重慶三峽學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)〔論文〕大數(shù)定律與中心極限定理及其應(yīng)用分院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)〔師范〕班級(jí)10數(shù)本1班學(xué)號(hào)202306034109姓名張永東指導(dǎo)教師陳飛翔(講師)2014年5月10日目錄摘要.IAbstract.II１大數(shù)定律的應(yīng)用11.1引言11.2預(yù)備知識(shí)1相關(guān)定義1切比雪夫不等式及其應(yīng)用11.3幾類重要的大數(shù)定律的應(yīng)用2切比雪夫大數(shù)定律及其在測(cè)繪方面的應(yīng)用2伯努利大數(shù)定律及其在重復(fù)事件方面的應(yīng)用3辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用31.4大數(shù)定律的意義42中心極限定理的應(yīng)用52.1前言52.2幾類重要的中心極限定理的應(yīng)用5林德伯格定理及其在保險(xiǎn)方面的應(yīng)用5列維定理及其在極限求解方面的應(yīng)用6棣莫弗-拉普拉斯定理及其在實(shí)際生活方面的應(yīng)用62.2.4李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用93大數(shù)定律和中心極限定理的比擬應(yīng)用93.1大數(shù)定律和中心極限定理的比擬應(yīng)用9結(jié)論10致謝11參考文獻(xiàn)12大數(shù)定律與中心極限定理及其應(yīng)用張永東〔重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2023級(jí)一班重慶萬(wàn)州404000〕摘要：大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中很重要的定理，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的關(guān)鍵所在，更是生活中不可缺少的一局部.較多文獻(xiàn)給出了不同條件下存在的大數(shù)定律和中心極限定理，并利用大數(shù)定律和中心極限定理得到較多模型的收斂性.但對(duì)于它們的適用范圍及在實(shí)際生活中的應(yīng)用涉及較少.本文介紹了幾種較為常見(jiàn)的大數(shù)定律和中心極限定理，并列舉了它們?cè)诮?jīng)濟(jì)生活、數(shù)學(xué)分析、信息論等各個(gè)不同領(lǐng)域的應(yīng)用.將理論具體化、將可行的結(jié)論用于具體的數(shù)學(xué)模型中，以使得枯燥的數(shù)學(xué)理論與實(shí)際相結(jié)合，使大家對(duì)大數(shù)定律與中心極限定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值有了更深的認(rèn)識(shí).關(guān)鍵詞：大數(shù)定律;中心極限定理;期望;方差;應(yīng)用ApplicationofthelawoflargenumbersandthecentrallimittheoremZHANGyong-dong(Grade2023,MathematicsandAppliedMathematics,SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingThreeGorgesUniversityAbstract:Thelawoflargenumbersandcentrallimittheoremisveryimportantinprobabilitytheorytheorem,anditisnotonlythecontactkeyofProbabilitytheoryandmathematicalstatistics,butalsoanindispensablepartoflife.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbersandcentrallimittheorem.Manyliteratureshavegiventhedissimilarconditionsofthelawoflargenumbers,andhaveobtainedtheastringentusingthelawoflargenumbersandcentrallimitingtheorems.Butherehasnomanyresultsinpracticallifeandapplicablescope.HereIintroduceseveralkindsoflawsoflargenumbersandcentrallimittheorems,thenthispaperenumeratessomedifferentapplicantsineconomiclife,mathematicsandinformationtheoryandsoon.Itmakestheoryconcretely,andconsiderssomeconcretemathematicalmodel,andsomakesmathematicaltheoryreality,thuswecanhavedeeperunderstandingonthelawoflargenumbersandthecentrallimitingtheorem.Keywords:Thelawoflargenumbers,Centrallimittheorem,Expectation,Variance,Application１大數(shù)定律的應(yīng)用1.1引言生產(chǎn)、生活及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的風(fēng)險(xiǎn)事故都具有不確定性，或者稱為隨機(jī)性.但是，任何事情的發(fā)生、開(kāi)展都具有一定的客觀規(guī)律.如果各種條件都能預(yù)知,那么事物發(fā)生的結(jié)果也能予以正確地測(cè)定，此時(shí)雖然風(fēng)險(xiǎn)事故仍然存在，損失仍然會(huì)發(fā)生，但是，隨機(jī)性將因此消失.如果有大量的事例可供考察研究，那么這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向，那些在個(gè)別事例中存在的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)將在大數(shù)中消失，這種結(jié)論就是概率論中的大數(shù)定律.它的結(jié)論也可表達(dá)為：大量的隨機(jī)現(xiàn)象由于偶然性相互抵消而呈現(xiàn)出某種必然的數(shù)量規(guī)律.1.2預(yù)備知識(shí)1.2.1相關(guān)定義在介紹大數(shù)定律之前,先介紹幾個(gè)相關(guān)定義：定義1設(shè)為概率空間上定義的隨機(jī)變量序列〔簡(jiǎn)稱隨即序列〕,假設(shè)存在隨即變數(shù)使對(duì)任意，恒有：或,那么稱隨即序列｛｝依概率收斂于隨機(jī)變量〔也可以是一個(gè)常數(shù)〕，并用下面的符號(hào)表示：或定義2設(shè)為一隨即序列,數(shù)學(xué)期望存在,令,假設(shè)，那么稱隨機(jī)序列服從大數(shù)定律，或者說(shuō)大數(shù)法那么成立.定義3設(shè)是分布函數(shù)序列，假設(shè)存在一個(gè)非降函數(shù),對(duì)于它的每一連續(xù)點(diǎn),都有,，那么稱分布函數(shù)序列弱收斂于.定義4設(shè),分別是隨機(jī)變量及的分布函數(shù),假設(shè),那么稱依分布收斂于亦記為且有：(1)假設(shè)那么；(2)設(shè)c為常數(shù),那么的充要條件是.1.2.2切比雪夫不等式及其應(yīng)用切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量具有有限數(shù)學(xué)期望和方差,那么對(duì)于任意正數(shù),如下不等式成立，或有這個(gè)不等式可解釋為：對(duì)任意給定的正常數(shù),可以作出兩個(gè)區(qū)間和，不等式表示,在一次試驗(yàn)中,隨機(jī)變量的取值落在的概率小于等于.切比雪夫〔Chebyshev〕不等式的應(yīng)用：〔1〕期望和方差,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的鄰域的概率.〔2〕期望和方差,對(duì)確定的概率,利用切比雪夫不等式求出,從而得到所需估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度.〔3〕對(duì)n重伯努利試驗(yàn),利用切比雪夫不等式可以確定試驗(yàn)次數(shù).〔4〕它是推導(dǎo)大數(shù)定律和其他定理的依據(jù).例1：正常男性成人血液中,每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300,均方差是700,利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200～9400之間的概率.解：設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù),那么,那么而所以1.3幾類重要的大數(shù)定律的應(yīng)用1.3.1切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的數(shù)學(xué)期望與方差都存在,并且方差是一致有上界的,即存在某一常數(shù),使得,那么對(duì)于任意的正數(shù),有.推論1：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且它們具有相同的分布及有限的數(shù)學(xué)期望和方差：,那么對(duì)任意給定的正數(shù),有.【1】此推論說(shuō)明：n個(gè)相互獨(dú)立的具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的隨機(jī)變量,當(dāng)n很大時(shí),它們的算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是它們的數(shù)學(xué)期望.例2：使用某儀器測(cè)量量,設(shè)n次獨(dú)立得到的測(cè)量值為.如果儀器無(wú)系統(tǒng)誤差,問(wèn)n充分大時(shí),是否可以用作為儀器誤差的方差近似值？分析：用表示儀器誤差的方差真值.如果,恒有,那么n充分大時(shí)就可以看作是的近似值.解：依題意,可以將觀察結(jié)果看作是相互獨(dú)立具有相同分布的隨機(jī)變量.那么,儀器第次測(cè)量誤差的數(shù)學(xué)期望設(shè)亦是相互獨(dú)立的具有相同分布隨機(jī)變量,在儀器無(wú)系統(tǒng)誤差時(shí)有,即由切比雪夫大數(shù)定律,,有,即,有從而確定當(dāng)時(shí),隨機(jī)變量依概率收斂于,即當(dāng)充分大時(shí),可以用作為儀器誤差的方差近似值.1.3.2伯努利大數(shù)定律及其在重復(fù)事件方面的應(yīng)用伯努利大數(shù)定律〔頻率的穩(wěn)定性〕：設(shè)是次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,那么對(duì)于任意正數(shù)ε,恒有或【2】說(shuō)明：隨著n的增大,事件A發(fā)生的頻率與其概率p的偏差大于預(yù)先給定的精度的可能性愈來(lái)愈小,小到可以忽略不計(jì).這就是頻率穩(wěn)定于概率的含義,或者說(shuō)頻率依概率收斂于概率.這個(gè)定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性,因此,在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),便可以用時(shí)間發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率.伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來(lái)確定概率的理論依據(jù).我們可通過(guò)屢次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn),確定事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為.譬如,拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率p=0.5.假設(shè)把這枚硬幣連拋10次,那么因?yàn)閚較小,發(fā)生大偏差的可能性有時(shí)會(huì)大一些,有時(shí)會(huì)小一些.假設(shè)把這枚硬幣連拋n次,當(dāng)n很大時(shí),由切比雪夫不等式知：證明出現(xiàn)的概率與0.5的偏差大于預(yù)先給定的精度〔假設(shè)取精度=0.01〕的可能性.當(dāng)n=105時(shí),大偏差放松的可能性小于.當(dāng)n=106時(shí),大偏差發(fā)生的可能性小于.可見(jiàn)試驗(yàn)次數(shù)愈多,偏差發(fā)生的可能性愈小.1.3.3辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用我們已經(jīng)知道,一個(gè)隨機(jī)變量的方差存在,那么其數(shù)學(xué)期望必定存在；但反之不成立,即一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在,那么其方差不一定存在.以上幾個(gè)大數(shù)定律均假設(shè)隨機(jī)變量序列的方差存在,以下的辛欽大數(shù)定律去掉了這一假設(shè),僅設(shè)每個(gè)的數(shù)學(xué)期望存在,但同時(shí)要求為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列.伯努利大數(shù)定律仍然是辛欽大數(shù)定律的特例.辛欽大數(shù)定律：設(shè)為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè)的數(shù)學(xué)期望存在,那么服從大數(shù)定律,即對(duì)任意的,有成立.辛欽大數(shù)定律提供了求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的近似值的方法.設(shè)想對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立重復(fù)地觀察次,第次觀察值為,那么應(yīng)該是相互獨(dú)立的,且它們的分布應(yīng)該與的分布相同.所以,在存在的條件下,按照辛欽大數(shù)定律,當(dāng)足夠大時(shí),可以把平均觀察值作為的近似值.這樣做法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是我們可以不必去管的分布究竟是怎樣的,我們的目的只是尋找數(shù)學(xué)期望.事實(shí)上,用觀察值的平均去作為隨機(jī)變量的均值在實(shí)際生活中是常用的方法.譬如,用觀察到的某地區(qū)5000個(gè)人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值是適宜的,這樣做法的依據(jù)就是辛欽大數(shù)定律.概率論借助于數(shù)學(xué)分析,可以較好地描述、處理、解決隨即現(xiàn)象的有關(guān)理論和應(yīng)用問(wèn)題.反之,用概率方法來(lái)解決數(shù)學(xué)分析中的一些問(wèn)題,也是概率論的重要研究方向之一[3].數(shù)學(xué)分析中的有些問(wèn)題,用數(shù)學(xué)分析的方法很難解決,但如果巧用概率論的方法,那么變得比擬容易處理了.再比方,許多極限的運(yùn)算運(yùn)數(shù)學(xué)分析的方法會(huì)很麻煩,但是運(yùn)用概率論中相關(guān)的知識(shí)或許會(huì)到達(dá)事半功倍的效果.例3：假設(shè),求其極限.解：假設(shè)隨機(jī)變量在[0,1]上有均勻分布,而且相互獨(dú)立,有易見(jiàn)由獨(dú)立同分布,可見(jiàn)獨(dú)立同分布.根據(jù)辛欽大數(shù)定律知從而1.4大數(shù)定律的意義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)，而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái).大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容,其目的是考察隨機(jī)序列的穩(wěn)定性.從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出：一個(gè)事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近.人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性.這就是說(shuō)，無(wú)論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以及它們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)過(guò)程中的個(gè)別特征如何，大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的特征無(wú)關(guān)，且不再是隨機(jī)的.深入考慮后,大數(shù)定律就是要研究在什么條件下具有穩(wěn)定性的問(wèn)題，同時(shí)大數(shù)定律是保險(xiǎn)財(cái)政穩(wěn)定性重要的理論根底，大數(shù)定律在概率論的所有局部中都有著應(yīng)用.除此之外,許多學(xué)者利用概率論思想研究了大數(shù)定律在其他相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用.例如統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用,在信息論中的應(yīng)用,在分析,數(shù)論等方面的應(yīng)用.2中心極限定理的應(yīng)用2.1前言大數(shù)定律討論的是多個(gè)隨機(jī)變量的平均的漸近性質(zhì),但沒(méi)有涉及到隨機(jī)變量的分布的問(wèn)題.而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,正態(tài)分布是一種最常見(jiàn)而又最重要的分布.在實(shí)際應(yīng)用中,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布.在實(shí)際應(yīng)用中,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的和分布也近似服從正態(tài)分布,自然要提出這樣的問(wèn)題：為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在,從而在概率論中占有如此重要的地位？應(yīng)如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象的這一客觀規(guī)律性呢？事實(shí)上,這正是客觀實(shí)際的反映,中心極限定理就是概率論中論證隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的定理總稱.概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理.2.2幾類重要的中心極限定理的應(yīng)用2.2.林德伯格定理：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量滿足林德伯格條件，對(duì)于任意的正數(shù),有.其中是隨機(jī)變量的概率密度,那么當(dāng)時(shí),我們有即其中是任何實(shí)數(shù).林德伯格定理可以解釋如下：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和,其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用,那么可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是服從正態(tài)分布的.例如,進(jìn)行觀測(cè)時(shí),不可防止地有許多引起觀測(cè)誤差的隨機(jī)因素影響著我們的觀測(cè)結(jié)果,其中有些誤差是由測(cè)量?jī)x器的情況引起的,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測(cè)站個(gè)人的誤差,這些誤差大多數(shù)是由于視覺(jué)或聽(tīng)覺(jué)引起的等等.這些因素中的每一個(gè)都可能使觀測(cè)的結(jié)果產(chǎn)生很小的誤差,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測(cè)結(jié)果,于是我們得到的是一個(gè)“總的誤差〞.所以,實(shí)際觀測(cè)的到的誤差可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量,它是很多數(shù)值微小的獨(dú)立隨機(jī)變量的總和,按林德伯格定理,這個(gè)隨機(jī)變量應(yīng)該服從正態(tài)分布.此外,還可以舉出很多類似的例子,這里具體舉出一個(gè)例子[4].例4：某保險(xiǎn)公司有2500個(gè)人參加保險(xiǎn),每人每年付1200元保險(xiǎn)費(fèi),在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.002,死亡時(shí)某家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20萬(wàn)元.問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于100萬(wàn)元,200萬(wàn)元的概率各位多大？解：〔1〕設(shè)X為一年內(nèi)死亡的人數(shù),那么X～B(2500,0.002),,P(虧本)=保險(xiǎn)公司虧本的概率為0.00007,幾乎為零.〔2〕P(利潤(rùn))P(利潤(rùn))以上結(jié)果說(shuō)明保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧本,不過(guò)要記住,關(guān)鍵之處是對(duì)死亡率估計(jì)必須正確,如果所估計(jì)死亡率比實(shí)際低,甚至低得多,那么情況就會(huì)不同.2.2.列維定理：設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,服從同一分布,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,那么隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足如下極限式,其中是任何實(shí)數(shù).定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,不管服從什么分布,只要他們是分布,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差,那么,當(dāng)充分大時(shí),這些隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布.大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中的重要理論,是分析中的極限理論在概率論中的綜合運(yùn)用,同時(shí)極限定理中的一些結(jié)果也為分析中的許多極限問(wèn)題提供了有力工具[5].例5：求極限解引入隨機(jī)變量〔參數(shù)為的泊松分布〕,,且相互獨(dú)立,由泊松分布的再生性知,,所以P｛｝=,而E〔〕=D｛｝=n,P｛n｝=P｛｝即：=P｛｝令n,由中心極限定理可知：=P｛｝==2.2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,事件A在各次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,隨機(jī)變量表示事件A在次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),那么有,其中是任何實(shí)數(shù).棣莫弗-拉普拉斯定理是概率論歷史上的第一個(gè)中心極限定理,它是專門針對(duì)二項(xiàng)分布的,因此稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似〞.在之前概率論的學(xué)習(xí)中有“二項(xiàng)分布的泊松近似〞，兩者相比,一般在較小的時(shí)候,用泊松分布近似較好,而在和時(shí),用正態(tài)分布近似較好.二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布，即如果那么一般地,如果,那么說(shuō)明：這個(gè)公式給出了較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法.在給出棣莫弗-拉普拉斯定理應(yīng)用之前,先說(shuō)明兩點(diǎn)：(1)因?yàn)槎?xiàng)分布是離散分布,而正態(tài)分布是連續(xù)分布,所以用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似計(jì)算中,作為修正可以提高精度.假設(shè)均為整數(shù),一般先作如下修正后再用正態(tài)近似.(2)假設(shè)記,那么由棣莫弗—拉普拉斯極限定理給出的近似式，可用來(lái)解決三類計(jì)算問(wèn)題：〔1〕求；〔2〕求;〔3〕求.以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子.給定，求.例6：一復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立工作的部件組成,每個(gè)不見(jiàn)正常工作的概率為0.9.一直真?zhèn)€系統(tǒng)中至少有85個(gè)不見(jiàn)正常工作,系統(tǒng)工作才正常.試求系統(tǒng)正常工作的概率.解：記=100,為100個(gè)部件中正常工作的部件數(shù),那么～b(100,0.9)；；所求概率為②，求.例7：某車間有同型號(hào)的機(jī)床200臺(tái),在一小時(shí)內(nèi)每臺(tái)機(jī)床有70％的時(shí)間是工作.假定各機(jī)床工作是相互獨(dú)立的,工作時(shí)每臺(tái)機(jī)床要消耗電能15kW.問(wèn)至少要多少電能,才可以有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn).解：記=200,為200臺(tái)機(jī)床中同時(shí)工作的機(jī)床數(shù),那么：～b(200,0.7),.因?yàn)榕_(tái)機(jī)床同時(shí)工作需消耗15〔kW〕電能,所以設(shè)供電數(shù)為(kW),那么正常生產(chǎn)為,由題設(shè),其中查正態(tài)分布表得從中解得〔kW〕,即此車間每小時(shí)至少需要2252〔kW〕電能,才有95％的可能性保證此車間正常生產(chǎn).③，求.例8：某調(diào)查公司受委托,調(diào)查某電視節(jié)目在S市的收視率,調(diào)查公司將所有調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的頻率作為的估計(jì).現(xiàn)在要保證有90％的把握,使得調(diào)查所得收視率與真實(shí)收視率之間的差異不大于5％.問(wèn)至少要調(diào)查多少對(duì)象？解：設(shè)共調(diào)查n個(gè)對(duì)象,記=0,當(dāng)?shù)趇個(gè)調(diào)查對(duì)象收看此電視節(jié)目；=1,當(dāng)?shù)趇個(gè)調(diào)查對(duì)象不看此電視節(jié)目.那么獨(dú)立同分布,且(=1)=,(=0)=,又記個(gè)被調(diào)查對(duì)象中,收看此電視節(jié)目的人數(shù)為,那么有由大數(shù)定律,當(dāng)很大時(shí),頻率與概率很接近,即用頻率作為的估計(jì)是適宜的.根據(jù)題意有,所以,查正態(tài)分布表得,從中解得：np(1-p)=p(1-p)×1082.41又因?yàn)?所以,即至少調(diào)查271個(gè)對(duì)象.例9：某單位有200臺(tái)分機(jī),每臺(tái)有5％的時(shí)間要使用外線通話,假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的,問(wèn)該單位總機(jī)要安裝多少條外線,才能以90％以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？解：設(shè)有局部機(jī)同時(shí)使用外線,那么有,其中,,,設(shè)有條外線.由題意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有查表得,故應(yīng)滿足條件.即,取,即至少要安裝14條外線.李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用設(shè)為獨(dú)立隨即變量序列,假設(shè)存在,滿足那么對(duì)任意的,有其中,,例10：一份考卷由99個(gè)題目組成,并按由易到難順序排列.某學(xué)生答對(duì)第1題的概率為0.99；答對(duì)第2題的概率為0.98；一般地,他答對(duì)第題的概率為1－,.假設(shè)該學(xué)生答復(fù)各題目是相互獨(dú)立的,并且要正確答復(fù)其中60個(gè)題目以上〔包括60個(gè)〕才算通過(guò)考試.試計(jì)算該學(xué)生通過(guò)考試的可能性多大？解：設(shè)假設(shè)學(xué)生答對(duì)第題,那么；假設(shè)學(xué)生答錯(cuò)第題,那么.于是Xi相互獨(dú)立,且服從不同的二點(diǎn)分布：,,.而我們要求的是，為使用中心極限定理,我們可以設(shè)想從開(kāi)始的隨機(jī)變量都與同分布,且相互獨(dú)立.下面我們用來(lái)驗(yàn)證隨機(jī)變量序列滿足李雅普諾夫條件,因?yàn)?于是〔n〕,即滿足李雅普諾夫條件,所以可以使用中心極限定理.又因?yàn)?所以該學(xué)生通過(guò)考試的可能性為由此看出：此學(xué)生通過(guò)考試的可能性很小,大約只有千分之五.3大數(shù)定律和中心極限定理的比擬應(yīng)用3.1大數(shù)定律和中心極限定理的比擬應(yīng)用例11：現(xiàn)有一大批種子,其中良種占,今在其中任選6000粒,試分別用切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子良種所占的比例與之差小于1％的概率是多少？解：〔1〕設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為,那么于是要估計(jì)的規(guī)律為,相當(dāng)于在切比雪夫不等式中取,于是由題意得即用切比雪夫不等式估計(jì)此概率不小于0.7685.〔2〕由拉普拉斯中心極限定理,對(duì)于二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似,于是所求概率為即用中心極限定理估計(jì)此概率不小于0.9625.從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來(lái)要求的概率不小于0.7685,而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625.從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是較低的.但由于它的要求比擬低,只要知道X的期望和方差,因而在理論上有許多運(yùn)用.當(dāng)然，兩者的比擬還有在許多方面的應(yīng)用，這里就不做詳細(xì)的介紹了，只起到一個(gè)引導(dǎo)的作用.結(jié)論隨著社會(huì)的飛速開(kāi)展,市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨劇烈,決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷,決策概率分析這門學(xué)科越來(lái)越顯示其重要性.利用數(shù)學(xué)方法,定量地對(duì)醫(yī)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)分析,使其結(jié)論具有可信度,更有利于促進(jìn)對(duì)病人的對(duì)癥施治等.本文詳細(xì)介紹了大數(shù)定律和中心極限定理及其在生活各方面的應(yīng)用.通過(guò)這些詳細(xì)的講述,可以看到這兩個(gè)概率公式的應(yīng)用是多方面的.靈活使用這兩個(gè)概率公式會(huì)給我們的解題帶來(lái)很大方便,而這兩個(gè)概率定理的應(yīng)用范圍十分廣泛,成為我們解決更復(fù)雜問(wèn)題的有效工具.本次畢業(yè)論文的撰寫,使我擴(kuò)大了知識(shí)范圍,鍛煉了觀察和思維能力,進(jìn)一步提高了動(dòng)手和實(shí)踐能力.理論聯(lián)系實(shí)際,使畢業(yè)論文中所應(yīng)用的理論知識(shí)有了更可靠的依據(jù).但由于研究周期較短,本研究還有很多缺乏之處,本文只是舉了幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明它們的應(yīng)用,事實(shí)上它們的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此,還可以用來(lái)解決投資、保險(xiǎn)、工程等一系列不確定的問(wèn)題.另外還有什么樣的問(wèn)題應(yīng)該用大數(shù)定律解決呢？什么樣的問(wèn)題應(yīng)該用中心極限定理？什么樣的問(wèn)題要綜合兩個(gè)定理才能夠解決？本文都沒(méi)有得