專題5.13解二元一次方程組分類專題（題型講解）【題型一】二元一次方程組中的參數(shù)問(wèn)題1．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是一個(gè)等腰三角形的一條腰和一條底邊的長(zhǎng)，且這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為9，求m的值．【答案】【分析】首先用含m的式子表示x和y，由于x、y的值是一個(gè)等腰三角形兩邊的長(zhǎng)，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解決，注意應(yīng)根據(jù)三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證是否能組成三角形．解：，②×2?①得：x＝m?1，①×2?②得：y＝2，①當(dāng)x、y都是腰時(shí)，m?1＝2，解得m＝3，則底為：9?2?2＝5，∵2＋2＜5，∴不能組成三角形；②當(dāng)y＝2為底，x為腰，2x+2=9x=3.5，三邊為：3.5，3.5，2，可以組成三角形，x＝m?1=3.5，解得m＝4.5；③x＝m?1是底，y＝2是腰2y＋x＝9，解得x=5，三邊為：5，2，2，不能構(gòu)成三角形，x＝m?1=5解得m＝6不符合題意，綜上所述：m的值為4.5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系、二元一次方程組的解等知識(shí)；解答此題的關(guān)鍵是x、y是腰或底時(shí)出現(xiàn)的不同情況，依次分析，再根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷即可．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x、y的二元一次方程組為（1）直接寫出二元一次方程組的解為(結(jié)果用含a的式子表示)______________（2）若，求a的值【答案】（1）；（2）或【分析】（1）直接由代入消元法解方程組，即可求出答案；（2）由絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可得到答案．解：（1），由①得：③，把③代入②，得：，解得：，把代入③，得，∴；故答案為：；（2）由（1）可知，當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；【點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，絕對(duì)值的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【變式2】如果關(guān)于x，y的方程組的解中，x與y互為相反數(shù)，求k的值．【答案】x＝1，y＝－1，k＝9．【分析】由x與y互為相反數(shù)，可得方程x+y=0,它與方程4x-3y=7聯(lián)立組成新的二元一次方程組，解出x,y的值，再把經(jīng)x,y的值代入方程即可求出k的值.解：依題意得：解之得：,把代入方程得：，解得：k=9.【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．【題型二】二元一次方程組中的整數(shù)解問(wèn)題2．關(guān)于的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】?4，0，2【分析】表示出方程組的解，由方程組的解為正整數(shù)確定出整數(shù)k的值即可．解：方程組，①×2?②得：（4?k）y＝8，解得：y＝，把y＝代入①得：x＝，由方程組的解為正整數(shù)，得到4?k＝1，2，4，8，解得：k＝3，2，0，?4，代入x＝，檢驗(yàn)得：k＝2，?4，0，則整數(shù)k的值為?4，0，2．【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組及方程組的特殊解，表示出方程組的解是本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】閱讀下列材料，解答下面的問(wèn)題：我們知道方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問(wèn)題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：(、為正整數(shù))．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為．問(wèn)題：(1)請(qǐng)你直接寫出方程＝8的正整數(shù)解．(2)若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)的值有(

)A．3個(gè)

B．4個(gè)

C．5個(gè)

D．6個(gè)關(guān)于，的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）B；（3）2，0，-4【分析】（1）直接利用二元一次方程的解不唯一得出一組即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合為自然數(shù)，求正整數(shù)x的值，分別求出即可；（3）解方程組求出y，因x，y是正整數(shù)，k是整數(shù)，即可求出整數(shù)k的值．解：（1）不唯一，如；

（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)x的值有：4，5，6，9，故選B；（3）

①*2－②:(4－k)y＝8，因x，y是正整數(shù)，k是整數(shù)，所以4－k＝1，2，4，8．K＝3，2，0，－4但k＝3時(shí)，x不是正整數(shù)，故k＝2，0，－4【點(diǎn)撥】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確求出二元一次方程的解是解題關(guān)鍵．【變式2】已知方程組有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)m的值.【答案】m=1或m=3．【分析】先把m當(dāng)作已知求出x、y的值，再根據(jù)方程組有非負(fù)整數(shù)解得到關(guān)于m的一元一次不等式組，求出m的取值范圍，再找出符合條件的正整數(shù)m的值即可．解：解方程組，①+②得，（m+1）x=8，x=，代入①得，-y=2，y=，∵，∴即，解得m的取值范圍是，-1＜m≤3．∵方程組有非負(fù)整數(shù)解，當(dāng)m=2時(shí)x=為分?jǐn)?shù)，∴m≠2．故m的正整數(shù)解為：m=1或m=3．【點(diǎn)撥】本題考查的是解二元一次方程組及解二元一次不等式組，解答此題的關(guān)鍵是先把m當(dāng)作已知表示出x、y的值，再根據(jù)方程組有非負(fù)整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，求出m的正整數(shù)解即可．【題型三】二元一次方程組中的錯(cuò)題復(fù)原問(wèn)題3．完成下列問(wèn)題：（1）已知方程組的解x、y的值相等，求m的值．（2）甲、乙兩位同學(xué)在解方程組時(shí)，甲看錯(cuò)了a，解得；乙將一個(gè)方程中的b寫成了相反數(shù)，解得，求a、b的值．【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2【分析】（1）根據(jù)x、y的值相等得到x=y，結(jié)合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值；（2）甲看錯(cuò)了第一個(gè)方程，把他解的答案代入第二個(gè)方程，乙將一個(gè)方程中的b寫成了相反數(shù)，把他解得答案代入方程，求a、b的值．解：（1）∵的解x、y的值相等，∴x=y，代入3x+2y=1中，∴，代入中，則，解得：m=9；（2）由題意得：把代入3x+by=5，得：9+2b=5，解得：b=-2，因?yàn)橐覍⒁粋€(gè)方程中的b寫成了相反數(shù)，所以把b=2代入方程組得：ax+2y=1，把代入方程ax+2y=1得：a=3．【點(diǎn)撥】此題考查的是二元一次方程組的解和解二元一次方程組，解答此題先要根據(jù)題意列出方程，然后求解．舉一反三：【變式1】甲、乙兩人共同解方程組，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為．試計(jì)算：的值．【答案】0【分析】將代入方程組的第二個(gè)方程，將代入方程組的第一個(gè)方程，聯(lián)立求出a與b的值，代入即可求出所求式子的值．解：將代入方程組中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；將代入方程組中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，則=1-1=0．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式2】學(xué)習(xí)了一次方程后，甲乙兩位同學(xué)為了提高解方程能力，勤加練習(xí)，但甲同學(xué)在解一元一次方程，去分母時(shí)-1項(xiàng)忘記乘以6，得該方程的解為，乙同學(xué)在解方程組時(shí)，看錯(cuò)了第一個(gè)方程，得該方程組的解為，試求的值．【答案】．【分析】甲同學(xué)在解方程，去分母時(shí)-1項(xiàng)忘記乘以6，則所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入即可求得a的值；把乙的結(jié)果代入方程3x+2by=3求出b的值，即可求解．解：甲同學(xué)在解方程，去分母時(shí)-1項(xiàng)忘記乘以6，則所得方程是：3(x+3)-1=x+a，把x=-3代入3(x+3)-1=x+a，得：a=2；乙同學(xué)在解方程組時(shí)，看錯(cuò)了第一個(gè)方程，得該方程組的解為，把代入3x+2by=3得：6+6b=3，解得：，則．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解以及一元一次方程的解．注意：方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．【題型四】構(gòu)造二元一次方程組求解問(wèn)題4．已知：4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0，且x，y，z都不為零．求的值．【答案】試題分析：已知4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0，將這兩個(gè)方程聯(lián)立組成方程組，解得，把x=3z，y=2z代入即可得的值．解：解關(guān)于x、y的二元一次方程組得，把x=3z，y=2z代入得原式=．考點(diǎn)：二元一次方程組的解法．舉一反三：【變式1】對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算：，例如．（1）求的值；（2）若，，求的值．（1）5；（2）【分析】(1)利用題目中的新定義進(jìn)行計(jì)算即可；根據(jù)新定義，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)后得到二元一次方程，求解該方程組即可.解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝；故答案為：5.（2）根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：，兩式相加得：，則．故答案為：.【點(diǎn)撥】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，新定義題型就按照題目的意思來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解法.【變式2】若的兩個(gè)平方根是方程的一組解．（1）求的值；（2）求的算術(shù)平方根．【答案】（1）4；（2）4．【分析】（1）

設(shè)的平方根為，，根據(jù)題意可得方程組，解方程組求得，由此即可求得a的值；（2）先求的值，再求其算術(shù)平方根即可．解：（1）∵

的平方根是的一組解，則設(shè)的平方根為，，則根據(jù)題意得：，解得∴

為．（2）∵

．∴

的算術(shù)平方根為4．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的解，利用平方根互為相反數(shù)得出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型五】二元一次方程組中的同解原理5．若關(guān)于x，y的方程組與有相同的解．（1）求這個(gè)相同的解；（2）求m、n的值．（1）；（2）m=6,n=4【分析】（1）聯(lián)立兩方程中不含m，n的方程求出相同的解即可；（2）把求出的解代入剩下的方程中，再聯(lián)立方程組求出m與n的值即可．解：（1）根據(jù)題意，得：，解得：；（2）將x=2、y=-1代入方程組，得：，解得：．【點(diǎn)撥】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．舉一反三：【變式1】已知方程與有相同的解，求3m＋2n的值．【答案】10【分析】先根據(jù)題意將3x-2y=4和5y-x=3形成方程組，求出解，再將解代入另外兩個(gè)方程，得到另一個(gè)方程組，求出m，n的值，進(jìn)而求出待求式的值．解：由題意可知：，解得：，將代入，得，解得，∴3m+2n＝12﹣2＝10．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解二元一次方程組，對(duì)