深入理解數(shù)值計算網(wǎng)格(全篇)1.網(wǎng)格介紹網(wǎng)格(Mesh)在數(shù)值計算中有著舉足輕重的作用。主流的數(shù)值仿真方法諸如有限元，有限體積，有限元，邊界元都是以網(wǎng)格為計算對象。而差分法等，時域有限差分等也是以網(wǎng)格(Grid)點為計算對象。什么是好網(wǎng)格？網(wǎng)格的好壞直接決定了仿真計算能否成功，以及正確性，精度，性能。簡單的說就是盡可能用最少的網(wǎng)格，最真實的反應(yīng)物理量的變化規(guī)律。常見的網(wǎng)格種類：1.

三角形(Triangle)

以上圖形從左往右分別為左>0階一次單元，3個頂點，3條邊中>1階二次單元，6個頂點，3條邊右>拉格朗日1階二次單元，6個頂點，6條邊以下單元類型可以類推2.四邊形(Quadrilateral)

3.四面體(Tetrahedron)

4.六面體(Hexahedron)

5.金字塔單元(Pyramid)

6.

楔形單元(Wdge)

網(wǎng)格的分類：網(wǎng)格對應(yīng)的英文有兩個Mesh和Grid，Grid的基本意思為格子，即四四方方非常規(guī)整的網(wǎng)格。對于Mesh，我們通常分為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。理解很簡單，除了四邊形和六面體是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，其它都是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。對于Grid，通常情況下我們用作有限差分方法的網(wǎng)格。高階單元：除了上述我們提到的0階1次單元以及1階2次單元，在數(shù)值計算上還有更高階的單元。高階單元在數(shù)值計算上具有更高的精度，當(dāng)然也會帶來更大的計算量。在所有物理場的數(shù)值計算中，通常情況下1階2次單元具有較好的性價比，即在精度和計算時間上有比較好的平衡。以電磁矢量棱邊3維四面體單元為例，其基函數(shù)自由度DOF與階次的關(guān)系為：DOF=

(n+1)(n+3)(n+4)/2;

n為階的數(shù)值n=0時，DOF=6n=1時，DOF=20n=2時，DOF=45n=5時，DOF=216以電磁矢量棱邊3維六面體單元為例，其基函數(shù)自由度DOF與階次的關(guān)系為：DOF=3(n+1)(n+2)(n+2)n=0時，DOF=12n=1時，DOF=54n=2時，DOF=144n=5時，DOF=882也就是說對于5階的六面體單元，其一個單元的剛度矩陣可達882*882，對于開發(fā)驗證，復(fù)雜度遠遠高于常用的0階和1階單元。幾何和網(wǎng)格在網(wǎng)格之前，我們通常拿到的都是幾何數(shù)據(jù)，比如BREP結(jié)構(gòu)，STL面片結(jié)構(gòu)，或者參數(shù)化的幾何結(jié)構(gòu)。幾何離散成的三角形稱之為“面片”，非網(wǎng)格，大部分顯示引擎底層都使用三角形來渲染對象，因此2維、3維幾何都需要三角化（稱之為“面片化”），比如一個長方體共有6個面，每個面需要離散成兩個三角形，總共12個三角形。這12個三角形我們稱之為12個“面片”，而非網(wǎng)格！一般情況下“面片”質(zhì)量很差?！懊嫫庇袃蓚€功能：一是用來做顯示渲染數(shù)據(jù)；二是可以作為網(wǎng)格劃分的輸入數(shù)據(jù)，用來生成面網(wǎng)格。對于隱式曲線曲面，需要設(shè)置合適的離散參數(shù)，從網(wǎng)格端進行解析。有限元方法中的單元和網(wǎng)格網(wǎng)格是幾何上的概念，單元則是數(shù)值方法中的概念。彈簧只能在一個方向上發(fā)生變形，是典型的1維單元；同理殼單元（shell）需要XY兩個方向來定義，是2維單元；四面體，六面體是3維單元，也稱為實體單元；對象可以看做質(zhì)點的為0維單元，比如稱之為“定樓神球"的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器。網(wǎng)格生成算法網(wǎng)格生成算法無論是在理論還是實際應(yīng)用中都比較成熟，后續(xù)將會詳細介紹。在這個領(lǐng)域很難有顛覆式的發(fā)展，未來網(wǎng)格底層生成算法可以和實際工業(yè)應(yīng)用更加緊密結(jié)合，優(yōu)化網(wǎng)格生成效率。

--------------------------------------------2.結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成算法結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格主要指四邊形和六面體

常用四邊形網(wǎng)格

常用六面體網(wǎng)格在實際應(yīng)用中，一方面結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在形函數(shù)基函數(shù)計算，等參變換，處理模型，模型編輯上有優(yōu)勢，比如網(wǎng)格分割，組合，沿固定方向加密，還可以方便拆成非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格；另一方面，對于不太規(guī)則額的幾何體，自動生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格比較困難，需要大量的人工干預(yù)。所以在通用有限元分析中一般優(yōu)先推薦結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，另外CFD分析中，六面體網(wǎng)格天然適用流體的有限體積計算方法，也是首選。1.最簡單的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格方法是掃掠。對于三維，選中一個面，劃分四邊形，然后沿另一維度掃掠生成六面體。這種方法需要用戶手工參與，且對幾何有一定要求，掃掠生成的網(wǎng)格質(zhì)量一般都比較好。除了單向掃掠，實際算法中會有多軸掃掠。掃掠的改進方法即類似于在掃掠方法漸進的波前法，又叫plastering方法。2.結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成算法中，有一種間接生成方法，即首先創(chuàng)建非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，再合并。比如二維網(wǎng)格中先產(chǎn)生三角形，然后三角形兩兩組成一個四面體。六面體則是先生成四面體，然后組裝六面體。這種方法又叫Morph算法。3.由于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格有比較好的邊界特性，所以多塊(MultiBlock)劃分也是常用的方法。即首先將幾何區(qū)域分成子區(qū)域，在子區(qū)域里分別劃分網(wǎng)格，再進行合并。比如生成六面體，一般會將空間進行八叉樹劃分，在每個八叉樹子節(jié)點內(nèi)進行劃分，但這種方法需要處理邊界，優(yōu)化邊界網(wǎng)格的質(zhì)量。4.WhiskerWeaving是一種基于拓撲連接的自動六面體生成算法。首先在邊界上生成四邊形，然后以四邊形為輸入采用波前法推進在三維模型內(nèi)部建立六面體的對偶表達，根據(jù)對偶表達生成六面體。全自動的六面體網(wǎng)格生成仍然是網(wǎng)格生成的難點。考慮到結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成的工程復(fù)雜性，本文僅對生成算法做基本介紹。通用前處理軟件以及各種仿真軟件中都會提供結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格功能，但全自動的網(wǎng)格質(zhì)量一般都不會太好，需要一定的手工操作。網(wǎng)格優(yōu)化網(wǎng)格生成之后，最后需要優(yōu)化網(wǎng)格質(zhì)量，常見的幾種質(zhì)量優(yōu)化方法：1.移動頂點位置移動頂點位置，讓和頂點關(guān)聯(lián)的單元質(zhì)量都能改進2.移除頂點(通常說的edgecollapse)

3.交換邊

4.交換面(同交換邊)

5.分解邊即將一條長邊分解成兩條短邊最后說一下網(wǎng)格的并行計算，網(wǎng)格并行主要有兩點：一是幾何模型的分解或者網(wǎng)格模型的分解；二是網(wǎng)格的拼接。這兩點做好后，網(wǎng)格大規(guī)模并行計算基本沒什么問題。現(xiàn)在的分布式計算和并行計算工具已經(jīng)非常成熟，可以拿來直接使用。3.非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成算法通常說的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格主要指非四邊形和六面體網(wǎng)格，包含三角形，四面體，楔形，金字塔等，在實際應(yīng)用中最常用的還是三角形和四面體。本文也主要介紹三角形和四面體的生成算法。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格自動生成主要包含三種方法：1.Delaunaymethod（關(guān)于此方法的漢語翻譯特別雜，不建議用中文翻譯）2.Advancing-Frontmethod（波前法）3.Spatialdecompositionbasedmethod（基于空間分解方法）1.Delaunaymethod生成三角形最常用的方法是Delaunay方法，也是所有網(wǎng)格生成算法中的最“基礎(chǔ)方法”，在很多開源軟件中都有其方法的實現(xiàn)。Delaunay三角網(wǎng)格定義：平面上的點集P是一種三角剖分，使得P中沒有點嚴(yán)格處于剖分后中任意一個三角形外接圓的內(nèi)部。簡單講，給出一堆離散點，Delaunay網(wǎng)格是滿足所有網(wǎng)格質(zhì)量最好的網(wǎng)格。Delaunay方法目前有很多改進方法，只介紹其中最基礎(chǔ)的一種方法:逐點插入法生成算法：1.給出一堆離散點，初始化三角形鏈表2.給出一個大三角形包含所有離散點3.計算三角形鏈表中的每一個三角形的外接圓圓心和半徑4.如果點在已知三角形外接圓內(nèi)，則把三角形的三條邊加入到邊數(shù)組中，在三角形鏈表中刪除該三角形5.刪除所有重復(fù)的邊，重復(fù)步驟36.用點和邊數(shù)組中的每條邊都組合成一個三角形，加入到三角形鏈表中，重復(fù)步驟2

Delaunay網(wǎng)格插入點UML活動圖作為基礎(chǔ)的網(wǎng)格生成算法，Delaunay不僅支持二維，而且也支持三維。在三維計算中，只需將外接圓的判斷改為外接球的判斷即可。2.Advancing-Frontmethod（波前法）Advancing-Front方法又叫波前法，前沿推進法等。其核心思想是沿著原始的網(wǎng)格邊界生成網(wǎng)格，然后逐步推進生成，類似于波浪向未劃分網(wǎng)格區(qū)域前進，直到所有區(qū)域被網(wǎng)格填滿。波前法思路清晰，尤其適用于已知邊界的情況，其網(wǎng)格屬性在生成過程中可以動態(tài)調(diào)整，控制性好，最終生成的網(wǎng)格質(zhì)量也比較好，是生成非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的基礎(chǔ)算法之一，同時Advancing-Front方法的經(jīng)過改進，也適用于四邊形和六面體等結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成。經(jīng)典的波前法對二維從一組邊開始，對三維從一組三角形面開始。以二維為例，網(wǎng)格生成策略一方面逐個單元逐個單元生成，創(chuàng)建插入新點和新單元，同時新的單元和之前的單元保持連通性。算法的一個關(guān)鍵點是如何插入新的點，新的單元需要滿足網(wǎng)格尺寸和單元質(zhì)量要求，波前法的一個優(yōu)勢是啟發(fā)式（heuristic）算法，可以生成高質(zhì)量，梯度可控的網(wǎng)格。相比其它算法，邊界的完整性可以得到保證。其不足是在三維方法時，有可能出現(xiàn)不收斂的情況，即有些區(qū)域很難完全填充網(wǎng)格。波前法的典型流程：定義網(wǎng)格輸入數(shù)據(jù)和參數(shù)，包括整幾何區(qū)域，邊界，網(wǎng)格尺寸，網(wǎng)格梯度離散邊界從邊界任意位置開始，逐步插入點，形成單元，迭代指導(dǎo)求解區(qū)域被網(wǎng)格填滿在這個過程中，如何插入點和形成單元是算法最核心的部分，其涉及到：前進方向的單元選擇前進分析以及定義最優(yōu)點需要考慮的各種可能性單元構(gòu)建有效性分析選擇合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相比較其它方法，波前法在三維實現(xiàn)上要遠遠高于二維。三維需要考慮更多的因素和特殊情況，同時在算法效率上，三維的要求也更高。3.Spatialdecompositionbasedmethod（基于空間分解方法）基于空間分解方法相對簡單，主要用到空間樹結(jié)構(gòu)，即二維四叉樹和三維八叉樹。以平面四叉樹為例：根據(jù)幾何對象，創(chuàng)建合適的樹邊界根據(jù)對象點的分布，創(chuàng)建四叉樹結(jié)構(gòu)在每個四叉樹內(nèi)部，利用四叉樹的邊和點，生成網(wǎng)格調(diào)整網(wǎng)格，使其滿足網(wǎng)格質(zhì)量要求和梯度分布一個典型的例子如下：

對于使用四叉樹和八叉樹方法生成網(wǎng)格，兩個核心點：動態(tài)生成不平衡的樹，即每個同級的樹結(jié)點數(shù)目并不相同；在樹結(jié)點內(nèi)部選擇合適的算法生成初始網(wǎng)格筆者在幾何，圖形，網(wǎng)格，求解器開發(fā)中，都較多的使用到了八叉樹結(jié)構(gòu)，八叉樹結(jié)構(gòu)可以說是一種基礎(chǔ)性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和方法。三種方法生成的網(wǎng)格比較：

np為點的數(shù)目，ne為單元的數(shù)目，Qm為網(wǎng)格的質(zhì)量，Qworst為最差的網(wǎng)格質(zhì)量

圖片從上往下方法分別是：四叉樹,波前法,Delaunay

圖片皆來自于書

MeshGeneration(ApplicationtoFiniteElements)，考慮到網(wǎng)格參數(shù)設(shè)置的差異，重點關(guān)注網(wǎng)格質(zhì)量和分布在實際應(yīng)用中，三種方法并不是獨立存在，經(jīng)常會有方法混用的情況，比如在CFD網(wǎng)格中，不同區(qū)域采用不同的網(wǎng)格策略，可能效率和穩(wěn)定性更好。4.萬能的四面體在三維分析中經(jīng)常用到四面體，六面體，金字塔等三維實體網(wǎng)格，其中四面體因為其容易自動化生成，適應(yīng)性好，數(shù)值計算方便等優(yōu)點，在多物理場三維有限元分析中得到廣泛應(yīng)用。幾何特點

通常我們拿到四面體的是四個點的坐標(biāo)，利用點可以計算出邊，面的數(shù)據(jù)，在計算中要保持?jǐn)?shù)據(jù)的一致性，即點，邊，面的順序要有固定規(guī)律。以面為例，通常按照右手規(guī)則，三點順序連接成面的法向量要一致朝外。四面體計算中經(jīng)常要用到任意四面體的體積和四面體角度以上指標(biāo)的計算方法C++源碼可在下方資源下載

網(wǎng)格質(zhì)量評估除了常見的最大邊，最小邊，最大角，最小角等。還有以下四種評估指標(biāo)：1.Aspectratio：取得最大的邊長A，取得最短的高度H（高度定義為一個頂點到對面的距離）。最大邊長除以高度：A/H即為AspectRatio2.坍塌比：計算公式：(H/Sqrt(A))/2.14H為頂點到對面的高度，A為頂點對面的三角形面積，坍塌比范圍為0到1,1是正四面體，0為完全坍塌3.二面角六條邊，每條邊關(guān)聯(lián)兩個面的夾角，總共有六個角通常取最大最小的二面角評估網(wǎng)格質(zhì)量4.扭曲度：單元體積與相同大小外接球條件下的理想四面體體積之比計算公式：實際體積/理想體積正四面體值為1常見的四面體幾何錯誤包括：1.自由點，邊，面，2.重復(fù)的點，邊，面和實體3.四點共面4.相鄰兩點距離或Aspectratio超過數(shù)值計算誤差對于高階單元，四面體網(wǎng)格的幾何和質(zhì)量計算方法相同。網(wǎng)格質(zhì)量是如何影響仿真精度的幾乎所有書籍解釋就是網(wǎng)格質(zhì)量差，會造成誤差大，計算精度不夠。但其實網(wǎng)格真正對仿真精度的影響來自兩方面：網(wǎng)格密度和網(wǎng)格分布?？匆粋€場景：假設(shè)現(xiàn)在網(wǎng)格已經(jīng)最優(yōu)，達到最理想狀態(tài)，我們將其中兩個相鄰網(wǎng)格加密，使其網(wǎng)格質(zhì)量變差，但其實仿真精度并不受影響，只是網(wǎng)格分布變差，網(wǎng)格密度增加。換句話說，除去數(shù)值計算誤差，網(wǎng)格質(zhì)量并不直接影響仿真精度！而是差質(zhì)量的網(wǎng)格造成網(wǎng)格整體密度不夠和分布不合理！自由度在網(wǎng)格技術(shù)中，我們經(jīng)常提到自由度，其實自由度是有限元的概念，而非網(wǎng)格，自由度是在單元上的一種屬性。一個自由度表示一個計算變量。比如熱分析單元每個頂點上只有一個自由度，即溫度；而位移則至少有XYZ三個自由度，考慮到旋轉(zhuǎn)，則有更多自由度；電磁場至少有電場XYZ，磁場XYZ六個自由度。此外對于相同拓撲的網(wǎng)格類型，也可以根據(jù)自由度的個數(shù)來定義不同的單元，比如四面體單元在ANSYS中至少有Solid185，Solid187，Solid92等。形函數(shù)求解應(yīng)力應(yīng)變，以節(jié)點位移為形函數(shù)參數(shù)的單元：一次線性單元和二次曲線單元其中L為體積坐標(biāo)，三維單元的體積坐標(biāo)可以參考任意一本有限元理論方面的書籍。

三次高階四面體單元

以上圖片來自于朱伯芳《有限單元法原理與應(yīng)用》電磁矢量四面體單元

電磁矢量四面體單元高階形函數(shù)

圖片來自于金建銘

《TheFiniteElementMethod

inElectromagnetics》四面體和六面體之爭之前看過很多關(guān)于六面體和四面體的爭論，大意上是說六面體要優(yōu)于四面體，在網(wǎng)格選擇上盡可能使用六面體。從有限元理論上看，六面體確實只需比四面體更少的網(wǎng)格，就能達到更高的精度。但是對于實際工程中的模型，一方面自動化六面體生成和加密都比較困難，需要更多的手工操作，耗時耗力；另一方面六面體在很多計算中有更多限制和要求，比如自鎖沙漏等現(xiàn)象，要人為加密網(wǎng)格或者縮減積分，需要一定的工程經(jīng)驗；最后各個領(lǐng)域的要求不太一樣，一般CFD流體計算中六面體偏多，在無法生成六面體的地方需要混合四面體網(wǎng)格，熱仿真對網(wǎng)格拓撲要求不高，電磁很少用到六面體，一般的爭論在結(jié)構(gòu)仿真中，而結(jié)構(gòu)仿真大多一般用1,2維單元，體單元在局部位置分析較多。綜上所述，其實并不存在六面體和四面體哪個更好的問題，只是對于實際的工程問題，基于工程師的的經(jīng)驗，計算資源，仿真類型，需要選擇合適的單元。主流開源，商業(yè)網(wǎng)格引擎都提供了對四面體的支持。包括GMsh，Netgen，tetgen，phg，CGAL，VKI，meshgem，Simmetrix等等。另外有過一份關(guān)于全球公開的四面體網(wǎng)格開源和商業(yè)軟件的總結(jié)，并不是最新。復(fù)制鏈接到瀏覽器中查看：http://www.robertschneiders.de/meshgeneration/software.html5.網(wǎng)格參數(shù)網(wǎng)格參數(shù)是網(wǎng)格的一個重要因素，包括網(wǎng)格生成策略，網(wǎng)格生成參數(shù)，網(wǎng)格屬性，以及網(wǎng)格質(zhì)量評價參數(shù)。除了之前介紹的網(wǎng)格生成算法，網(wǎng)格參數(shù)決定了網(wǎng)格數(shù)據(jù)的最終質(zhì)量，密度，梯度等指標(biāo)，也直接決定了網(wǎng)格能否劃分成功。這也是數(shù)值計算網(wǎng)格和幾何三角化最大差別所在。1.網(wǎng)格生成參數(shù)網(wǎng)格生成參數(shù)涉及到網(wǎng)格生成時采用的參數(shù)，每一個參數(shù)都有以下方面的內(nèi)容：1.參數(shù)內(nèi)容--在網(wǎng)格劃分中需要取得的具體數(shù)據(jù)2.參數(shù)屬性--參數(shù)的屬性提供了網(wǎng)格的各種屬性，這些屬性給網(wǎng)格劃分中各種策略處理提供依據(jù)3.優(yōu)先級--優(yōu)先級則是在和其它參數(shù)相互沖突時，如何處理以我們最常見的網(wǎng)格尺寸為例。1.參數(shù)內(nèi)容：用來指定使用的網(wǎng)格尺寸大??；2.參數(shù)屬性：指定是整體尺寸，還是局部尺寸；是絕對尺寸還是相對尺寸；尺寸的單位；是否是指定幾何對象或特定屬性的尺寸等等3.優(yōu)先級：一般來說，局部尺寸優(yōu)先級高于整體尺寸，網(wǎng)格尺寸優(yōu)先級高于指定的網(wǎng)格數(shù)量。所有的軟件網(wǎng)格劃分參數(shù)都是以這些為基礎(chǔ)，在上層應(yīng)用中給出部分接口和參數(shù)設(shè)置，或者根據(jù)經(jīng)驗進行優(yōu)化組合后暴露給用戶少量接口，比如各種軟件中的smartmeshsize。最常見的網(wǎng)格參數(shù)為1.整體網(wǎng)格尺寸整體網(wǎng)格尺寸指定方式通常有：1.1.直接指定全部整體網(wǎng)格尺寸；2.1.指定模型對角線百分比，單一幾何模型，如果不給出任何參數(shù)，通常取模型包圍盒對角線一定比例為整體網(wǎng)格尺寸參數(shù)；3.1.系統(tǒng)會根據(jù)模型幾何數(shù)量，大小，給定一個默認(rèn)參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，用戶可以進行修改；4.1.分級設(shè)置，按照尺寸比例按照區(qū)間分級設(shè)置，比如1-5級。2.局部網(wǎng)格尺寸局部網(wǎng)格尺寸用來指定某些特定區(qū)域和幾何上的網(wǎng)格尺寸，比如邊界，激勵，荷載，或者物理場梯度大的地方。局部網(wǎng)格尺寸的好處在于避免全局網(wǎng)格加密，在保證精度的前提下減少網(wǎng)格數(shù)量3.增長率網(wǎng)格增長率表明了相鄰網(wǎng)格尺寸變化程度，是控制網(wǎng)格質(zhì)量的一個重要指標(biāo)。增長率為1表面網(wǎng)格尺寸沒有變化。增長率一般控制在2，不會超過4，不同類型網(wǎng)格設(shè)置稍微有些偏差。當(dāng)我們設(shè)置的局部尺寸通常會小于全局尺寸，在不同尺寸網(wǎng)格之間存在一個過渡，這個過渡要盡量平滑，避免突變，如圖。

FasModal中的局部網(wǎng)格尺寸設(shè)置4.階數(shù)控制高階網(wǎng)格需要增加新點，并且涉及到網(wǎng)格重編號。5.弦高用來指定曲線曲面離散的最大弧長與高度之比6.跨度角指定曲面生成的單元之間的面面角度(二面角))7.網(wǎng)格層數(shù)控制在CFD，復(fù)合材料等領(lǐng)域，需要明確的設(shè)置邊界上的網(wǎng)格層數(shù)，比如流體的邊界層8.設(shè)置硬點（fixed/hardpoint）我們往往希望在某些特點的區(qū)域布置網(wǎng)格，但又不希望在幾何上進行操作，可在網(wǎng)格中布置硬點，所謂的硬點即一定會出現(xiàn)在網(wǎng)格單元的節(jié)點列表里。除了直接布點，還可以在邊，面上有規(guī)律的設(shè)置點，比如在邊上呈等比增加設(shè)點，也就是通常所說的布種子(seeding)。9.網(wǎng)格加密網(wǎng)格加密是在已有網(wǎng)格的基礎(chǔ)上進行細化操作，涉及到網(wǎng)格修改，編輯，刪除等操作，參考深入理解數(shù)值計算網(wǎng)格(8)--自適應(yīng)迭代網(wǎng)格2.網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中除了基本的單元設(shè)計，還有一個非常重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：網(wǎng)格管理結(jié)構(gòu)類該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中存儲了網(wǎng)格的拓撲信息，還有相鄰的拓撲連接信息，比如單元的相鄰點線面和相鄰單元，點的相鄰單元，面的相鄰單元，每個單元和點線面上的材料屬性，邊界荷載信息，歷史記錄，還有網(wǎng)格合并，加密，自由度計算等，是網(wǎng)格功能開發(fā)中的重點，后續(xù)在商業(yè)開發(fā)中詳細介紹。3.網(wǎng)格質(zhì)量評價網(wǎng)格質(zhì)量分為單個網(wǎng)格質(zhì)量和整體網(wǎng)格質(zhì)量單個網(wǎng)格質(zhì)量控制包括：最大角度最小角度最小邊最大邊Aspectratio--最長邊與最短邊之比（不同類型單元有不同計算方法）扭曲比二維和三維，三角形和四邊形，四面體和六面體分別有不同的評價指標(biāo)AspectRatio是比較通用的網(wǎng)格質(zhì)量評價指標(biāo)。整體網(wǎng)格質(zhì)量包括數(shù)量，密度，單個網(wǎng)格質(zhì)量的統(tǒng)計分類，與物理場梯度映射程度等等。這些都有比較成熟的統(tǒng)計方法。4.網(wǎng)格策略主要涉及到采用什么樣的方法生成網(wǎng)格，這個一方面和模型幾何有關(guān)，和仿真業(yè)務(wù)也緊密相關(guān)。比如對于規(guī)則的長方體，可以采用映射法直接劃分六面體，對于異形幾何，只能采用自由劃分四面體。一般只有通用有限元軟件中會涉及到網(wǎng)格策略的選擇，專業(yè)軟件中會把網(wǎng)格策略設(shè)置好，只在高級選項中出現(xiàn)，一般情況無需用戶干預(yù)。6.理解高階單元“由于高階數(shù)值計算復(fù)雜性，目前大部分商業(yè)軟件網(wǎng)格都是線性單元（0階）或者二次單元（一階）。實際上高階網(wǎng)格（也就是常說的P單元）在處理復(fù)雜幾何上更具優(yōu)勢，適當(dāng)?shù)脑O(shè)置網(wǎng)格參數(shù)，只需更少數(shù)量的網(wǎng)格，無需迭代，就能獲得更好的數(shù)值計算解，期待未來在高階領(lǐng)域有更多實際應(yīng)用。”

----仿真軟件十年回顧和展望(整理版)關(guān)于高階單元，之前的文章有過很多介紹。當(dāng)網(wǎng)格密度偏小，計算精度不夠的時，可以通過兩種方法提高精度，一種是加密網(wǎng)格（h單元方法），另一種是提升網(wǎng)格的階次(p單元)，不再多描述。下面主要介紹高階單元的一些特點和實現(xiàn)1.單元劃分和生成0階單元，1階單元的網(wǎng)格幾何信息并沒有改變，也就是說原來的點，邊，面的位置沒有發(fā)生改變。區(qū)別在于高階單元的邊或者面上點的增加。對于網(wǎng)格劃分來講，難度并沒有變化，區(qū)別只是在已有單元的邊上再加點。如果單元編號約定規(guī)則，把線性單元變成高階單元在求解器階段進行也可以。但考慮到模塊解耦和功能獨立性，一般還是把高階網(wǎng)格的創(chuàng)建放在網(wǎng)格生成階段。

左為線性六面體單元，右為曲線六面體單元在實際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)有些軟件將線性單元（即三角形單元中僅有三個頂點）描述為1階單元，有些描述為0階單位，在溝通中造成了歧義。為了避免歧義，統(tǒng)一將頂點僅在邊兩端的單元（三角形三個頂點）稱為線性單元，將邊中間有點的單元稱為曲線單元。

2.高階單元計算精度和計算資源高階單元之所以能提高精度，簡單理解就是高階單元使用的多項式變量次數(shù)更高，表達式更豐富，有能力更精準(zhǔn)的反應(yīng)單元內(nèi)部物理量的變化。大部分物理場的本構(gòu)方程為二階偏微分方程，或者可以轉(zhuǎn)為二階偏微分方程。高階單元的基函數(shù)和形函數(shù)偏導(dǎo)后仍然能保證單元內(nèi)部的非線性！精度的提高的代價是計算量的快速增加，尤其是矩陣規(guī)模的增加

電磁六面體單元自由度數(shù)目隨階數(shù)變化3.高階單元實現(xiàn)高階單元實現(xiàn)有兩種，一種是直接使用點插值的基函數(shù)方法，另一種是使用結(jié)構(gòu)化組合基函數(shù)。兩種方法都基于線性單元，區(qū)別點在于第一種方法由單元上的一系列點來定義，高階單元由增加插值點構(gòu)成，因此在各個維度都有較好的獨立性，且生成的剛度矩陣在預(yù)條件處理上有優(yōu)勢。多項式的每個表達式的系數(shù)有較好的物理含義，并且在邊界上有較好的表達。不同階數(shù)的單元有相同的統(tǒng)一表達式，代碼更方便實現(xiàn)。結(jié)構(gòu)化組合基函數(shù)是由在低階基函數(shù)的基礎(chǔ)上乘以或加上新的函數(shù)。這樣做的好處是在同一模型中可以使用不同階的基函數(shù)，實現(xiàn)上靈活，但也增加了復(fù)雜度。在實際研發(fā)中，更多的是采用第一種方法插值基函數(shù)的高階單元?；旌蠁卧邢拊葦?shù)值方法是在全局進行計算，所以可以在網(wǎng)格不容易生成的地方采用高階單元，其它地方使用低階一般單元，發(fā)揮各自的優(yōu)點。大部分有限元軟件都支持高階單元，在工程應(yīng)用中，碰到網(wǎng)格劃分困難，網(wǎng)格質(zhì)量差，使用低階單元收斂困難，且計算資源沒有瓶頸的情況下可以嘗試使用高階單元。7.幾何與網(wǎng)格我們知道網(wǎng)格的輸入為幾何數(shù)據(jù)，幾何數(shù)據(jù)可以是參數(shù)化數(shù)據(jù)，BREP結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，或者其它任意形式定義的數(shù)據(jù)。1.網(wǎng)格加密和幾何在劃分網(wǎng)格的時候，需要將其離散化分成多段。如圖，圓被離散成多條直線。如果在網(wǎng)格加密過程中，需要繼續(xù)對圓弧進行加密時，沒有原始幾何信息，我們將只能加密在22條直線上，而無法將圓離散成更多的邊。實際應(yīng)用中，對圓弧網(wǎng)格尺寸加密是要求將其離散的更密集，而非在離散的邊上加密。

2.共形網(wǎng)格與幾何在三維接觸碰撞，CFD，復(fù)合材料，多物理場耦合領(lǐng)域分析中，需要將不同屬性，不同材料對象放在一起分析。在網(wǎng)格上需要將之前對象屬性保留。這就會碰到一個難題：如何處理不同對象接觸部分的網(wǎng)格。通常做法有以下幾種：1.將各個對象作為獨立個體，將其中一個作為主要分析對象，其它對象簡化；2.各個對象分別劃分網(wǎng)格，設(shè)置不同屬性，將可能接觸部分的網(wǎng)格標(biāo)識出，讓求解器去處理；3.在可能接觸部分進行網(wǎng)格平滑，保證點和邊能完全重合，但不保證接觸對象完全一對一；4.劃分點，邊，面完全一對一的網(wǎng)格，也就是通常所說的共形網(wǎng)格(conformalmesh)其中第四點共性網(wǎng)格由于保留了物體原有屬性，且能把所有對象在同一整體剛度矩陣中分析而成為大多數(shù)仿真軟件的選擇。在幾何上，設(shè)置不同的材料，屬性是很容易的，但在共性網(wǎng)格劃分上，由于通常是先生成面網(wǎng)格，在面網(wǎng)格基礎(chǔ)上再生成體網(wǎng)格，造成了各種屬性的傳遞困難。以材料為例，當(dāng)兩種不同材料物體接觸一起分析時，劃分面網(wǎng)格階段，我們需要區(qū)分每個面在哪種材料上，按照一般規(guī)則，我們可以定義面的法向量的方向為材料的方向，這也就需要在幾何中非常明確規(guī)定實體上的面的方向，而不能毫無規(guī)律！對于接觸部分，需要在幾何中明確計算出具體位置，然后傳遞給網(wǎng)格引擎。

3.幾何清理做一個簡單類比，求解器是發(fā)動機，網(wǎng)格是汽油，幾何則是原油。網(wǎng)格生成則是煉油的過程，高質(zhì)量的原油可以煉出好的汽油。為了生成高質(zhì)量的網(wǎng)格，干凈正確的幾何輸入是必要前提，好的幾何也有助于后期網(wǎng)格的調(diào)整，編輯和優(yōu)化。相信很多工程師有清理幾何的痛苦經(jīng)歷。設(shè)計生產(chǎn)的CAD幾何模型往往不適用直接仿真，比如不必要的文字，幾何不連續(xù)，細小邊，細縫，物體干涉，倒角，圓孔，自由對象，重復(fù)對象，不同格式之間的轉(zhuǎn)換帶來的幾何拓撲錯誤，容差錯誤等等。拓撲錯誤，幾何不封閉，方向錯誤，連接順序相反也是常見的幾何錯誤。4.虛擬拓撲虛擬拓撲是針對幾何到網(wǎng)格過程中繁瑣的操作進行的一種簡化操作。場景1：需要在實體的一個面上某一小塊區(qū)域A而非整個面進行邊界或荷載設(shè)置，通常做法需要創(chuàng)建新的面幾何把這一塊區(qū)域覆蓋。另外一種做法可以將區(qū)域A設(shè)置為虛擬拓撲，直接傳給網(wǎng)格引擎，讓網(wǎng)格引擎單獨處理。場景2：需要在很多個小的面上進行荷載和邊界設(shè)置，常規(guī)做法是需要一個個細小的面選擇，然后進行設(shè)置，可以將這些面設(shè)置成一組，作為一個單獨面使用，大大簡化操作。

針對虛擬拓撲，可以設(shè)置過濾條件，讓很多手工操作半自動化或者全自動化，尤其是大模型，能減輕工程師的負擔(dān)，也減少操作失誤的幾率。5.

幾何曲線曲面處理曲線曲面的網(wǎng)格劃分在幾何中，曲線曲面通常分為三種：參數(shù)，顯式和隱式。參數(shù)形式往往有嚴(yán)格的方程定義；顯式幾何明確給出點的位置或面片；隱式往往以表達式的顯示出現(xiàn)。仍然以圓為例參數(shù)形式為：x=a+r*cosθy=b+r*sinθ參數(shù)表達式很容易滿足連續(xù)性要求，滿足1,2階偏導(dǎo)要求，在網(wǎng)格端很方便拿到參數(shù)。我們可以顯式給出圓周上16個點，點順序相連，給出圓的近似表達。顯式幾何的好處是網(wǎng)格無需做過多處理，缺點是需要明確幾何的正確性，比如16段圓弧才能滿足仿真精度，但幾何只給出8段，那么在網(wǎng)格端再如何處理也是無法達到精度要求。隱式形式：類似公式x*x+y*y=A隱式表達的好處是給出任意一點坐標(biāo)，我們能利用表達式方便判斷出它的相對位置。隱式幾何精準(zhǔn)將幾何信息傳遞給網(wǎng)格，對網(wǎng)格處理上也提出了更多要求，在曲線曲面離散上，要取到幾何的本身屬性以及控制參數(shù)，另外還要考慮網(wǎng)格參數(shù)，如果出現(xiàn)沖突，要選擇合適的算法處理，實際中只有在特定場合才使用。6.BREP結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格主流的三維幾何內(nèi)核表達為BREP結(jié)構(gòu)，利用這種結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格很容易拿到BREP結(jié)構(gòu)中的幾何和拓撲信息，方便進行后續(xù)網(wǎng)格劃分。為了顯示需要，一般幾何內(nèi)核通常也具有三角化的功能，幾何離散成的三角形稱之為“面片”，非網(wǎng)格，大部分顯示引擎底層都使用三角形來渲染對象，因此2維、3維幾何都需要三角化（稱之為“面片化”），比如一個長方體共有6個面，每個面需要離散成兩個三角形，總共12個三角形。這12個三角形我們稱之為12個“面片”，而非網(wǎng)格！一般情況下“面片”質(zhì)量很差。“面片”有兩個功能：一是用來做顯示渲染數(shù)據(jù)；二是可以作為網(wǎng)格劃分的輸入數(shù)據(jù)，用來生成面網(wǎng)格。也就是說，網(wǎng)格劃分既可以直接拿幾何的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，也可以拿三角化之后的數(shù)據(jù)，可以根據(jù)實際需要做選擇。7.變形網(wǎng)格(morphing)+高階單元morphing技術(shù)是網(wǎng)格劃分中的一種常見方法。即初次劃分網(wǎng)格后，幾何發(fā)生變化，網(wǎng)格也跟隨發(fā)生變化，但網(wǎng)格只是點坐標(biāo)跟隨變動，而拓撲(連接性)不發(fā)生變化。morphing在參數(shù)化幾何設(shè)計中非常有用，由于不需要重新劃分網(wǎng)格，提高了設(shè)計效率。借助于高階網(wǎng)格單元，可以在幾何設(shè)計階段快速完成高精度仿真，也是generativedesign的基礎(chǔ)性技術(shù)之一。8.自適應(yīng)迭代網(wǎng)格在前處理網(wǎng)格劃分中，如果網(wǎng)格數(shù)量偏少，在物理場變化大的地方，網(wǎng)格內(nèi)部不足以表達這種變化，從而導(dǎo)致計算偏差。類似于用多邊形模擬圓形，線段數(shù)量越多，越接近圓形。網(wǎng)格加密通常有以下幾種標(biāo)準(zhǔn)：1.根據(jù)幾何特征，比如在曲面，曲線，孔邊等加密。這種加密依賴于幾何拓撲信息，但并不準(zhǔn)確，比如在尖角處網(wǎng)格加密反而得出錯誤的結(jié)果。2.根據(jù)業(yè)務(wù)特點，比如流體在邊界層，電磁仿真在金屬部分需要加密，在初次劃分網(wǎng)格的時候就可以進行設(shè)置；3.根據(jù)兩次仿真所得物理參數(shù)結(jié)果，比如在應(yīng)力/壓力/速度/溫度變化梯度大的地方；4.根據(jù)兩次仿真業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)進行加工，比如HFSS根據(jù)S參數(shù)誤差，能量誤差，CFD中根據(jù)壓力，速度誤差。1.加密策略加密策略涉及到什么時候加密，如何加密，加密效果如何評價等等。按照加密的階段，可以分為兩種，一種是在仿真之前加密，一種是在仿真計算后加密。仿真前加密，是利用對象已有的特性，包括幾何特性和仿真屬性，幾何特性比如孔邊，大曲率曲線曲面，仿真屬性比如接觸單元，有電流經(jīng)過的金屬，明確確定物理場會發(fā)生突變的單元，確定的荷載，邊界條件位置。仿真前加密一般基于已有仿真經(jīng)驗，加密單元的位置比較準(zhǔn)確，但是仿真結(jié)果的準(zhǔn)確度很難確定。仿真后加密就是一般性自適應(yīng)網(wǎng)格加密，UML活動圖如下：

其中如何“評價仿真結(jié)果”是很重要的一環(huán)，一般的做法是“根據(jù)兩次仿真所得物理參數(shù)結(jié)果，比如在應(yīng)力/壓力/速度/溫度變化梯度大的地方”，也有根據(jù)單元內(nèi)部數(shù)值計算誤差的統(tǒng)計誤差作為評估標(biāo)準(zhǔn)。每種物理場的評價指標(biāo)和方法都不盡相同，但總的原則都是相似的。2.加密算法和參數(shù)在網(wǎng)格加密流程中，求解器會給出需要加密的單元。這就涉及到兩個問題：如何使用加密算法加密尺寸如何確定給出需要加密單元，不考慮效率，其實最理想的方法是重新劃分網(wǎng)格，在給出需要加密尺寸的地方設(shè)置局部網(wǎng)格參數(shù)，但這種方法比較耗時，而且如果加密單元少的話，比較浪費資源。常用的做法是在已有網(wǎng)格的基礎(chǔ)上進行加密，直觀的方法是將原有網(wǎng)格拆分成更小。這種做法理論可行，但實際應(yīng)用中會碰到很多問題，首先是網(wǎng)格質(zhì)量無法保證，以三角形為例，一個等邊三角形，正中間加點分成三個三角形，每個三角形的最大角度成為120度的鈍角三角形；其次網(wǎng)格數(shù)量很難控制，二維三角形單元必須分為三個，而三維四面體則必須分為9個，如果加密網(wǎng)格尺寸只要加密到原尺寸的0.8。這種直接拆分法無法滿足需求；最后直接拆分網(wǎng)格，導(dǎo)致相鄰單元的尺寸梯度突變，反而不符合物理場的平滑過渡的要求。加密尺寸可以由求解器給出，如果求解器只給出了加密單元，而沒有加密尺寸。就意味著，加密尺寸需要在網(wǎng)格自適應(yīng)迭代過程探索，增加了網(wǎng)格加密和求解迭代的次數(shù)。在給定加密單元和尺寸的前提下，通用的方法還是類似波前法，將所在區(qū)域挖空，然后根據(jù)加密尺寸局部參數(shù)要求，重新生成新的網(wǎng)格，新網(wǎng)格生成后，再對周圍網(wǎng)格進行優(yōu)化微調(diào)。在該過程中，涉及到了網(wǎng)格的刪除，編輯，再生成，再編號等一系列操作，開發(fā)難度要高于初始生成網(wǎng)格。3.收斂問題收斂問題涉及網(wǎng)格劃分中經(jīng)常碰到另外一個問題：網(wǎng)格是否越密越好？答案是否定的網(wǎng)格不可能無限度的加密，因為過度加密即使沒有加密上的誤差，也會引起數(shù)值計算上的誤差。比如建筑的仿真尺度以米為單位，無限加密到毫米尺度時，如果原始單位為米，則會出現(xiàn)數(shù)值計算上的誤差，也就是說網(wǎng)格加密并不是因為物理場本身的變化，而是數(shù)值誤差引起的變化。如果網(wǎng)格已經(jīng)滿足了仿真精度的要求，再加密網(wǎng)格并不會增加仿真結(jié)果的精度，除了徒增加計算資源外，還會造成計算收斂結(jié)果的震蕩。網(wǎng)格收斂同樣也要符合模型的計算規(guī)則，比如針對結(jié)構(gòu)有限元中的沙漏和自鎖現(xiàn)象，網(wǎng)格加密的力度要比較激進，而非普通的漸進式的加密。網(wǎng)格加密的收斂是比較適合用AI算法進行，因為實際應(yīng)用中，每種產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)基本上不會有太大的變化，這就使得網(wǎng)格的參數(shù)能較好的進行統(tǒng)計計算；網(wǎng)格的加密也是迭代生成，天然適合AI算法的訓(xùn)練；當(dāng)所有網(wǎng)格參數(shù)訓(xùn)練完