專題1.2正方體的展開圖【六大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷正方體展開圖的相對面或相鄰面】 1【題型2展開圖折疊成正方體】 4【題型3正方體的平面展開圖】 5【題型4視圖與小正方體的個數(shù)問題】 7【題型5從不同方向看幾何體（組成幾何體的正方體的個數(shù)）】 9【題型6從不同方向看幾何體（正方體最多或最少的個數(shù)）】 11【題型1判斷正方體展開圖的相對面或相鄰面】【例1】（2022?鹽城）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（）A．強 B．富 C．美 D．高【分析】正方體的表面展開圖相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點進行作答．【解答】解：正方體的表面展開圖相對的面之間一定相隔一個正方形，“鹽”與“高”是相對面，“城”與“富”是相對面，“強”與“美”是相對面，故選：D．【變式1-1】（2022?佛山校級三模）如圖為正方體的展開圖，將標在①②③④的任意一面上，使得還原后的正方體中與是相鄰面，則不能標在（）A．① B．② C．③ D．④【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．【解答】解：因為正方體中與是相鄰面，與③是對面，所以不能標在③．故選：C．【變式1-2】（2022?南京期末）如圖，在一個正方形盒子的六面上寫有“祝、母、校、更、美、麗”六個漢字，其中“?！迸c“更”，“母”與“美”在相對的面上，則這個盒子的展開圖（不考慮文字方向）不可能的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)立方體的平面展開圖規(guī)律解決問題即可．【解答】解：由圖可得，“?！迸c“更”，“母”與“美”在相對的面上，則這個盒子的展開圖可能是A，B，C選項，而D選項中，“更”與“?！钡奈恢没Q后則符合題意．故選：D．【變式1-3】（2022?揭陽月考）李明同學(xué)設(shè)計了某個產(chǎn)品的正方體包裝盒如圖所示，由于粗心少設(shè)計了其中一個頂蓋，請你把它補上，使其成為一個兩面均有蓋的正方體盒子．（1）共有4種彌補方法；（2）任意畫出一種成功的設(shè)計圖（在圖中補充）；（3）在你幫忙設(shè)計成功的圖中，要把﹣6，8，10，﹣10，﹣8，6這些數(shù)字分別填入六個小正方形，使得折成的正方體相對面上的兩個數(shù)相加得0．（直接在圖中填上）【分析】（1）根據(jù)正方體展開圖特點：中間4聯(lián)方，上下各一個，中間3聯(lián)方，上下各1，2，兩個靠一起，不能出“田”字，符合第一種情況，中間四個連在一起，上面一個，下面有四個位置，所以有四種彌補方法；（2）利用（1）的分析畫出圖形即可；（3）想象出折疊后的立方體，把數(shù)字填上即可，注意答案不唯一．【解答】解：（1）根據(jù)正方體展開圖特點：中間4聯(lián)方，上下各一個，中間3聯(lián)方，上下各1，2，兩個靠一起，不能出“田”字，符合第一種情況，中間四個連在一起，上面一個，下面有四個位置，所以共有4種彌補方法，故答案為：4；（2）如圖所示：；（3）如圖所示：．【題型2展開圖折疊成正方體】【例2】（2022?簡陽市期末）正方體是由六個平面圖形圍成的立體圖形，設(shè)想沿著正方體的一些棱將它剪開，就可以把正方體剪成一個平面圖形，但同一個正方體，按不同的方式展開所得的平面展開圖是不一樣的，下面的圖形是由6個大小一樣的正方形，拼接而成的，請問這些圖形中哪些可以折成正方體？試試看．【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．【解答】解：由圖示可知：圖1，圖2，圖3，圖4，圖6，圖10，圖11，圖12均可以折成正方體．【變式2-1】（2022?秦都區(qū)期中）如圖所示，用標有數(shù)字1、2、3、4的四塊正方形，以及標有字母A、B、C、D、E、F、H的七塊正方形中任意一塊，用這5塊連在一起的正方形折疊成一個無蓋的正方體盒子，一共有幾種不同的方法？寫出這些方法所用到正方形所標有的數(shù)字和字母．【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．本題注意要用5塊（其中四塊必須用到數(shù)字1234，余下的一塊用字母）連在一起的正方形折成一個無蓋方盒的限定條件．【解答】解：將4個數(shù)字和1個字母括起來的不同的方法有：（1、2、3、4、A），（1、2、3、4、B），（1、2、3、4、C），（1、2、3、4、D），（1、2、3、4、E）．故一共有5種不同的方法．【變式2-2】（2022?張家口一模）如圖，是一個正方體的展開圖，這個正方體可能是（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合正方體的展開圖中圓點所在面的位置，把展開圖折疊再觀察其位置，即可得到這個正方體．【解答】解：把展開圖折疊后，只有B選項符合圖形，故選：B．【變式2-3】（2022?寧波模擬）請你插上想象的翅膀：如圖是下列六個正方體中哪個的側(cè)面展開圖？你的選擇是AE?！痉治觥扛鶕?jù)正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，然后結(jié)合圖中五個特殊表面的相對相鄰關(guān)系對六個正方體分析即可解答?！窘獯稹拷猓赫襟w的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，有兩個相對陰影三角形的面與正方形對角線的陰影直角三角形的面是對面，有一個陰影三角形和三個空白三角形的面與空白面的三角形是對面，有對角線的兩個三角形的面是對面，縱觀六個正方體，A可以；B右面的兩個陰影不對，應(yīng)是前后兩個，不可以；C的右面在展開圖中沒有，不可以；C可以；D的上面陰影三角形不對，應(yīng)是另一條對角線的一個陰影直角三角形，不可以；E可以；F的上面對角線不對，應(yīng)畫另一條對角線，不可以。所以此圖是正方體A、E的側(cè)面展開圖。故答案為：AE?！绢}型3正方體的平面展開圖】【例3】（2022?岳陽模擬）下面四個圖形中，經(jīng)過折疊能圍成如圖只有三個面上印有圖案的正方體紙盒的是（）A． B． C． D．【分析】四個選項中的圖都是正方體展開圖的“1﹣4﹣1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個面兩兩相鄰．A、C、D折成正方體后有圖案的面有兩個相對，不符合題意；B折成正方體后，有圖案的三個面兩兩相鄰．【解答】解：的展開圖是．故選：B．【變式3-1】（2022?南關(guān)區(qū)校級二模）將一個小正方體按圖中所示方式展開．則在展開圖中表示棱a的線段是（）A．AB B．CD C．DE D．CF【分析】將原圖復(fù)原找出對應(yīng)邊．【解答】解：三角形對應(yīng)的面為DCFE，a對應(yīng)的邊為DE．故選：C．【變式3-2】圖①中，A為正方體的頂點，在另一頂點B處有一昆蟲．圖②、圖③是正方體的兩個不同展開圖，根據(jù)A、B位置的特點，請你在圖②、圖③中分別標出昆蟲B的位置．【分析】結(jié)合正方體的平面展開圖，根據(jù)平面展開圖的特征解題．【解答】解：【變式3-3】（2022?舞鋼市期末）如圖是一個正方體線段AB，BC，CA是它的三個面的對角線下列圖形中，是該正方體的表面展開圖的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段AB，BC，CA所在三個面交于一點，依此即可求解．【解答】解：根據(jù)正方體展開圖的特點分析，選項C是它的展開圖．故選：C．【題型4視圖與小正方體的個數(shù)問題】【例4】（2022?金水區(qū)校級期末）如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體從上面看到的圖形，小正方形上的數(shù)字表示該位置小正方體的個數(shù)，則該幾何體從左面看到的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖的定義判斷即可．【解答】解：該幾何體的左視圖為：故選：A．【變式4-1】（2022?泰山區(qū)期中）如圖，是從上面看到的由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小正方體的個數(shù)，則該幾何體從左面看到的形狀圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)左視圖的定義解答可得．【解答】解：由俯視圖知，該幾何體共3行2列，第1行有1個、第2行有2個、第3行有2個正方體，其左視圖如下所示，故選：B．【變式4-2】（2022?東港市期中）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，請畫出從正面和左面看到的這個幾何體的形狀圖．【分析】由已知條件可知，從正面看有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為1，2，3；從左面看有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，3，1．據(jù)此可畫出圖形．【解答】解：如圖所示：【變式4-3】（2022?市南區(qū)模擬）如圖，是由幾個邊長為1的小立方體所組成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的表面積為46．【分析】根據(jù)俯視圖得出主視圖、左視圖的正方形的數(shù)目，表面積為三種視圖的面積和的2倍．【解答】解：這個幾何體的主視圖有三列，從左到右分別是3，4，1，左視圖有三列，從左到右分別是3，4，2，表面積為：（8+9+6）×2＝46，故答案為：46．【題型5從不同方向看幾何體（組成幾何體的正方體的個數(shù)）】【例5】（2022?揭西縣期末）如圖所示是由一些大小相同的小正方體構(gòu)成的三種視圖，那么構(gòu)成這個立體圖的小正方體的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】從上面看的視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從正面和側(cè)面看的視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【解答】解：從上面看的視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)為6，從正面看的視圖可以看出小正方體的層數(shù)為1、2、1層，從左面看的視圖可以看出小正方體的層數(shù)為1、2、1層，所以該幾何體的正中間是兩個小正方體．所以構(gòu)成這個立體圖形的小正方體的個數(shù)為6+1＝7（個）故選：B．【變式5-1】（2022秋?沈陽期末）一個幾何體由多個完全相同的小正方體組成，從它的正面、左面上面看這個幾何體的形狀圖如圖所示，那么組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為5．【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從左視圖可看出每一行小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【解答】解：由俯視圖易得最底層小正方體的個數(shù)為3，由其他視圖可知第二次的兩側(cè)各有一個正方體，那么共有3+2＝5個正方體．故答案為：5．【變式5-2】（2022?越秀區(qū)一模）如圖所示是若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體從三個不同方向看到的圖形，則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是7．【分析】在俯視圖上擺小立方體，確定每個位置上擺小立方體的個數(shù)，得出答案．【解答】解：在俯視圖標出相應(yīng)位置擺放小立方體的個數(shù)，如圖所示：因此需要小立方體的個數(shù)為7，故答案為：7．【變式5-3】（2022?秦都區(qū)期末）如圖，是由一些相同的小正方體搭成的幾何體從上面看得到的形狀圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置的小正方體的個數(shù)．（1）請在方格中畫出從正面看、從左面看得到的幾何體的形狀圖；（2）若在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體從正面看和從上面看得到的圖形不變，那么最多可以再添加3個小正方體．【分析】（1）觀察圖形可知，主視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，3，2；左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為3，12．據(jù)此可畫出圖形；（2）根據(jù)俯視圖的各個位置所擺放的小立方體的個數(shù)，在保持主視圖，俯視圖不變的情況下，添加小立方體，直至最多．【解答】解：（1）從正面看、從左面看得到的幾何體的形狀圖如圖所示：（2）若在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體從正面看和從上面看得到的圖形不變，那么最多可以再添加1+2＝3個小正方體．故答案為：3．【題型6從不同方向看幾何體（正方體最多或最少的個數(shù)）】【例6】（2022?皇姑區(qū)校級期中）下列圖是由小正方體組成的幾何體從左面和上面看得到的形狀圖，則組成該幾何體最少需要、最多需要小正方體的個數(shù)分別為（）A．5，6 B．5，7 C．5，8 D．6，7【分析】利用俯視圖，寫出最少，最多的情形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，最少的情形有：2+1+1+1＝5個，最多的情形有：2+2+2+1＝7個．故選：B．【變式6-1】（2022?南川區(qū)期末）由m個相同的正方體組成一個立體圖形，下面的圖形分別是從正面和上面看它得到的平面圖形，則m的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數(shù)及形狀，從主視圖可以看出每一層小正方體的層數(shù)和個數(shù)，從而算出總的個數(shù)．【解答】解：由題中所給出的主視圖知物體共兩列，且左側(cè)一列高一層，右側(cè)一列最高兩層；由俯視圖可知左側(cè)一行，右側(cè)兩行，于是，可確定左側(cè)只有一個小正方體，而右側(cè)可能是一行單層一行兩層，也可能兩行都是兩層．所以圖中的小正方體最少4塊，最多5塊．故選：C．【變式6-2】（2022?萊蕪區(qū)期末）如圖所示是若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體從不同方向看到的圖形，則搭成這個幾何體的小正方