第一章集合與常用邏輯用語章末素養(yǎng)提升|體系構(gòu)建||核心歸納|1．集合中元素的三個(gè)特性特征含義示例確定性作為一個(gè)集合的元素，必須是確定的，不能確定的對(duì)象就不能構(gòu)成集合，也就是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了集合A＝{1，2，3}，則1∈A，4?A特征含義示例互異性對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者說是互異的)，這就是說，集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入同一集合時(shí)只能算集合的一個(gè)元素集合{x，x2－x}中的x應(yīng)滿足x≠x2－x，即x≠0且x≠2無序性構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分集合{1，0}和{0，1}是同一個(gè)集合2．集合描述法的兩種形式(1)符號(hào)描述法：用符號(hào)把元素的共同屬性描述出來，其一般形式為{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同屬性，豎線不可省略，如大于1且小于4的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合可以表示為{x∈R|1＜x＜4}．在不產(chǎn)生誤解的情況下，x的取值集合可以省略不寫，如在實(shí)數(shù)集R中取值，“∈R”常省略不寫，于是上述集合可表示為{x|1＜x＜4}．(2)文字描述法：用文字把元素的共同屬性敘述出來，并寫在花括號(hào)內(nèi)，如{x|x是參加平昌冬奧會(huì)的運(yùn)動(dòng)員}，但花括號(hào)內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”“全部”等字樣．3．條件關(guān)系判定的常用結(jié)論4．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定對(duì)含有全稱(存在)量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：第一步，將全稱(存在)量詞改寫成存在(全稱)量詞；第二步，將結(jié)論加以否定．含有全稱量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題，含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．例如：(1)“所有的正方形都是矩形”的否定為“至少存在一個(gè)正方形不是矩形”，其中，把全稱量詞“所有的”變?yōu)榇嬖诹吭~“至少存在一個(gè)”；(2)“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋x＋1≤0”的否定為“對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x2＋x＋1＞0”，其中，把存在量詞“存在一個(gè)”變?yōu)槿Q量詞“所有的”．|思想方法|(一)分類與整合思想思想方法解讀：當(dāng)所給集合不確定時(shí)，往往需要對(duì)集合的種類和集合中的字母參數(shù)進(jìn)行分類討論，特別要注意空集的情況．已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，則a＝

(

)【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合中元素的互異性，屬?？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)．已知集合A＝{x|2≤x≤9}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查描述法表示集合的概念，以及子集的定義，不要漏了B＝?的情況．1．已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|5＜2x－1＜17}．(1)求A∩B，(?RB)∪A；(2)已知C＝{x|m＋2＜x≤2m}，若C∩B＝C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)因?yàn)锽＝{x|5＜2x－1＜17}＝{x|3＜x＜9}，所以A∩B＝{x|3＜x＜7}，?RB＝{x|x≤3或x≥9}，所以(?RB)∪A＝{x|x＜7或x≥9}．(二)數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀：在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，可借助Venn圖實(shí)施，對(duì)連續(xù)的數(shù)集間的運(yùn)算，常常利用數(shù)軸進(jìn)行，這在本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為 (

)A．60 B．70C．80 D．90【答案】B

【解析】隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，作出Venn圖如下，所以閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為10＋60＝70．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題求閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)，考查交集、并集的定義等基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)用Venn圖求解能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．2．某城市舉辦數(shù)、理、化競賽，高一某班有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有5名，只參加物、化兩科的有3名，只參加數(shù)、化兩科的有4名．若該班學(xué)生共有48名，問沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有多少名？解：如圖，畫三個(gè)圓分別代表參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽的人數(shù)．因?yàn)閰⒓訑?shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科競賽的有5名，只參加物、化兩科競賽的有3名，只參加數(shù)、化兩科競賽的有4名．分別填入圖形中，又因?yàn)橛?4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名學(xué)生參加物理競賽，19名學(xué)生參加化學(xué)競賽．故單獨(dú)參加數(shù)學(xué)的有8人，單獨(dú)參加物理的有13人，單獨(dú)參加化學(xué)的有5人，故8＋13＋5＋5＋7＋4＋3＝45是參加競賽的人數(shù)，所以沒參加的人數(shù)為48－45＝3．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∩Q＝

(

)A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}【答案】A

【解析】在數(shù)軸上表示兩個(gè)集合，如圖所示，可得P∩Q＝{x|－1≤x＜3}．【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，涉及集合的基本運(yùn)算，可運(yùn)用數(shù)軸數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)．3．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∪B＝ (

)A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}【答案】D

【解析】在數(shù)軸上表示出集合A與B，如圖所示．則由并集的定義知，A∪B＝{x|－1≤x≤4}．故選D．

(三)轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法解讀：應(yīng)用集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算求參數(shù)或確定另外的集合，關(guān)鍵是利用交、并、補(bǔ)集的定義將問題轉(zhuǎn)化為元素與集合的關(guān)系，從而構(gòu)造方程、不等式(組)來解答．已知集合A＝{x|－a＜x＜2a－6}，B＝{x|(x＋1)(x－5)＜0}．(1)若a＝4，求A∩B；(2)若A∪B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)B＝{x|－1＜x＜5}，當(dāng)a＝4時(shí)，A＝{x|－4＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法的定義，不等式的解法，交集、并集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}．(1)若a＝5，求A∪B；(2)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．|鏈接高考|

(2022年浙江)設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，則A∪B＝ (

)A．{2} B．{1，2}C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}【答案】D

【解析】∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．集合的并集、交集、補(bǔ)集及其運(yùn)算

(2023年新高考Ⅰ)若集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝

(

)A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．2【答案】C

【解析】因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|(x－3)(x＋2)≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，且M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

(2022年北京)已知全集U＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，則?UA＝ (

)A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3)C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3)【答案】D

【解析】因?yàn)槿疷＝{x|－3＜x＜3}，集合A＝{x|－2＜x≤1}，所以?UA＝{x|－3＜x≤－2或1＜x＜3}＝(－3，－2]∪(1，3)．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

(2022年乙卷)設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則 (

)A．2∈M B．3∈MC．4?M D．5?M【答案】A

【解析】因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

(2023年甲卷)設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，則N∪?UM＝ (

)A．{2，3，5} B．{1，3，4}C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}【答案】A

交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【解析】因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以?UM＝{2，3，5}．又因?yàn)镹＝{2，5}，所以N∪?UM＝{2，3，5}．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

(2022年天津)設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，2}，則A∩(?UB)＝ (

)A．{0，1}

B．{0，1，2}C．{－1，1，2}

D．{0，－1，1，2}【答案】A

【解析】∵U＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{－1，2}，∴?UB＝{－2，0，