胡不歸模型胡不歸模型模型講解模型講解從前，有一個小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當(dāng)他趕到父親眼前時，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？一動點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動速度為V1，在直線MN上運(yùn)動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．方法點(diǎn)撥一、題型特征：PA+kPB（P的運(yùn)動軌跡為直線）1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決）。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角度α，使得sinα=3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題例題演練例題演練1．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個動點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．2【解答】解：如圖，在△ABC內(nèi)作∠MBA＝30°過點(diǎn)A作AE⊥BM于點(diǎn)E，BM交AC于點(diǎn)P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP當(dāng)BP⊥AE時，則AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的長，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB?cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故選：B．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A．B．C． D．【解答】解：延長AC到點(diǎn)P，使CP＝AC，連接BP，過點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點(diǎn)G∴∠AGC＝90°∵O為AC中點(diǎn)∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動到OQ上時，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝∴GH最小值為故選：C．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖，AC是圓O的直徑，AC＝4，弧BA＝120°，點(diǎn)D是弦AB上的一個動點(diǎn)，那么OD+BD的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵的度數(shù)為120°，∴∠C＝60°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，連接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E與M重合時，OD+BD的值最小，最小值為OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB?sin60°＝，∴DB+OD的最小值為，故選：B．2．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個動點(diǎn)，則CD+BD的最小值是4．【解答】解：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故答案為4．3．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝3，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段CD的一個動點(diǎn)，則BE+CE的最小值是3．【解答】解：如圖，作EF⊥AC于F，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵tanA＝，設(shè)AD＝a，CD＝3a，∵AD2+CD2＝AC2，∴a2+9a2＝100，∴a2＝10，∴a＝或﹣（舍去），∴AD＝a＝，CD＝3a＝3，∴sin∠ACD＝，∴EF＝CE?sin∠ECF＝CE，∴BE+CE＝BE+EF，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時，BE+CE＝BE+EF＝BF，此時BF⊥AC，則根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知BE+CE＝BF值最小，此時BF＝AB?sin∠A＝10×．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為7.5．【解答】解：過E作EH⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四邊形ANEM是平行四邊形，∠HME＝∠A＝60°，設(shè)EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，當(dāng)E在點(diǎn)D時，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值為7.5，故答案為：7.5．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點(diǎn)，且DE＝4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為．【解答】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF＝，連接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值為，故答案為．6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為6．【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接AA'，A'D，過D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD，即2DE＝CD，∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴當(dāng)A'，D，E在同一直線上時，AD+DE的最小值等于A'E的長，此時，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝×2＝3，∴AD+DE的最小值為3，即2AD+CD的最小值為6，故答案為：6．7．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E是對角線BD上的一動點(diǎn)，且∠BCD＝120°，則EB+EC+AE的最小值是6．【解答】解：在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝，AB＝BC，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴EB+EC+EA＝EB+2AE＝2（AE+），過E點(diǎn)作EQ⊥BC于點(diǎn)Q，過A點(diǎn)作AQ'⊥BC于點(diǎn)Q'交BD于E'，在Rt△BQE中，∠EBQ＝30°，∴EQ＝，∴EB+EC+AE＝2（AE+EQ）≥2AQ'，即EB+EC+AE的最小值為2AQ'，在Rt△AQ'B中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AQ'＝3，∴EB+EC+AE的最小值為6，故答案為：6．1．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個動點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵四邊形ABC