宿遷市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線斜率等于傾斜角的正切值，從而求出傾斜角【詳解】因?yàn)椋?，所以：k=由于：，則，即：=故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系2.數(shù)列1，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以該?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是；對(duì)于選項(xiàng)B：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對(duì)于選項(xiàng)C：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對(duì)于選項(xiàng)D：，所以本選項(xiàng)不符合要求，故選：A3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為可知，拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).4.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.4 B.12 C.15 D.21【答案】B【解析】【分析】由瞬時(shí)變化率的定義，代入公式求解計(jì)算.【詳解】由題意，該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：B5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.6.直線與直線交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得到，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.7.2021年4月29日，中國(guó)空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國(guó)空間站在軌組裝建造全面展開，我國(guó)載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個(gè)多月.在這段時(shí)間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來(lái)說(shuō)，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點(diǎn)稱作近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)，近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)高度.已知天和核心艙在一個(gè)橢圓軌道上飛行，它的近地點(diǎn)高度大約351km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，求出軌道即橢圓的半長(zhǎng)軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;,解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A8.已知圓，若存在過(guò)點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)椋?，而，或，所以，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.以下四個(gè)命題正確的有（）A.若直線在x軸上的截距為，則實(shí)數(shù)B.若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則C.直線與圓相離D.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】A：利用代入法進(jìn)行求解判斷即可；B：根據(jù)直線的斜截式方程進(jìn)行求解判斷即可；C：利用直線所過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)平行線間距離公式進(jìn)行求解判斷即可【詳解】A：因?yàn)橹本€在x軸上的截距為，所以有，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：，因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)第四象限，所以有，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，因此該直線與圓相交，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；D：因?yàn)橹本€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線與直線平行，所以設(shè)對(duì)稱直線方程為：，于是有：，或（舍去），即，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：AD10.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A. B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C. D.當(dāng)時(shí)，n的最小值為29【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合該數(shù)列的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】由.A：因?yàn)?，所以有，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：因?yàn)?，所以該等差?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以?dāng)，或時(shí)，取得最小值，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：因?yàn)?，所以該等差?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：因?yàn)?，所以由，可得：，因此n的最小值為，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故選：BC11.雙曲線上的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是()A.該雙曲線的離心率為 B.該雙曲線的漸近線方程為C.若，則的面積為16 D.點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積【答案】BCD【解析】【分析】A：離心率e＝；B：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線漸近線為；C：設(shè)，則根據(jù)雙曲線定義得，根據(jù)勾股定理得，由此求出mn，；D：設(shè)，則，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)P到兩漸近線距離乘積即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，，，A：，故A錯(cuò)誤；B：漸近線為，故B正確；C：設(shè)，則，，故C正確；D：設(shè)，則，雙曲線漸近線為：，，∴點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積為，故D正確.故選：BCD.12.關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)任意的，B.對(duì)任意的，C.函數(shù)的最小值為D.若存在使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；B：利用特殊值法，進(jìn)行判斷即可；C：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；D：利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)特稱命題與它的否命題的真假關(guān)系，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，所以有，即，所以本選項(xiàng)正確；B：，，顯然，所以本選項(xiàng)不正確；C：由，設(shè)當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，因此本選項(xiàng)正確；D：命題：存在使得不等式成立，它的否命題為：，不等式恒成立，，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為：，，當(dāng)時(shí)，而，所以，當(dāng)時(shí)，要想恒成立，只需恒成立當(dāng)，，也成立，即成立，也就是成立，構(gòu)造新函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即，要想不等式恒成立，只需，當(dāng)時(shí)，，而的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集，顯然不可能恒成立，因此當(dāng)時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立，因此當(dāng)時(shí)，存在使得不等式成立，所以實(shí)數(shù)a的最大值為，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合存在性和任意性的定義是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.14.求值______.【答案】【解析】【分析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結(jié)果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結(jié)果為故答案為：15.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸：反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線，經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)度為______.【答案】####【解析】【分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)以及拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱軸的光線交拋物線于點(diǎn)，故對(duì)，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，則.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【答案】①.②..【解析】【分析】結(jié)合遞推公式計(jì)算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項(xiàng)和為，，______，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】；【解析】【分析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項(xiàng)公式，從而表示出，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選②：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以選③：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．18.已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長(zhǎng)為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求此時(shí)圓C的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)椋?，所以有，?dāng)P在x軸上方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥?hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于有以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.19.著名的“康托爾三分集”是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長(zhǎng)度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長(zhǎng)度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長(zhǎng)度總和為，若使不大于原來(lái)的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長(zhǎng)度的和，求得其通項(xiàng)公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，結(jié)合題意，得到，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后“康托爾三分集”為；【小問(wèn)2詳解】解：將定義的區(qū)間長(zhǎng)度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長(zhǎng)后組成的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第2次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第3次操作去掉四個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第4次操作去掉個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，第次操作去掉個(gè)區(qū)間長(zhǎng)為，剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長(zhǎng)度和為；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間為，則區(qū)間長(zhǎng)度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長(zhǎng)度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長(zhǎng)度之和不大于，則滿足，即，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋士傻?，令，可得或；?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則的最小值；又，當(dāng)時(shí)，的最大值，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，的最大值，此時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.21.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓E上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過(guò)C，D兩點(diǎn)的直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以有.橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，由可解：，所以該