?拓?fù)鋵W(xué)圖論基礎(chǔ)培訓(xùn)匯報(bào)人：戴老師2023-12-02目錄CONTENTS拓?fù)鋵W(xué)圖論概述圖論基礎(chǔ)知識(shí)拓?fù)渑判蚺c關(guān)鍵路徑法網(wǎng)絡(luò)流算法及其優(yōu)化策略匹配理論與Kuhn-Munkres算法著色問題與貪心算法應(yīng)用01CHAPTER拓?fù)鋵W(xué)圖論概述拓?fù)鋵W(xué)為圖論提供空間和幾何背景，圖論為拓?fù)鋵W(xué)提供離散結(jié)構(gòu)和組合方法。拓?fù)鋱D論是研究圖與拓?fù)淇臻g之間關(guān)系的分支，將離散的圖論與連續(xù)的拓?fù)鋵W(xué)相結(jié)合。拓?fù)鋵W(xué)與圖論關(guān)系拓?fù)鋱D論拓?fù)鋵W(xué)與圖論相互滲透研究圖的連通性、歐拉性質(zhì)、哈密爾頓性質(zhì)等基本性質(zhì)，以及圖的著色、劃分等問題。圖的基本性質(zhì)研究圖的拓?fù)渑判?、最短路徑、網(wǎng)絡(luò)流等算法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。拓?fù)渑判蚺c網(wǎng)絡(luò)流研究圖在平面或其他曲面上的嵌入，以及圖的平面性判定等問題。圖的嵌入與平面性研究分子圖的拓?fù)渲笖?shù)及其在化學(xué)、生物等領(lǐng)域的應(yīng)用，如化學(xué)信息學(xué)、藥物設(shè)計(jì)等。拓?fù)渲笖?shù)與化學(xué)圖論拓?fù)鋵W(xué)圖論研究?jī)?nèi)容數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、人工智能等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用圖論和拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)。計(jì)算機(jī)科學(xué)生物醫(yī)學(xué)社會(huì)科學(xué)蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)、基因網(wǎng)絡(luò)分析、藥物作用機(jī)制等領(lǐng)域運(yùn)用圖論和拓?fù)鋵W(xué)方法進(jìn)行建模和分析。社交網(wǎng)絡(luò)分析、交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、城市規(guī)劃等領(lǐng)域借助圖論和拓?fù)鋵W(xué)工具進(jìn)行研究。030201拓?fù)鋵W(xué)圖論應(yīng)用領(lǐng)域02CHAPTER圖論基礎(chǔ)知識(shí)圖定義由頂點(diǎn)集和邊集組成，表示對(duì)象及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。無向圖與有向圖根據(jù)邊是否具有方向性進(jìn)行分類。簡(jiǎn)單圖與多重圖根據(jù)邊是否允許重復(fù)和頂點(diǎn)是否允許自環(huán)進(jìn)行分類。圖定義與分類無環(huán)連通圖，具有層次性和分支性，常用于表示層次結(jié)構(gòu)或決策過程。樹頂點(diǎn)集可劃分為兩個(gè)互不相交的子集，且每條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別屬于這兩個(gè)子集，常用于表示二分關(guān)系或匹配問題。二部圖樹與二部圖連通性判斷任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間是否存在路徑的問題，可以通過深度優(yōu)先搜索或廣度優(yōu)先搜索算法解決。最短路徑問題求解兩個(gè)頂點(diǎn)之間路徑長(zhǎng)度最短的問題，常用算法包括Dijkstra算法和Floyd算法。連通性與最短路徑問題03CHAPTER拓?fù)渑判蚺c關(guān)鍵路徑法原理拓?fù)渑判蚴菍?duì)有向無環(huán)圖進(jìn)行排序的一種方法，它將圖中的節(jié)點(diǎn)按照一定的順序排列，使得所有的有向邊從前面的節(jié)點(diǎn)指向后面的節(jié)點(diǎn)。應(yīng)用場(chǎng)景拓?fù)渑判虺Ｓ糜诠こ添?xiàng)目中的任務(wù)調(diào)度、教學(xué)計(jì)劃的制定、電路中的信號(hào)傳遞等場(chǎng)景，通過拓?fù)渑判蚩梢源_定任務(wù)或活動(dòng)的執(zhí)行順序，確保項(xiàng)目或計(jì)劃的順利進(jìn)行。拓?fù)渑判蛟砑皯?yīng)用場(chǎng)景求解步驟首先構(gòu)建項(xiàng)目活動(dòng)網(wǎng)絡(luò)圖，計(jì)算每個(gè)活動(dòng)的時(shí)間參數(shù)（最早開始時(shí)間、最晚開始時(shí)間、最早完成時(shí)間、最晚完成時(shí)間），確定關(guān)鍵路徑，即總時(shí)差為零的活動(dòng)組成的路徑。最后根據(jù)關(guān)鍵路徑和非關(guān)鍵路徑調(diào)整活動(dòng)進(jìn)度，優(yōu)化項(xiàng)目計(jì)劃。實(shí)例分析以一個(gè)簡(jiǎn)單的工程項(xiàng)目為例，通過關(guān)鍵路徑法求解，可以確定項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑，從而明確哪些活動(dòng)對(duì)項(xiàng)目進(jìn)度具有決定性影響，以及如何優(yōu)化資源分配和進(jìn)度安排。關(guān)鍵路徑法求解步驟及實(shí)例分析拓?fù)渑判蛑饕P(guān)注有向無環(huán)圖中的節(jié)點(diǎn)排序問題，而關(guān)鍵路徑法則更注重于項(xiàng)目中活動(dòng)的時(shí)間參數(shù)和路徑選擇問題。拓?fù)渑判蚩梢詰?yīng)用于更廣泛的領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)等，而關(guān)鍵路徑法則主要應(yīng)用于工程項(xiàng)目管理領(lǐng)域。兩者在求解過程中都需要構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖或圖模型，但關(guān)鍵路徑法需要額外計(jì)算時(shí)間參數(shù)和路徑選擇。拓?fù)渑判蚺c關(guān)鍵路徑法比較04CHAPTER網(wǎng)絡(luò)流算法及其優(yōu)化策略在網(wǎng)絡(luò)中從源點(diǎn)到匯點(diǎn)可以傳輸?shù)淖畲罅髁?。最大流將網(wǎng)絡(luò)劃分為源點(diǎn)集和匯點(diǎn)集的最小邊權(quán)值和。最小割最大流等于最小割，即網(wǎng)絡(luò)的最大流量等于其最小割的容量。最大流最小割定理最大流最小割定理闡述增廣路徑在網(wǎng)絡(luò)中從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的一條路徑，其所有邊的容量均大于0，且可以通過該路徑增加網(wǎng)絡(luò)流量。要點(diǎn)一要點(diǎn)二增廣路徑求解方法通過不斷尋找增廣路徑并更新路徑上的邊容量，直到不存在增廣路徑為止，此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)流量即為最大流。增廣路徑求解方法介紹VS在增廣路徑求解過程中，通過增加路徑上邊的容量，以減少尋找增廣路徑的次數(shù)，從而提高算法效率。費(fèi)用調(diào)整在網(wǎng)絡(luò)中存在多個(gè)源點(diǎn)和匯點(diǎn)的情況下，通過引入費(fèi)用函數(shù)，將網(wǎng)絡(luò)流問題轉(zhuǎn)化為最小費(fèi)用最大流問題，并采用相應(yīng)的算法進(jìn)行求解。容量擴(kuò)展優(yōu)化策略：容量擴(kuò)展和費(fèi)用調(diào)整05CHAPTER匹配理論與Kuhn-Munkres算法在一個(gè)二分圖中，尋找一個(gè)邊集，使得任意兩條邊都不共享頂點(diǎn)，則該邊集稱為一個(gè)匹配。匹配的大小是指匹配中包含的邊的數(shù)量。匹配問題可以分為最大匹配問題和完美匹配問題。最大匹配問題是在給定二分圖中尋找大小最大的匹配，而完美匹配問題是在給定二分圖中尋找一個(gè)大小等于圖中頂點(diǎn)數(shù)且每個(gè)頂點(diǎn)都恰好屬于匹配中的一條邊的匹配。匹配問題定義匹配問題分類匹配問題定義及分類Kuhn-Munkres算法是一種用于解決賦權(quán)二分圖最大/完美匹配問題的算法。其基本思想是通過不斷尋找增廣路徑來擴(kuò)大已匹配的邊集，直到找到最大/完美匹配為止。Kuhn-Munkres算法在實(shí)現(xiàn)過程中采用了貪心策略，每次尋找一條增廣路徑時(shí)，都選擇當(dāng)前未匹配點(diǎn)中具有最小權(quán)值的點(diǎn)進(jìn)行匹配。通過不斷迭代，最終得到最大/完美匹配。Kuhn-Munkres算法原理剖析指派問題描述一家公司需要指派n名員工去完成n項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)只能由一名員工完成，且每名員工只能完成一項(xiàng)任務(wù)。每項(xiàng)任務(wù)有不同的收益，目標(biāo)是找到一種指派方案，使得總收益最大。求解過程展示首先構(gòu)建賦權(quán)二分圖，其中左側(cè)節(jié)點(diǎn)代表員工，右側(cè)節(jié)點(diǎn)代表任務(wù)，邊權(quán)代表該項(xiàng)任務(wù)分配給該員工的收益。然后應(yīng)用Kuhn-Munkres算法求解最大匹配，得到最優(yōu)指派方案。具體實(shí)現(xiàn)過程中需要不斷尋找增廣路徑并更新匹配狀態(tài)，直到找到最大匹配為止。實(shí)際案例：指派問題求解過程展示06CHAPTER著色問題與貪心算法應(yīng)用著色問題是一類經(jīng)典的組合優(yōu)化問題，廣泛應(yīng)用于地圖制作、排課表、電路板設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。其目的是用最少的顏色對(duì)給定圖進(jìn)行著色，使得相鄰頂點(diǎn)顏色不同。背景研究著色問題有助于解決實(shí)際問題，提高資源利用效率。例如，在地圖制作中，合理的著色方案可以提高地圖的美觀度和易讀性；在排課表問題中，恰當(dāng)?shù)闹椒梢员苊庹n程時(shí)間沖突，提高教學(xué)質(zhì)量。意義著色問題背景及意義闡述貪心算法思想貪心算法是一種在每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最好或最優(yōu)的算法。對(duì)于著色問題，貪心算法的思想是每次選擇當(dāng)前未著色頂點(diǎn)的一個(gè)相鄰頂點(diǎn)已經(jīng)使用的顏色中未出現(xiàn)的最小顏色進(jìn)行著色。實(shí)現(xiàn)步驟首先，隨機(jī)選擇一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行著色；然后，依次選擇相鄰頂點(diǎn)進(jìn)行著色，每次選擇已使用顏色中未出現(xiàn)的最小顏色；重復(fù)此過程，直到所有頂點(diǎn)都被著色為止。貪心算法思想及實(shí)現(xiàn)步驟介紹給定一張地圖，地圖上的區(qū)域由若干個(gè)相鄰的頂點(diǎn)表示。要求用最少的顏色對(duì)地圖進(jìn)行著色，使得相鄰區(qū)域顏色不同。案例描述首