大題考法3概率統(tǒng)計與函數的交匯性問題(2023·深圳模擬)某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗．該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有n只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為eq\f(1,2)，被感染的白鼠數用隨機變量X表示，假設每只白鼠是否被感染之間相互獨立．(1)若P(X＝5)＝P(X＝95)，求數學期望E(X)；(2)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p，現(xiàn)有兩個不同的研究團隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數θ(0<θ<1)的取值有關．團隊A提出函數模型為p＝ln(1＋θ)－eq\f(2,3)θ2.團隊B提出函數模型為p＝eq\f(1,2)(1－e－θ)．現(xiàn)將白鼠分成10組，每組10只，進行實驗，隨機變量Xi(i＝1，2，…，10)表示第i組被感染的白鼠數，現(xiàn)將隨機變量Xi(i＝1，2，…，10)的實驗結果xi(i＝1，2，…，10)繪制成頻數分布圖，如圖所示．①試寫出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”發(fā)生的概率表達式(用p表示，組合數不必計算)；②在統(tǒng)計學中，若參數θ＝θ0時使得概率P(X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10)最大，稱θ0是θ的最大似然估計．根據這一原理和團隊A，B提出的函數模型，判斷哪個團隊的函數模型可以求出θ的最大似然估計，并求出最大似然估計．參考數據：lneq\f(3,2)≈0.4065.解：(1)由題知，隨機變量X服從二項分布，X～B(n，eq\f(1,2))，由P(X＝5)＝P(X＝95)，即Ceq\o\al(5,n)(eq\f(1,2))5(1－eq\f(1,2))n－5＝Ceq\o\al(n－5,n)·(eq\f(1,2))n－5(1－eq\f(1,2))5，得n＝100，所以E(X)＝np＝50.(2)①A＝“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，P(A)＝[Ceq\o\al(1,10)p(1－p)9]3[Ceq\o\al(2,10)p2(1－p)8]3[Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)7]2·[Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6][Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4]P(A)＝(Ceq\o\al(1,10))3(Ceq\o\al(2,10))3(Ceq\o\al(3,10))2(Ceq\o\al(4,10))2p25(1－p)75.②記g(p)＝ln(Ceq\o\al(1,10))3(Ceq\o\al(2,10))3(Ceq\o\al(3,10))2(Ceq\o\al(4,10))2＋25lnp＋75ln(1－p)，則g′(p)＝eq\f(25,p)－eq\f(75,1－p)＝eq\f(25－100p,p（1－p）)，當0<p<eq\f(1,4)時，g′(p)>0，g(p)單增，當eq\f(1,4)<p<1時，g′(p)<0，g(p)單減，當p＝eq\f(1,4)時，g(p)取得最大值，即P取得最大值，在團體A提出的函數模型p＝ln(1＋θ)－eq\f(2,3)θ2，(0<θ<1)中，記函數f1(x)＝ln(1＋x)－eq\f(2,3)x2，(0<x<1)，f′1(x)＝eq\f(1,1＋x)－eq\f(4,3)x＝eq\f(－4x2－4x＋3,3（1＋x）)，當0<x<eq\f(1,2)時，f′1(x)>0，f1(x)單增，當eq\f(1,2)<x<1時，f′1(x)<0，f1(x)單減，當x＝eq\f(1,2)時，f(x)取得最大值lneq\f(3,2)－eq\f(1,6)<eq\f(1,4)，(lneq\f(3,2)≈0.4065)，則θ不可以估計，在團體B提出的函數模型p＝eq\f(1,2)(1－e－θ)中，記函數f2(x)＝eq\f(1,2)(1－e－x)，f2(x)單調遞增，令f2(x)＝eq\f(1,4)，解得x＝ln2，則θ＝ln2是θ的最大似然估計．概率統(tǒng)計與函數的交匯主要是最值問題，解決問題的關鍵在于通過概率知識構建函數模型．(2023·高州二模)春節(jié)過后，文化和旅游業(yè)逐漸復蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多．某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計劃在社交媒體平臺和短視頻平臺同時投放宣傳廣告并進行線上售票，通過近些年的廣告數據分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為eq\f(2,9)，在社交媒體平臺宣傳推廣后，目標用戶購買門票的概率為q；二輪廣告精準投放后，目標用戶在短視頻平臺進行復購的概率為p，在社交媒體平臺復購的概率為eq\f(17,27).(1)記在短視頻平臺購票的4人中，復購的人數為X，若D(X)＝eq\f(3,4)，試求X的分布列和期望；(2)記在社交媒體平臺的3名目標用戶中，恰有1名用戶購票并復購的概率為P，當P取得最大值時，q為何值？(3)為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進行廣告投放戰(zhàn)略的調整．已知景區(qū)門票100元/人，在短視頻平臺和社交媒體平臺的目標用戶分別在90萬人和17萬人左右，短視頻平臺和社交媒體平臺上的廣告投放費用分別為4元/100人和5元/100人，不計宣傳成本的景區(qū)門票利潤率分別是2%和5%，在第(2)問所得q值的基礎上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個平臺上的目標用戶身上可獲得的凈利潤總額．解：(1)由題意得，在短視頻平臺購票的人中，復購概率為p，復購的人數X滿足二項分布，即X～B(4，p)，故D(X)＝4p(1－p)＝eq\f(3,4)，故p＝eq\f(1,4)或eq\f(3,4).又知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，①當p＝eq\f(1,4)時，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,4))0(eq\f(3,4))4＝eq\f(81,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,4))1(eq\f(3,4))3＝eq\f(108,256)＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(54,256)＝eq\f(27,128)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,4))3(eq\f(3,4))1＝eq\f(12,256)＝eq\f(3,64)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,4))4(eq\f(3,4))0＝eq\f(1,256)，所以X得分布列為：X01234Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(3,64)eq\f(1,256)此時數學期望E(X)＝4×eq\f(1,4)＝1.②p＝eq\f(3,4)時，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))4＝eq\f(1,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(3,4))1(eq\f(1,4))3＝eq\f(12,256)＝eq\f(3,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(3,4))2(eq\f(1,4))2＝eq\f(54,256)＝eq\f(27,128)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(3,4))3(eq\f(1,4))1＝eq\f(108,256)＝eq\f(27,64)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(3,4))4(eq\f(1,4))0＝eq\f(81,256)，所以X得分布列為：X01234Peq\f(1,256)eq\f(3,64)eq\f(27,128)eq\f(27,64)eq\f(81,256)此時數學期望E(X)＝4×eq\f(3,4)＝3.(2)設在社交媒體平臺的目標用戶購票并復購的概率為q1，由題得，q1＝eq\f(17,27)q.P＝Ceq\o\al(1,3)(q1)1(1－q1)2＝3q1(qeq\o\al(2,1)－2q1＋1)＝3(qeq\o\al(3,1)－2qeq\o\al(2,1)＋q1)，P′＝3(3qeq\o\al(2,1)－4q1＋1)＝3(3q1－1)(q1－1)，令P′＝0，得q1＝eq\f(1,3)或1，所以q1∈(0，eq\f(1,3))時，P′>0，函數P單調遞增，當q1∈(eq\f(1,3)，1)時，P′<0，函數P單調遞減．故當q1＝eq\f(1,3)，P取得最大值．由eq\f(17,27)q＝q1可得，q＝eq\f(9,17).(3)短視頻平臺：(100×2%)