(全等性)

當(dāng)空間直線(xiàn)或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)或平面的實(shí)形，這種投影性質(zhì)稱(chēng)為全等性。二、正投影的基本性質(zhì)積聚性

當(dāng)直線(xiàn)或平面垂直于投影面時(shí)，其投影積聚為一點(diǎn)或一條直線(xiàn)，這種投影性質(zhì)稱(chēng)為積聚性。

類(lèi)似性

當(dāng)空間直線(xiàn)或平面傾斜于投影面時(shí)，其投影仍為直線(xiàn)或與之類(lèi)似的平面圖形，其投影的長(zhǎng)度變短或面積變小，這種投影性質(zhì)稱(chēng)為類(lèi)似性。

正投影應(yīng)用—正等測(cè)圖第二節(jié)工程上常見(jiàn)的幾種投影斜投影應(yīng)用—斜二測(cè)圖多面正投影應(yīng)用—組合體多面正投影應(yīng)用—零件圖一面投影二面投影三面投影

點(diǎn)的三面投影

特殊位置點(diǎn)的投影

兩點(diǎn)的相對(duì)位置

第三節(jié)點(diǎn)的投影面點(diǎn)、直線(xiàn)、平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素BCDA線(xiàn)點(diǎn)

的

投

影點(diǎn)P

采用多面投影。

過(guò)空間點(diǎn)A,向投影面P作正投影，在P面上得唯一的投影。a

A

反之，點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。Pb

BB2B1解決辦法一、點(diǎn)的三面投影HWVOOX軸—

V面與H面的交線(xiàn)OZ軸—

V面與W面的交線(xiàn)OY軸—

H面與W面的交線(xiàn)YXZ投影面與投影軸

V面:正投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正面）

H面:水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面）W面:側(cè)投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面）a

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。WHVoXa

●a●a

●A●ZY投影符號(hào)標(biāo)記WXVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋轉(zhuǎn)90°HW面向右旋轉(zhuǎn)90°OXZYHaxaza

ayHayWaa″V面不動(dòng)投影面展開(kāi)點(diǎn)的三面投影規(guī)律

aax=a

az=YA——A點(diǎn)到V面的距離(Aa′)

a

ax=a

ay=ZA——A點(diǎn)到H面的距離(Aa)

aay=a

az=

XA——A點(diǎn)到W面的距離(Aa″)

XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAAa

a⊥OX軸;

a

a

⊥OZ軸;投影連線(xiàn)垂直投影軸XVYOWZHaZa″a′aYaXaA點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)

空間點(diǎn)可用直角坐標(biāo)來(lái)表示，書(shū)寫(xiě)形式：A(x,y,z)。

點(diǎn)到各投影面的距離，為相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值X，Y，Z

。XA=點(diǎn)到W面的距離=

aayH=a

azYA=點(diǎn)到V面的距離=aax=a

azZA=點(diǎn)到H面的距離=a

ax=a

ayWH面投影a反映X、YV面投影a'反映X、ZW面投影a"反映Y、Z。YW

:已知A點(diǎn)的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。

1)作投影軸；2)量取：X=12、Z=15、Y=10；步驟:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123)作投影連線(xiàn)，交點(diǎn)a、a′、a″既為所求。例1●●a

aax

:已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過(guò)作45°線(xiàn)使a

az=aax用圓規(guī)直接量取a

az=aax例2一般位置點(diǎn)：

在空間（X，Y，Z）XVYOWZH

X，Y，Z均不為零，點(diǎn)的三個(gè)投影無(wú)一在投影軸上。aZa″a′aYaXaA二、特殊位置點(diǎn)的投影

投影面上的點(diǎn)

結(jié)論：點(diǎn)在投影面上，在該投影面上的投影與空間點(diǎn)重合，另兩個(gè)投影分別在投影軸上。

在H面上（X，Y，0）XVYOWZH

在V面上（X，0，Z）

在W面上（0，Y，Z）bBb″b′dd″Dd′CC″C′C

指兩點(diǎn)在空間的左右、上下、前后位置關(guān)系。X坐標(biāo)大的在左；

Y坐標(biāo)大的在前；Z坐標(biāo)大的在上。判斷方法：B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、下、前方。上下后左右前三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

已知A點(diǎn)在B點(diǎn)之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點(diǎn)的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

985例3▲當(dāng)空間兩點(diǎn)的兩對(duì)坐標(biāo)相等時(shí)，兩點(diǎn)處于同一投射線(xiàn)上，在該投射線(xiàn)的投影面上的投影重合在一起，稱(chēng)為該投影面的重影點(diǎn)?！赜包c(diǎn)要判別其可見(jiàn)性，不可見(jiàn)的投影用括號(hào)括起來(lái)，以示區(qū)別。

兩點(diǎn)重影()H面重影，被擋住的投影加()A在B的正上方重影點(diǎn)及可見(jiàn)性判別結(jié)論：

●X、Y分別相等，H面重影(H面投射線(xiàn)上)，Z大可見(jiàn)。正上（下）方●X、Z分別相等，V面重影(V面投射線(xiàn)上)，Y大可見(jiàn)。正前（后）方●Y、Z分別相等，W面重影(W面投射線(xiàn)上)，X大可見(jiàn)。正左（右）方

各種位置直線(xiàn)的投影

直線(xiàn)上點(diǎn)的投影

兩直線(xiàn)的相對(duì)位置

第四節(jié)直線(xiàn)的投影

兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，將兩點(diǎn)的同面投影用直線(xiàn)連接，就得到直線(xiàn)的投影。直線(xiàn)平行于投影面投影反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB真實(shí)性直線(xiàn)垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)ab=0積聚性a≡b≡mBAM●●●●作直線(xiàn)的投影即作點(diǎn)的投影AB●●ab●●abAB●●●●一、

直線(xiàn)的投影直線(xiàn)傾斜于投影面投影比空間線(xiàn)段短

ab＜AB

類(lèi)似性投影面平行線(xiàn)平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線(xiàn)正平線(xiàn)（平行于Ｖ面）側(cè)平線(xiàn)（平行于Ｗ面）水平線(xiàn)（平行于Ｈ面）正垂線(xiàn)（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線(xiàn)（垂直于Ｗ面）鉛垂線(xiàn)（垂直于Ｈ面）一般位置直線(xiàn)與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線(xiàn)垂直于某一投影面直線(xiàn)三類(lèi)位置1、投影面平行線(xiàn)1.H面投影反映實(shí)長(zhǎng)。即：ab=AB;V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。即a′b′∥OX軸，a″b″∥OYW軸；3.H面投影與OX軸夾角反映直線(xiàn)對(duì)V面的傾角β；

與OYH軸的夾角，反映直線(xiàn)對(duì)W面的傾角γ。水平線(xiàn)的投影特征：正平線(xiàn)和側(cè)平線(xiàn)可得出類(lèi)似的投影特征（水平線(xiàn)、正平線(xiàn)、側(cè)平線(xiàn)）b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行線(xiàn)1.在其平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線(xiàn)與另兩投影面傾角。2.另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線(xiàn)側(cè)平線(xiàn)正平線(xiàn)γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)βγααβba

aa

b

b

2、投影面垂直線(xiàn)H面投影積聚成一點(diǎn)；V、W面投影反映實(shí)長(zhǎng)，a′b′=a″b″=AB；

V、W面投影，分別垂直于H面的兩根軸即：a′b′⊥OX軸a″b″⊥OYW軸。正垂線(xiàn)和側(cè)垂線(xiàn)可得出類(lèi)似的投影特征鉛垂線(xiàn)投影特征:（鉛垂線(xiàn)、正垂線(xiàn)、側(cè)垂線(xiàn)）投影面垂直線(xiàn)鉛垂線(xiàn)正垂線(xiàn)側(cè)垂線(xiàn)2.另外兩個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)。且垂直于相應(yīng)的投影軸。1.在其垂直的投影面上的投影積聚成點(diǎn)。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)積聚為點(diǎn)積聚為點(diǎn)積聚為點(diǎn)投影特性：

三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。3、一般位置直線(xiàn)例1：判斷下列直線(xiàn)的空間位置d′C′dddCAB為水平線(xiàn)CD為側(cè)平線(xiàn)

點(diǎn)在直線(xiàn)上，其投影必在直線(xiàn)的同面投影上。即具有從屬性。

不垂直于投影面的直線(xiàn)上點(diǎn)，將線(xiàn)段分割成比例，投影后仍成同比例。即具有定比性（定比分割）。

AC/CB=ac/cb=ac/cb

若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線(xiàn)的同面投影上，則該點(diǎn)必不在此直線(xiàn)上。判別方法：ABVHCbcac

b

a

d

d在不在C點(diǎn)直線(xiàn)AB上D點(diǎn)直線(xiàn)AB上D二、直線(xiàn)上點(diǎn)的投影

：判斷點(diǎn)K是否在線(xiàn)段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法是因a

k:kb

≠ak:kb

故點(diǎn)K不在AB上。例2

已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV例3O⒈兩直線(xiàn)平行投影特性：空間兩直線(xiàn)平行，其同面投影必相互平行，反之亦然?？臻g兩直線(xiàn)的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。三、兩直線(xiàn)的相對(duì)位置abcda

b

c

d

：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。

對(duì)于一般位置直線(xiàn)，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線(xiàn)就平行。結(jié)論：AB//CD①X例1cbadd

b

a

c

b

d

c

a

對(duì)于投影面平行線(xiàn)，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線(xiàn)不一定平行。應(yīng)看反映實(shí)長(zhǎng)的投影是否平行。結(jié)論:AB與CD不平行

：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷例2HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

判別方法：若空間兩直線(xiàn)相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合點(diǎn)的投影規(guī)律。kk

交點(diǎn)是兩直線(xiàn)的共有點(diǎn)k

kK2.兩直線(xiàn)相交●●cabb

a

c

d

k

kd

：過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)CD與AB相交。先作正面投影例312●●d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)◆同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合點(diǎn)的投影規(guī)律?！簟敖稽c(diǎn)”是兩直線(xiàn)上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影。●●Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面重影，

Ⅲ、Ⅳ在H面重影。3

4

●●AB與CD兩直線(xiàn)相交嗎投影特性：結(jié)論：AB與CD兩直線(xiàn)不相交3.兩直線(xiàn)交叉

判斷兩直線(xiàn)的相對(duì)位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1例4

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。已知BC//H面,BC⊥AB。又因BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面結(jié)論:直線(xiàn)在H面上的投影互相垂直因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：4.兩直線(xiàn)垂直相交：直角的投影d

abca

b

c

●●d

：過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)與AB垂直相交。.AB為正平線(xiàn),正面投影反映直角。例5eee'e'c'c'

已知直線(xiàn)AB的兩面投影和C點(diǎn)的水平投影,試過(guò)C點(diǎn)作一條直線(xiàn)CE垂直于AB,求直線(xiàn)CE的兩面投影。

cbab'a'OX例6作線(xiàn)段AB、CD的公垂線(xiàn)EF。例7

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO

1）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及夾角

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab四、求一般位置直線(xiàn)實(shí)長(zhǎng)ABbb

aa

CXO

2）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及夾角

|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

XZYO

3）求直線(xiàn)的實(shí)長(zhǎng)及夾角

ABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

已知線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|b

Xa

bAB例1

bb

Xa

aBC

已知線(xiàn)段AB的投影，試定出屬于線(xiàn)段AB的點(diǎn)C的投影，使BC

的實(shí)長(zhǎng)等于已知長(zhǎng)度L。cLABzA-zBc

ab例2

平面的表示法

各種位置平面的投影

平面上的直線(xiàn)和點(diǎn)

第五節(jié)平面的投影s●a●b●a●b●s●a●b●一、平面的表示法●a●a

●b●b

●s●s不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)直線(xiàn)及線(xiàn)外一點(diǎn)兩平行直線(xiàn)兩相交直線(xiàn)平面圖形s●a●b●s●a●b●●a●a

●b

●b●s●sc●d●●a●a

●b

●b●s●s●a●a

●b

●bc●●c●d●d●a●a

●b

●b●s●s（1、用幾何元素表示）二、各種位置平面的投影平行垂直傾斜投影特性

平面平行投影面-----投影反映實(shí)形

平面垂直投影面-----投影積聚成直線(xiàn)

平面傾斜投影面-----投影類(lèi)似原平面顯實(shí)性類(lèi)似性積聚性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面平面對(duì)投影面的位置：分為三類(lèi)1、一般位置平面投影特性1、

三面投影均為

ABC的類(lèi)似形，面積縮??；

2、

不反映

、

、

的真實(shí)角度。a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB一般位置平面VWHPPH鉛垂面

投影特性：1、H面投影積聚成一條直線(xiàn)，與OX、OY的夾角反映

、

；

2、V、W面投影為原形的類(lèi)似形。ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

2、投影面垂直面VWHQQV

投影特性：1、Ｖ面投影積聚成一條直線(xiàn)，與OX、OZ的夾角反映α、

；

2、H、W面的投影為原形的類(lèi)似形。

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面VWHSWS

投影特性：1、W面投影積聚成一條直線(xiàn)，與OZ、OY的夾角反映α、β；

2、V、H面投影為原形的類(lèi)似形。

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

側(cè)垂面abca

c

b

c

b

a

類(lèi)似性類(lèi)似性積聚性鉛垂面投影面垂直面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成傾斜的線(xiàn)，與投影軸的夾角反映平面與另外兩投影面的夾角。

在另外兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。為什么？γβ是什么位置的平面？小結(jié)VWH水平面投影特性：

1、H面投影反映實(shí)形；

2、V、W面投影積聚成直線(xiàn)，且平行于H面的投影軸。CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

3、投影面平行面VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA正平面投影特性：

1、V面投影反映實(shí)形；

2、H、W面投影積聚成直線(xiàn)，且平行于V面的投影軸。VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

側(cè)平面投影特性：

1、W面投影反映實(shí)形；

2、V、H面投影積聚成直線(xiàn)，且平行于W面的投影軸。a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影面平行面投影特性：

在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形;

另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成直線(xiàn),并與相應(yīng)的投影軸平行。小結(jié)是什么位置的平面？平面的表示法（2、用跡線(xiàn)表示平面）跡線(xiàn)----平面與投影面的交線(xiàn)一般位置平面跡線(xiàn)投影面垂直面跡線(xiàn)投影面平行面跡線(xiàn)VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ三、平面上的直線(xiàn)和點(diǎn)判斷直線(xiàn)在平面上的方法

定理一若一直線(xiàn)過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線(xiàn)必在該平面內(nèi)。定理二若一直線(xiàn)過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線(xiàn)，則此直線(xiàn)在該平面內(nèi)。

1、平面上取直線(xiàn)

直線(xiàn)在平面上:則該直線(xiàn)必通過(guò)這個(gè)平面上的兩點(diǎn)?；?/p>

通過(guò)這個(gè)平面上的一點(diǎn)，且平行于平面上的另一直線(xiàn)。有無(wú)數(shù)解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d

：已知平面由直線(xiàn)AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線(xiàn)。解法一：解法二：根據(jù)定理一有多少解根據(jù)定理二例1

：在平面ABC內(nèi)作一條水平線(xiàn)，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解例2⒉平面上取點(diǎn)

點(diǎn)在平面上，則該點(diǎn)必在這個(gè)平面的一條直線(xiàn)上。

先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)作為輔助線(xiàn)，然后再在該直線(xiàn)上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線(xiàn)②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線(xiàn)求解bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc

：已知AC為正平線(xiàn)，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二例3

：在平面ABC上取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K在點(diǎn)A之下15mm、在點(diǎn)A之前20mm處。例4四、圓的投影投影面平行圓投影面垂直圓●在與它垂直的投影面上積聚成直線(xiàn)=直徑●在與它傾斜的投影面上的投影是橢圓，圓的一對(duì)相互垂直的直徑，投影成橢圓的一對(duì)長(zhǎng)短軸，長(zhǎng)軸=直徑特殊位置點(diǎn)第六節(jié)直線(xiàn)與平面及平面與平面之間的相對(duì)位置

一、平行問(wèn)題

1.直線(xiàn)與平面平行

定理：直線(xiàn)平行于平面上的某一條直線(xiàn)。

即：如果直線(xiàn)平行于平面，則直線(xiàn)的各面投

影必與平面上一直線(xiàn)的同面投影平行。例1：過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'無(wú)數(shù)解例2：過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MN平行于V面和△ABC。解：正平線(xiàn)abcmm'a'b'c'因?yàn)椤鰽BC為正垂面，所以直線(xiàn)MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又因?yàn)镸N為正平線(xiàn)，所以mn平行于OX軸。n'n有唯一解有多少解？2.平面與平面平行幾何條件：1）若一個(gè)平面上的兩相交直線(xiàn)分別平行于另一平面上的兩相交直線(xiàn)，則兩平面相互平行。2）若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3：過(guò)點(diǎn)K作平面平行于△ABC。解：??a'ab'bc'ck'k分析：按幾何條件，只要過(guò)點(diǎn)K作兩相交直線(xiàn)KL、KH對(duì)應(yīng)地平行于已知平面的一對(duì)相交直線(xiàn)，此平面即為所求。作圖：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'1.一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交

交點(diǎn)是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)。討論：（1）求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)；（2）判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。

只討論平面與直線(xiàn)中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。

二、相交問(wèn)題a'ab'bd'de'ef'f例1：求直線(xiàn)AB與鉛垂面△DEF的交點(diǎn)K，并判別可見(jiàn)性。分析：因△DEF的水平投影def有積聚性，交點(diǎn)K是△DEF內(nèi)的點(diǎn)，它必在def上，又因K是AB上的點(diǎn)，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。kk'1'1(2')2由于ak在平面的前方，故正面投影a

k

可見(jiàn)，k

b

被平面遮住的部分為不可見(jiàn)。

例2：求直線(xiàn)AB與水平面的交點(diǎn)K，并判別可見(jiàn)性。aa'bb'k'k由圖知：圓平面是水平面，其正面投影有積聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可見(jiàn)，kb被圓遮住的部分為不可見(jiàn)。?2.特殊位置直線(xiàn)（垂直線(xiàn)）與一般位置平面相交(e)d?aa'bb'cc'd'e'(k)借助于輔助線(xiàn)的方法求出交點(diǎn)。nn'?判別可見(jiàn)性：由V面的b'c'與d'e'的重影點(diǎn)1'(2')求出H面的1在直線(xiàn)DE上，2在BC上，1的Y坐標(biāo)大于2，所以d'k'可見(jiàn)，k'e'被遮住部分不可見(jiàn)。k'1'(2')12例3：求鉛垂線(xiàn)DE與△ABC的交點(diǎn)K，并判別可見(jiàn)性。例4：求直線(xiàn)MN與平面△ABC的交點(diǎn)。aa'bb'cc'n'?m(m')nk'd'dk?作圖：連c'k'與a'b'交于d'，由d'求出d，連cd交mn于k。k為所求。判別可見(jiàn)性：在H面中mn與ac的交點(diǎn)1（2），即是直線(xiàn)MN與平面上AC邊對(duì)H面的重影點(diǎn)，求出1'、2'；因1'的Z坐標(biāo)大，所以kn可見(jiàn)。11'(2)2'

兩平面相交，其交線(xiàn)為直線(xiàn)，交線(xiàn)是兩平面的共有線(xiàn)，同時(shí)交線(xiàn)上的點(diǎn)是兩平面的共有點(diǎn)。討論：A.求兩平面的交線(xiàn)（方法）

1）確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)；

2）確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線(xiàn)的方向。

B.判別可見(jiàn)性。3.一般位置平面與特殊位置平面相交分析：∵△ABC與△DEF交線(xiàn)的正面投影m'n'為△DEF的DE、EF的正面投影d'f'、e'f'與△ABC的正面投影的交點(diǎn)，由m'n'求出m、n，mn為可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。判別可見(jiàn)性：∵V面m'n'f'在△a'b'c'的上方，∴mnf

可見(jiàn)，demn被△ABC遮擋部分為不可見(jiàn)。m'n'例5：平面△ABC為投影面平行面與一般位置平面△DEF相

交，求交線(xiàn)并判別可見(jiàn)性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'mn例6：求平面△ABC與鉛垂面△DEF的交線(xiàn)KL，并判別可見(jiàn)性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'kl分析：∵△DEF是鉛垂面，∴其水平投影有積聚性?？芍苯忧蟪鰇、l，再由k、l求出k'、l'，交線(xiàn)是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線(xiàn)。k'l'三、垂直問(wèn)題1.直線(xiàn)與平面垂直

定理：如果一直線(xiàn)垂直于某一平面內(nèi)的兩相交直線(xiàn)，則直線(xiàn)必垂直于該平面。PABCDLG例：過(guò)已知點(diǎn)D作平面△ABC的垂線(xiàn)。kXOacbda'b'c'd'k'1'2'12分析：為了使過(guò)點(diǎn)D所作的直線(xiàn)垂直于△ABC，可在平面內(nèi)作一水平線(xiàn)和正平線(xiàn)，然后過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的水平線(xiàn)和正平線(xiàn)。過(guò)點(diǎn)A作AⅠ∥H面，即過(guò)a'作a'1'∥OX軸，并求出水平投影a1；過(guò)C作CⅡ∥V面，即過(guò)c作c2∥OX軸，并求出c'2'。過(guò)D作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作dk⊥a1，d'k'⊥c'2'

投影特性：如果一直線(xiàn)垂直于某一平面，則該直線(xiàn)的水平投影必定垂直于該平面內(nèi)水平線(xiàn)的水平投影；直線(xiàn)的正面投影必定垂直于該平面內(nèi)的正平線(xiàn)的正面投影。例10：求點(diǎn)D到正垂面△ABC的距離。因?yàn)椤鰽BC的正面投影有積聚性，平面內(nèi)的正平線(xiàn)的投影與a'b'c'重合，與△ABC垂直的直線(xiàn)的正面投影必垂直于a'b'c'。正垂面內(nèi)與水平面平行的直線(xiàn)，只有正垂線(xiàn)，可求出k'。正垂線(xiàn)的水平投影與OX軸垂直，因此過(guò)點(diǎn)D所作正垂面垂線(xiàn)的水平投影必平行于OX軸，即與正垂面垂直的直線(xiàn)是正平線(xiàn)，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律可求出k。k'kabcda'b'c'd'XO結(jié)論：如直線(xiàn)垂直于投影面垂直面時(shí)，它必然是一條投影面平行線(xiàn)。2.兩平面垂直

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么該兩個(gè)平面垂直；反之，如果兩平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)必在第一個(gè)平面內(nèi)。pqABCDK例11：過(guò)已知點(diǎn)D作一平面垂直于已知平面△ABC。XOdabcc'b'a'd'e'k'ke

分析：過(guò)已知點(diǎn)D作直線(xiàn)DK垂直于平面△ABC，然后包含直線(xiàn)DK作平面（可作無(wú)窮多個(gè)），圖中任取一點(diǎn)E，則平面DEK垂直于△ABC。1、換面法的基本概念2、點(diǎn)的投影變換規(guī)律3、直線(xiàn)的換面4、平面的換面第七節(jié)換面法

換面法就是保持空間幾何元素不動(dòng)，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對(duì)于空間幾何元素處于有利于解題的位置。主要內(nèi)容是：VAHCBc

b

Xa

abc1、換面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影體系的建立（1）新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。（2）新投影面必須垂直于原投影體系中的某一個(gè)投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

2.新投影面的選擇原則2、點(diǎn)的投影變換規(guī)律1.點(diǎn)的一次變換VHXHX1V1a1

a

Aaa1

a

XVHaVHXX1V1a1

V1a1

X1HV1a

Aa變換V面時(shí)點(diǎn)的投影作圖2.點(diǎn)的投影變換規(guī)律a1

X1HV1a

XVHa（1）點(diǎn)的新投影和不變投影的連線(xiàn)，必垂直于新投影軸。（2）點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于點(diǎn)的舊投影到舊投影軸的距離。VHXH1X1點(diǎn)在V/H1體系中的投影

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