2023年湖南省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

本試卷滿(mǎn)分150分。共22道題?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和考生號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分）

1.（5分）若iz=-3+2i（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）在4/8C中，"Z?∕8C是鈍角三角形”是“cosC=2siMsin5”的（）條件.

A.必要不充分B.充要

C.充分不必要D.既不充分也不必要

3.（5分）設(shè)a=k>g25,?=52?1,C=0.25,則α,b,C的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.h>a>cC.h>c>aD.a>c>h

1、

4.（5分）若（-—mxλ）5（w∈R）的展開(kāi)式中％5的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)W=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（5分）甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）

Illl

A.-B.-C.-D.-

2346

6.（5分）若圓錐SOi,SO2的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為4的同一個(gè)球的球面上，兩個(gè)圓

錐的母線長(zhǎng)分別為4,4√2,則這兩個(gè)圓錐公共部分的體積為（）

85656+16√3

A.-TTB.8πC.-πD.------------π

333

7.（5分）過(guò)拋物線∕=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)4與準(zhǔn)

線在第三象限交于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)力作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H.若tan∕4FH=2,貝IJl需I=

（）

543

A.-B.-C.-D.2

432

第1頁(yè)共20頁(yè)

8.(5分)在下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)為()

A.y=sin∣2x∣B.>,=∣cosx∣

TrTC

C.y-cos(2x+?)D.y=tan(x—^)

二.多選題(共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分)

9.(5分)下列表示圖形中的陰影部分的是()

B.(AUB)∩(XUC)

C.(4UB)∩(BUC)D.(M8)UC

10.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)=∕(2-χ),當(dāng)-2WXWl時(shí)，/(x)

[log2(-X)，-2≤%≤0

A.f(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)

B.f(%)不可能是周期為6的函數(shù)

37

c./(x)在區(qū)間(5,5)上單調(diào)遞增

D.不等式/(x)<-X的解集一定非空

11.(5分)已知S”是等差數(shù)列｛α,,｝(∏∈N*)的前"項(xiàng)和，且S5>S6>S4,以下有四個(gè)命題，

其中正確的有()

A.數(shù)列｛“”｝的公差“<0

B.數(shù)列｛斯｝中Sn的最大項(xiàng)為Sio

C.Sιo>O

D.5n>0

12.(5分)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由/,B,C,Z)四點(diǎn)所確定的''N型函數(shù)”指的是三次函數(shù)/

(x)=ax3+bx2+cx+d(α≠0),其圖象過(guò)N,D兩點(diǎn),且/(x)的圖象在點(diǎn)N處的切線經(jīng)

過(guò)點(diǎn)B,在點(diǎn)。處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.若將由Z(0,0),B(1,4),C(3,2),D(4,0)

四點(diǎn)所確定的“N型函數(shù)”記為y=∕(x),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.曲線y=/(X)在點(diǎn)。處的切線方程為y=-2x+8

第2頁(yè)共20頁(yè)

1

B.f（x）=θx（χ-4）（X-8）

C.曲線y=∕（x）關(guān)于點(diǎn)（4,0）對(duì)稱(chēng)

D.當(dāng)4WxW6時(shí)，f（x）No

≡.填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）

13.（5分）若向量嬴足Z=（CoS。，sinθ）（θ∈R）,∣fa∣=2,貝1]|2之一彳的取值范圍為.

14.（5分）己知雙曲線C：J∣-≤=l（α>0,fe>O）,直線x=b與C的兩條漸近線分別交

于B兩點(diǎn),過(guò)力作圓M：（x+2b）2+f=∕>2的切線，。為其中一個(gè)切點(diǎn)若M0=M*,

則C的離心率為.

15.（5分）將編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，

則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為.

16.（5分）在正方體/8CZ）-NlBiCI5中，AB=ZE,尸分別為棱力8,441的中點(diǎn)，則該

正方體被平面CEF所截得的截面面積為,四面體BCEF外接球的表面積

為.

四.解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分）

17.（10分）等差數(shù)列｛斯｝中，公差d≠0,a2=2,且“1，ai,3成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛”,,｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)Cn=求數(shù)列｛∕"Cn｝的前n項(xiàng)和Sn.

an+l

第3頁(yè)共20頁(yè)

18.(12分)已知4∕BC中，三內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,且滿(mǎn)足(sin8+sinC)

2=sin?/+SirLSSinC.

(1)求/；

(2)若b+c=6,Z?4SC的面積為2√5,求α.

第4頁(yè)共20頁(yè)

19.(12分)如圖，四棱錐P-NBCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為4√1點(diǎn)

G,E,F,，分別是棱P8,AB,CD,0C上共面的四點(diǎn)，BC〃平面GEFH.

(I)證明：GH//EFi

(Il)若E8=2,且二面角E-G7/-8大小為45°,求GB與平面GE/7/所成角的正弦

值.

第5頁(yè)共20頁(yè)

20.(12分)2019年11月5日至10日，第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行.某宣傳媒

體組織業(yè)內(nèi)人士對(duì)某型號(hào)智能機(jī)器人進(jìn)行評(píng)分，所得情況如圖所示：

(I)試估計(jì)業(yè)內(nèi)人士評(píng)分的平均數(shù)以及方差(用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)近似替代本組數(shù)

據(jù));

(II)為了調(diào)查評(píng)分與性別是否具有相關(guān)性，研究人員隨機(jī)抽取了60位參加評(píng)分的業(yè)內(nèi)

人士，其中男性與女性人數(shù)各一半，根據(jù)已知條件完成下面2X2列聯(lián)表，據(jù)此資料，是

否有90%的把握認(rèn)為評(píng)分的高低與性別有關(guān)?

分?jǐn)?shù)不低于60分低于60分合計(jì)

男性1630

女性1030

合計(jì)60

參考公式：(I)κ2=*g粽揭E，其中"=α+b+c+d?

222

(2)DX=(XI-EX)×pι+(X2-EX)Xp2+-+(XLEX)X/?,,.

參考數(shù)據(jù):

第6頁(yè)共20頁(yè)

Xy-√z

21.(12分)已知橢圓C：-7+72=1(α>?>0)的離心率為彳，橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)

αz?δ2

及上頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為√Σ-1.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

7

(Il)已知直線y=%(X-1)與橢圓C交于4B兩點(diǎn),若點(diǎn)。的坐標(biāo)為([,0),向：

是否存在左,使得凝?(?

>1?若存在，求出k的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第7頁(yè)共20頁(yè)

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=COScT.

(1)當(dāng)XeO時(shí)，設(shè)g(x)=/(X)+妥1,求y=g(X)(XeO)的最小值;

(2)求證：當(dāng)021,x20時(shí)，xeax^-χf(x)2x2+2∕"(x+l).

第8頁(yè)共20頁(yè)

2023年湖南省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分）

1.（5分）若iz=-3+2i（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的共軟復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：iz=-3+2i（其中i為虛數(shù)單位），

：.-i?iz=-i（-3+2?）j

?'?z=2+3i,

則復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)2-3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2,-3）位于第四象限.

故選：D.

2.（5分）在448C中，"A48C是鈍角三角形”是uCosC=ZsinJsinBv的（）條件.

A.必要不充分B.充要

C,充分不必要D.既不充分也不必要

【解答】解：在az5c中，已知"Z?Z3C是鈍角三角形”，

假設(shè)C為鈍角，則COSCV0,2siib4sin5>0,顯然“cosC=2sirt4sin8"不成立；

在△力8C中，又由CoSC=2sinJsin8,

可知-CoS（Z+8）=2SinJSin8,即CoS（A-B）=0,

此時(shí)有A-B=±今即/為鈍角或8為鈍角，從而a∕8C為鈍角三角形.

SC是鈍角三角形”推不出“cosC=2siMsin8”；

"cosC=2siMsinB"="Z?∕8C是鈍角三角形”

.?."A48C是鈍角三角形”是“cosC=2sio4sin8”的必要不充分條件.

故選:A.

3.（5分）設(shè)α=log25,?=521>C=0.25,則a,b,C的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>?

【解答】解：V2=log24<log25<log28=3,Λ2<t∕<3,

V52I>52=25,：.b>25,

VO<O.25<O.2O=1,Λ0<C<1,

：.b>ci>c,

第9頁(yè)共20頁(yè)

故選:B.

1?

4.（5分）若（-―AWX2）5（"7∈R）的展開(kāi)式中X5的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)M=（）

y/X

A.-2B.-1C.1D.2

15—k?.

【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為7λ÷l=C8丁）5飛-機(jī)χ2"=（力憶kχ-U→2k=

5√x5

f5k-5

（-m）kC紅F-,

,5∕c-5小

由一--=5,得左=3,

即74=系數(shù)為（-加）3。?=80,

得（-加）3=8,得-m—-2,得加=2,

故選：D.

5.（5分）甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）

Illl

A.—B?二C,一D.一

2346

【解答】解：三個(gè)人排成一排的所有情況有：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共6種，

其中乙在中間有2種，

.?.乙在中間的概率為尸U

故選：B.

6.（5分）若圓錐SOi,SO2的頂點(diǎn)和底面圓周都在半徑為4的同一個(gè)球的球面上，兩個(gè)圓

錐的母線長(zhǎng)分別為4,4√2,則這兩個(gè)圓錐公共部分的體積為（）

85656+16√3

A.-TTB.8πC.—TiD.------------π

333

【解答】解：易得S,Oi,02,。在同一條直線上，過(guò)該直線作出截面圖如圖所示.

小囪是圓錐Sol底面圓的直徑，血比是圓錐SO2底面圓的直徑，兩直徑都與OS垂直.

第10頁(yè)共20頁(yè)

在中，S∕ι=4,0∕ι=OS=4,則可得OOl=OIS=2.

在a042S中，SA2=4五,042=0S=4,則S4j=04g+0S2,則。42_LOS.

又OM2?LO25,所以點(diǎn)O,3重合.

這兩個(gè)圓錐共頂點(diǎn)且底面平行，故它們的公共部分也是一個(gè)圓錐，

其底面半徑為OIC=±0/2=2,高為OIS=2,

所以所求體積為V=^×π×22×2=∣π.

故選：A.

7.(5分)過(guò)拋物線∕=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)/作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)兒與準(zhǔn)

線在第三象限交于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)Z作準(zhǔn)線的垂線，垂足為若tanN4FH=2,則|需I=

543

--C-a2

A.4B.32

【解答】解：由題意如圖所示：設(shè)準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)f作FCJ_ZH交于C,

由拋物線的定義可知M用=X"∣,

所以NAHF=N4FH=a,/FAH=i=∕0FB,M=COS器。)=∕(占可'

l|_ICFl_∣CH"na_p?tana

14PLsin(π-2a)-sin(π-2oc)-sin(π-2aY

~AFtanatanatan2a-l

所以J?~~?L=---------=-------=--------=一3，

?BF?tan(π-2a)tan2a22

故選：C.

8.(5分)在下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)為()

A.ιy=sin∣2x∣B.y=∣cosx∣

TTπ

C.y=cos(2x+?)D.y=tαn(x—?)

第11頁(yè)共20頁(yè)

【解答】解：對(duì)于4y=sin∣2x∣不是周期函數(shù)，不滿(mǎn)足題意;

對(duì)于8,y=∣cosx∣是偶函數(shù)，且最小正周期為ιτ,滿(mǎn)足題意；

對(duì)于C,y=cos(2r+^)=-sin2r,不是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足題意;

對(duì)于。，y=tan(X—左)不是偶函數(shù)，不滿(mǎn)足題意.

故選：B.

二.多選題(共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分)

9.(5分)下列表示圖形中的陰影部分的是()

C.(AJB)∩(5UC)D.(Zn8)UC

【解答】解：圖中陰影部分表示元素滿(mǎn)足：

是C中的元素，或者是4與8的公共元素

故可以表示為CU(NCB)

也可以表示為：(ZUC)∩(BUC)

故應(yīng)為：CU(∕∩8)或(JUC)∩(BUC).

故選：AD.

10.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)=/(2-χ),當(dāng)-2WXWln寸，/(x)

1-X,0≤x≤l,,

,則r()

log2(-x)/-2≤X≤0

A.f(x)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱(chēng)

B./(x)不可能是周期為6的函數(shù)

37

c./(x)在區(qū)間(5,-)上單調(diào)遞增

D.不等式/(x)V-X的解集一定非空

【解答】解：函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)=∕(2-x),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng),

又［-2,1］區(qū)間長(zhǎng)度為3,所以/G)的周期可能是6的函數(shù),

第12頁(yè)共20頁(yè)

37

因?yàn)?(2)=/(0)=1,/(3)=/(7)=0,所以在區(qū)間(5,萬(wàn))上單調(diào)遞增是錯(cuò)誤

的，

設(shè)直線y=-X與函數(shù)y=log2(x-2)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為Xo，則由直線y=-χ與函

數(shù)y=log2(X-2)可知,

當(dāng)2<x<xo時(shí)，f(x)Ox恒成立，故不等式/(x)<-X的解集一定非空，

故選：AD.

11.(5分)已知S,是等差數(shù)列｛"”｝("∈N*)的前"項(xiàng)和，且S5>S6>S4,以下有四個(gè)命題，

其中正確的有()

A.數(shù)列｛a”｝的公差d<0

B.數(shù)列｛a,,｝中S,的最大項(xiàng)為SlO

C.5ιo>O

D.5n>0

【解答】解：已知S”是等差數(shù)列S"｝("∈N*)的前〃項(xiàng)和，且S5>S6>S4,

所以S6-S5VO，即。6<0，由于S6-S4>0,即45+α6>O,

對(duì)于/：所以。5>0，故公差d<0,故/正確，

對(duì)于5：由于45>0,a6<0,所以數(shù)列的｛α,J中S”的最大項(xiàng)為S5最大，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于c：Slo=弛竽=產(chǎn)?>0,故C正確，

對(duì)于。：由于SII=IMaljall)=IIa6<0,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.(5分)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，由4B,C,。四點(diǎn)所確定的''N型函數(shù)”指的是三次函數(shù)/

(x)-ax3+bx2+cx+d(α≠0),其圖象過(guò)Z,。兩點(diǎn)，且/(x)的圖象在點(diǎn)Z處的切線經(jīng)

過(guò)點(diǎn)8,在點(diǎn)。處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.若將由N(O,O),B(1,4),C(3,2),D(4,0)

四點(diǎn)所確定的“N型函數(shù)”記為y=/(x),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.曲線y=∕(x)在點(diǎn)。處的切線方程為>=-2x+8

1

B.f(X)=??(X-4)(X-8)

C.曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱(chēng)

D.當(dāng)4WxW6時(shí)，/(x)20

【解答】解：因?yàn)橹本€8的斜率為浮=—2,所以8的方程為N-O=-2(X-4),

第13頁(yè)共20頁(yè)

即y=8-2x,所以N正確；

因?yàn)?(x)的圖象經(jīng)過(guò)“(0,0),D(4,0),所以/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0,4,

故可設(shè)f(x)—X(X-4)(kx+m)(λ≠0)>f(X)—kx(X-4)+(kx+m)(2x-4),

由/(0)=4,f(4)=-2,可得Bi=-1,k=?,所以/(x)(x-4)(x-8),

B正確；

由/(X)4/(8-X)=0,所以曲線V=/■(X)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱(chēng)，C正確；

當(dāng)4WxW6時(shí)，有X-420,X-8≤0,所以/(x)≤0,即。不正確.

故選：ABC.

≡.填空題(共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分)

13.(5分)若向量;，Z滿(mǎn)足Z=(cosθ,sinθ)(θ∈R),?b?=2,則121一1的取俏范闈為10,

4]_.

【解答]解:向=1,而=2,設(shè)之與施夾角為ɑ,則：(2Z-芬=4a2+b2-4a-b=8-

Qcosa,

Va∈[0>π],/.0≤8-8cosa≤I6>

Λ0≤∣2a-b?<4,

.?.∣2;-&的取值范圍為[0,4].

故答案為：[0,4].

14.(5分)已知雙曲線C：J∣-≤=l(a>0,b>0),直線Lb與C的兩條漸近線分別交

于N,2兩點(diǎn)，過(guò)Z作圓M：(x+2b)2大“=房的切線，。為其中一個(gè)切點(diǎn)若M4=0用，

√22

則C的離心率為—丁

4

【解答】解：將Lb代入C的漸近線方程y=±自，得y=±a,則|幽=2〃.

不妨假設(shè)Z(b,。)，貝IJMDl=?/(e÷2fe)2+a2—h2=Vδh2÷a2.

b23

即--=-

因?yàn)镸9=∣∕8∣,所以√8i>2+a28

故e=

√22

故答案為：-—-

4

15.(5分)將編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空,

第14頁(yè)共20頁(yè)

6

則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為一二

【解答】解：要求每個(gè)盒子都不空，則3個(gè)盒子中所放小球的個(gè)數(shù)分別為3,1,1或2,

2,1則

若每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同，只能是2,2,1且放入同一盒子中的兩個(gè)

小球必須是一奇一偶，

屋。2/2Z-

則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為P=―T?=券，

A蚪+3.3

6

故答案為：—

16.（5分）在正方體∕8CO-ZIBICIDI中，AB=2,E,尸分別為棱/8,的中點(diǎn)，則該

9

正方體被平面CEF所截得的截面面積為_(kāi)萬(wàn)_,四面體BCEF外接球的表面積為

14π?

【解答】解：因?yàn)槠矫鍯EF與平面CDD。的交線為Co1，所以截面為四邊形CEQ

而四邊形CEEDl為等腰梯形，且CDl=2EF=2√Σ,CE=DlF=瓜

故其面積為一?X五=了

設(shè)線段CE的中點(diǎn)為G,四面體BCE/外接球的球心為O,

則OG，平面8CE.設(shè)球。的半徑為R,

則M=OG?+EG2=心+（OG-AF）2.

因?yàn)锳G2=（1+i）2+"=竽，EG2=新以O(shè)G=|,從而R2=OG2+EG2=?,

故球0的表面積為4πΛ2≈14π.

9

故答案為：14π.

四.解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分）

17.（10分）等差數(shù)列｛”“｝中，公差d≠0,a2=2,且αι,?3,。9成等比數(shù)列.

第15頁(yè)共20頁(yè)

(I)求數(shù)列S”｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)G=求數(shù)列｛∕"Cn｝的前n項(xiàng)和S.

an+ln

【解答】解：(I)依題意，ɑi,。3,。9成等比數(shù)列，

故Q；=QIa9，即(02+4)2=(。2-d)(a2+7d),

:42=2,.?.(2+d)2=(2-d)(2+7d),

整理，得屋-d=0,

解得d=l,或d=0(舍去)，

/.a?=a2-d=2-1=1.

?.?數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為〃〃=〃，"∈N*.

(II)由(I),得Cn=而￥],

故lncn==Inn-ln(n+1),

.*?Sn=InCl+∕nC2+…/”Cn

=Inl-In2+ln2->3+…-In(〃+1)

=ln?-In(〃+1)

=Tn(Λ+1).

18.(12分)已知△力BC中，三內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為。，h,α且滿(mǎn)足(sin^+sinC)

2=sin2τ4+sin5sinC.

(1)求出

(2)若6+c=6,Z?∕8C的面積為2百，求

【解答】解：(1),：(sin5÷sinC)2=sin2^+siιιδsinC.

由正弦定理得(b+c)2=a2+bc,即b2+c2-a2=-be,

*?cosA=-2，.*?A=-?-.

(2)VSΔABC=^bcsinA=孚be=2√3,

222

:?bc=8,結(jié)合6+c=6,(b+c)=a+bcfΛα=28.

Λα=2V7.

19.(12分)如圖，四棱錐尸-48。的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為4√1點(diǎn)

G,E,F,修分別是棱P5,AB,CD,PC上共面的四點(diǎn)，BC〃平面GEFH.

(I)證明：GH//EF；

第16頁(yè)共20頁(yè)

(II)若E8=2,且二面角E-GH-8大小為45°,求GB與平面GEF”所成角的正弦

值.

【解答】解：(I)，；BC〃平面GEFH,面PBCC面GEFH=GH,：.BC〃GH,

同理，由面/8CErl面GE"/=E凡WBC//EF,JGHHEF.

(II)取8C,4。的中點(diǎn)M,N,設(shè)MNCEF=I,PMCGH=J,

"：BCLMN,BCIPM,旦GH〃BC,

：.GHlMN,GHLPM,.?.G∕ΛL面PAfN

：.GHLlJ,；.NMJ/=45°即為二面角E-G"-8的平面角.

又PN=PM=√PP2-BM2=4√2,MN=8,

.".PM2+PN2^MN2,

：.NPMN=NPNM=45°,為等腰直角三角形，且JM=2√Σ=*PM,

故G,H分別為PB,PC的中點(diǎn)，：.GB=2√3,"：IMLIJ,EB//IM,

：.EBA.IJ,又EBLEF,：.E8J_面GEFH,

：.ZBGE是直線GB與平面GEFH所成的角，

SinNBGE=鄢?.

20.(12分)2019年11月5日至10日，第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行.某宣傳媒

體組織業(yè)內(nèi)人士對(duì)某型號(hào)智能機(jī)器人進(jìn)行評(píng)分，所得情況如圖所示：

第17頁(yè)共20頁(yè)

(I)試估計(jì)業(yè)內(nèi)人士評(píng)分的平均數(shù)以及方差(用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)近似替代本組數(shù)

據(jù))；

(II)為了調(diào)查評(píng)分與性別是否具有相關(guān)性，研究人員隨機(jī)抽取了60位參加評(píng)分的業(yè)內(nèi)

人士，其中男性與女性人數(shù)各一半，根據(jù)已知條件完成下面2X2列聯(lián)表，據(jù)此資料，是

否有90%的把握認(rèn)為評(píng)分的高低與性別有關(guān)？

分?jǐn)?shù)不低于60分低于60分合計(jì)

男性1630

女性1030

合計(jì)60

參考公式：⑴蜉=其中"=α+b+c+d?

222

(2)DX=Cxi-EX)×pι+(XI-EX)×p2+-+(Xn-EX)×pn.

參考數(shù)據(jù)：

P(K22左)0.150.100.0500.025

k2.0722.7063.8415.024

O20406080100X

【解答】解：(I)依題意，所求平均數(shù)為30X0.1+50X0.3+70X0.4+90X0.2=3+15+28+18

=64,

方差為(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2X0.2=

115.6+58.8+14.4+135.2=324.

(II)由題意完善2義2列聯(lián)表如下：

分?jǐn)?shù)不低于60分低于60分合計(jì)

男性141630

第18頁(yè)共20頁(yè)

女性102030

合計(jì)243660

2

.Hi_60×(14×20-10×16)_IO-?n，

-K―—24x36x30x30---9-2?zυ°,

.?.沒(méi)有90%的把握認(rèn)為評(píng)分的高低與性別有關(guān).

%VVZ

21.(12分)已知橢圓C：^2÷^2=1(a>6>0)的離心率為三，橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)

及上頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為√∑-1.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

_7

(II)已知直線y=kG-1)與橢圓C交于48兩點(diǎn)，若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(70),向：

是否存在鼠使得凝?(?

>1?若存在，求出A的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(I)設(shè)橢圓C的半焦距為c.

r??∕2

由題意可知一==即CI2=2C1,代人a2=b2+c2,得b2=c2.

a2

所以a—√2c,b=c.

又5(α-c)b=yfi-1,

將Q=√2c,b=c代入解得C=√2.

所以a2=4,P=2,

/2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為了+-y=1.

42

y

(∏)直線y=k(X-I)與橢圓方程聯(lián)立方程組得f7=":一D'

U2+Iy2=4,

消去y得(l+2?2)X2-4?2X+2?2-4=0,(*)

設(shè)A(x