專題14.2因式分解【典例1】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反過來，就得到：a1我們發(fā)現(xiàn)，二次項的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為a1xc1像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子x2-x-6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項－6也分解為兩個因數(shù)的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項的系數(shù)－1，于是x2-x-6就可以分解為(x2)(請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2-x-6=【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）2x2+5x-7（2）6x2-7xy+2【探究與拓展】對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mxpyjnx（1）分解因式3x2+5xy-2（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy-18y（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路點撥】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據(jù)二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據(jù)二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據(jù)二元二次多項式的十字相乘法，對方程進行分解因式，化為二元一次方程，進而即可求解．【解題過程】解：【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴x2-x-6=x-3x2故答案是：x-3x2；【理解與應用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵x2∴x2畫十字交叉圖：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y為整數(shù)，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．1．（2023春·江蘇·七年級專題練習）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．【思路點撥】利用十字相乘法，分別對二次項系數(shù)，常數(shù)項進行因數(shù)分解，交叉乘加，檢驗是否得中項的系數(shù)，從而確定適當?shù)摹笆帧边M行因式分解．【解題過程】解：利用十字相乘法，如圖，將二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉乘加驗中項，得出答案，15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．故答案為：（3x﹣4y）（5x+11y）．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）分解因式：x6-28【思路點撥】利用整體思想及十字相乘法與立方差公式求解．【解題過程】解：原式=x=x=x-1故答案為：x-1x3．（2023春·七年級課時練習）分解因式：a4-4【思路點撥】本題有a的四次項、a的三次項，a的二次項，有常數(shù)項，所以首要考慮的就是三一分組，前三項提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項繼續(xù)利用平方差公式分解因式．【解題過程】解：a=(=a=(=(a-3)(a+1)(故答案為：(a-3)(a+1)(a4．（2023春·七年級課時練習）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．【思路點撥】首先將11x拆項，進而利用提取公因式法以及公式法分解因式進而得出答案．【解題過程】解：x3﹣6x2+11x﹣6＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．故答案為：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．5．（2023春·七年級課時練習）因式分解：6x2【思路點撥】將原式進行拆解變形為6x2【解題過程】解：6=6=2x-y3x-y+4=2x-y=2x-y+33x-y+4所以答案為2x-y+33x-y+46．（2023春·七年級課時練習）分解因式：x+y-2xyx+y-2+【思路點撥】先利用乘法公式展開、合并得到原式=x+y2-2【解題過程】解：原式=x+y=x+y=x+y=x+y==(x-1)(y-1)=x-1故答案為：x-127．（2023春·江蘇·七年級專題練習）分解因式：（1）x（2）x（3）x（4）x（5）x（6）x（7）x（8）x（9）x（10）x（11）x（12）x【思路點撥】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用十字相乘法分解因式即可；（5）利用十字相乘法分解因式即可；（6）利用十字相乘法分解因式即可；（7）利用十字相乘法分解因式即可；（8）利用十字相乘法分解因式即可；（9）利用分組分解法分解因式即可；（10）利用分組分解法分解因式即可；（11）利用分組分解法分解因式即可；（12）利用分組分解法分解因式即可．【解題過程】（1）解：x∴x2（2）解：x∴x（3）解：x∴x2（4）解：x∴x2（5）解：3∴3x（6）解：3∴3x（7）解：-12∴原式=-3x-4（8）解：-3∴原式=-x+2（9）解：x==x+y（10）解：x==x（11）解：a===a+2+3b（12）解：a===a+2b-28．（2022秋·全國·八年級專題練習）因式分解：（1）x2（2）x2（3）x2（4）x2（5）x2【思路點撥】（1）先提公因式，再運用十字相乘法進行因式分解．（2）運用公式法進行因式分解．（3）先化簡，再運用十字相乘法進行因式分解．（4）先化簡，再運用提公因式法進行因式分解．（5）先分組，再提公因式進行因式分解．【解題過程】（1）解：（1）-2＝-2x＝-2x(x-2)(x-6)．（2）(＝a＝a+b＝a+b+c(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)（3）(＝x＝x＝x＝x+1（4）x+y＝x+y＝x＝x＝3＝3xyx+y（5）x＝x＝x＝x＝(x-1)(x9．（2023春·七年級課時練習）因式分解：（1）x2（2）x2（3）x2【思路點撥】（1）利用分組法變形為a2（2）利用十字相乘法xx（3）變形為x2【解題過程】（1）解：原式===(a+2b-3c)(a-2b+3c)；（2）解：原式=(x-5)(x+3)；（3）解：原式===(x+y-5)(x-y+1)．10．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級景德鎮(zhèn)一中?？计谀┓纸庖蚴剑海?）3a(（2）2b（3）計算：24（4）4x【思路點撥】（1）綜合利用提公因式法和公式法進行因式分解即可得；（2）利用分組分解法進行因式分解即可得；（3）先利用公式法分解x4+14和（4）先利用十字相乘法分解4x【解題過程】解：（1）原式=3a=3a(=3a(b+3)（2）原式===2b-1（3）∵xx+1==x∴x+1∴===85；（4）原式====4x-2y+111．（2022秋·全國·八年級專題練習）把下列多項式分解因式：（1）a（2）a（3）a（4）1+y【思路點撥】（1）（2）（3）利用分組分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解題過程】解：（1）a=a+2b=a+2b-ca+2b（2）a=a=a+b+c=xx+1（3）a=a=a-y=a-y=-x-a-b+y（4）1+y=1+y=1+y=x212．（2023·全國·九年級專題練習）因式分解：（1）2a（2）x（3）4（4）y【思路點撥】（1）利用提公因式法分解因式求解即可；（2）利用換元法設(shè)x2（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；（4）首先去括號，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．【解題過程】（1）2a=2a=2a=2aa-1（2）設(shè)x2∴原式=∴x==x+1（3）4=x=x=x=x2x+3y（4）y====y-2+m13．（2023春·全國·七年級專題練習）因式分解：x【思路點撥】前三項利用十字相乘法分解，再設(shè)多項式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，展開后利用等式的性質(zhì)求得a=-5z，b=2z，即可分解．【解題過程】解：x=(x-y)(x+2y)-3xz-12yz-10z設(shè)多項式分解因式為(x-y+a)(x+2y+b)，則(x-y+a)(x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，解得：a=-5z，b=2z，∴x=(x-y-5z)(x+2y+2z)．14．（2022秋·全國·八年級專題練習）因式分解：（1）2（2）x【思路點撥】（1）先將x2+6x+1和（2）原式是關(guān)于x、y、z的輪換式，若將原式視為關(guān)于x的多項式，則當x=y時，原式=0，故原式含有因子x-y，又因為原式是關(guān)于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子y-z，z-x，又因為原式為x，y，z的五次式，因此可以設(shè)x2y-z3【解題過程】（1）解：2==9x=9（2）解：當x=y時，原式等于0，故原式含有因子x-y，又因為原式是關(guān)于x，y，z的輪換對稱式，故原式還含因子y-z，z-x，又因為原式為x，y，z的五次式，故可設(shè)x2y-z令x=-1，y=0，z=1得2A-B=-1，令x=0，y=1，z=2得5A+2B=2，解得A=0，B=1，所以x215．（2022秋·北京海淀·七年級清華附中?？计谀┊攎為何值時，多項式6x2+mxy-5y2【思路點撥】先將x項和常數(shù)項進行十字分解，設(shè)出兩個因式，兩式相乘與原式比較，列出方程求解即可．【解題過程】解：利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式6x2+mxy-5y2現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作2x-7+ay3x+3+by然后根據(jù)-5y2，38y這兩項，即可斷定是：解得：a=1，b=-5或a=353，又∵m=2b+3a，∴當a=1，b=-5時，m=-7，當a=353，b=-316．（2022秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題；①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3【思路點撥】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．【解題過程】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；②設(shè)B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．17．（2022秋·全國·八年級專題練習）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：x（2）分解因式：9m（3）分解因式：4a【思路點撥】（1）先運用平方差公式，再提取公因式即可；（2）先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；（3）先移項，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．【解題過程】（1）解：x==x+y（2）解：9=9=9=3m+2x-y（3）解：4==4===2a+118．（2022秋·全國·八年級期末）因式分解與整式乘法互為逆運算．如對多項式x2﹣7x+12進行因式分解：首先，如果一個多項式能進行因式分解，則這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的．故可寫成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（對任意實數(shù)x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一組解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像這種能把一個多項式進行因式分解的方法，稱為待定系數(shù)法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），請寫出一組滿足要求的a，b，c的值：．（3）請你運用待定系數(shù)法，把多項式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4進行因式分解．【思路點撥】（1）用十字相乘法分解．（2）根據(jù)因式分解的結(jié)果進行計算，比較系數(shù)即可求解；（3）先分組，再用待定系數(shù)法分解．【解題過程】（1）解：x2﹣15x﹣34＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）＝（x﹣17）（x+2）．故答案為：（x﹣17）（x+2）．（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．故選填一組即可．故答案