第3章成效函數(shù)3.1引言3.2成效的定義和公理系統(tǒng)3.3成效函數(shù)的構(gòu)造3.4風(fēng)險與成效3.5貨幣的成效3.6阿萊斯悖論(Allais’sparadox)3.1引言在定量評價能夠的行動的各種后果時，會遇到兩個主要問題:(1)后果本身是用言語表述，能夠沒有任何適宜的直接丈量標(biāo)度。(2)即使有一個明確的標(biāo)度可以丈量后果，按這個標(biāo)度測得的量也能夠并不反映后果對決策人的真正價值。3.1引言這個例子闡明：即使是數(shù)值量表示的后果，它對決策人的實(shí)踐價值仍有待確定。0實(shí)踐價值100錢100100100000例3.1思索錢對同一個人的價值。假設(shè)一個學(xué)生手頭緊張，正好有時機(jī)掙100元錢，但是所要做的是他相當(dāng)厭惡的任務(wù)?！?〕如他經(jīng)濟(jì)情況差，他會以為100元錢的實(shí)踐價值足夠大，所要做的任務(wù)即使是相當(dāng)厭惡的，他仍會去干；〔2〕如他先有了10000元，要為100元錢去干這份讓他厭惡的任務(wù)，他就很能夠不干了。

3.1引言例3.2決策人面臨圖3.1中決策樹所示的選擇：①確定收入禮品1000元；②參與一次抽獎：有50%的時機(jī)得0元，50%的時機(jī)得2500元。有人選確定性的1000元的收入。抽獎的期望值雖大，風(fēng)險也大，實(shí)踐價值還不如保險的1000元。而有人以為禮品不如抽獎，由于抽獎提供了獲得2500元的時機(jī)。這個例子闡明：決策人的風(fēng)險態(tài)度影響其對后果的實(shí)踐價值判別。圣彼得堡悖論

(St.PetersburgParadox/game)圣彼得堡悖論是數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利〔DanielBernoulli〕的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一個概率期望值悖論，它來自于一種擲幣游戲，即圣彼得堡游戲(表1)。問題：他情愿花100元來參與一次圣彼得堡游戲嗎？圣彼得堡悖論的解釋1：(一)邊沿成效遞減論DanielBernoulli在提出這個問題的時候就給出一種處理方法。他以為游戲的期望值計算不應(yīng)該是金錢，而應(yīng)該是金錢的期望成效，即利用眾所周知的“期望成效遞減律〞，將金錢的成效測度函數(shù)用貨幣值的對數(shù)來表示:成效=log(貨幣值)，如表2所示。一切結(jié)果的成效期望值之和將為一個有限值log(4)≈0.60206，假設(shè)這里的成效函數(shù)符合實(shí)踐，那么理性決策應(yīng)以4元為界。圣彼得堡悖論的解釋2：(二)風(fēng)險厭惡論圣彼得堡悖論對于獎金額大小沒有限制。比如延續(xù)投擲40次才勝利的話，獎金為1.1萬億元。但是這一獎金出現(xiàn)的概率極小，1.1萬億次才能夠出現(xiàn)一次。實(shí)踐上，游戲有一半的時機(jī)，其獎金為2元，四分之三的時機(jī)得獎4元和2元。獎金越少，時機(jī)越大，獎金越大，時機(jī)越小。Hacking〔1980〕所說：花25元的費(fèi)用冒險參與游戲?qū)⑹欠浅Ｓ薇康?，雖有得大獎的時機(jī)，但是風(fēng)險太大。因此，思索采用風(fēng)險厭惡要素的方法可以消解矛盾。PualWeirich就提出在期望值計算中加人一種風(fēng)險厭惡因子，并得出了游戲費(fèi)用的有限期望值，以為這種方法實(shí)踐上處理了該悖論。圣彼得堡悖論的解釋3：(三)成效上限論也有一種觀念以為獎金的成效能夠有一個上限，這樣，期望成效之和就有了一個極限值。Menger以為成效上限是獨(dú)一能消解該悖論的方法。設(shè)成效值等于貨幣值，上限為100單位，那么游戲的期望成效為7.56l25，如表3所示。圣彼得堡悖論的解釋4：(四)結(jié)果有限論Gustason以為，要防止矛盾，必需對期望值概念進(jìn)展限制，其一是限制其結(jié)果的數(shù)目；其二是把其結(jié)果值的大小限制在一定的范圍內(nèi)。這是典型的結(jié)果有限論，這一觀念是從實(shí)踐出發(fā)的。由于實(shí)踐上，游戲的投擲次數(shù)總是有限的數(shù)。比如對游戲設(shè)定某一個投擲的上限數(shù)L，在投擲到這個數(shù)的時候，假設(shè)依然沒有勝利，也終了游戲，不論他還能再投多少，就按照L付錢。由于他即使不設(shè)定L，實(shí)踐上也總有投到頭的時候，人的壽命總是有限的，任何緣由都可以使得游戲中止。如今設(shè)定了上限，期望值自然也就可以計算了。3.1引言由上面例子可知：在進(jìn)展決策分析時，存在如何描畫或表達(dá)后果對決策人的實(shí)踐價值，以便反映決策的人心目中各種后果的偏好次序〔preferenceorder〕的問題。偏好次序是決策人的個性與價值觀的反映，它與決策人所處的社會位置、經(jīng)濟(jì)位置、文化素養(yǎng)、心思和生理〔身體〕形狀有關(guān)。3.2成效的定義和公理系統(tǒng)3.2.1成效的定義3.2.2成效存在性公理3.2.3成效的公理化定義和成效的存在性3.2.4基數(shù)成效與序數(shù)成效3.2.1成效的定義成效〔utility〕：消費(fèi)者從消費(fèi)商品中得到的滿足程度。成效完全是消費(fèi)者的一種客觀心思感受。滿足程度越高，成效越大；滿足程度越低，成效越小。對成效的了解:<最好吃的東西>兔子和貓爭論，世界上什么東西最好吃。兔子說，“世界上蘿卜最好吃。蘿卜又甜又脆又解渴，我一想起蘿卜就要流口水。〞貓不贊同，說，“世界上最好吃的東西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起來又酥又松，味道美極了！〞兔子和貓爭論不休、相持不下，跑去請猴子評理。猴子聽了，不由得大笑起來：“瞧他們這兩個傻瓜蛋，連這點(diǎn)兒常識都不懂！世界上最好吃的東西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且長得美麗。我每天做夢都夢見吃桃子。〞兔子和貓聽了，全都直搖頭。那么，世界上究竟什么東西最好吃？以上的故事闡明成效完全是個人的心思覺得。不同的偏好決議了對同一種商品成效大小的不同評價。3.2.1成效的定義在決策實(shí)際中，后果對決策人的實(shí)踐價值，即決策人對后果的偏好次序是用成效(utility)來描畫的。成效就是偏好的量化，是數(shù)(實(shí)值函數(shù))。1738年，DanielBernoulli就指出：假設(shè)一個人面臨從給定行動集(風(fēng)險性展望集)中作選擇的決策問題，假設(shè)他知道與給定行動有關(guān)的未來的自然形狀，且這些形狀出現(xiàn)的概率知或可以估計，那么他應(yīng)選擇對各種能夠后果的偏好的期望值最高的行動。一、成效的根本概念與符號(1)嚴(yán)厲序“〞ab(或者記作aPb)的含義是“a優(yōu)于b〞(aispreferredtob)；也就是說，假設(shè)非外界要素的強(qiáng)迫，決策人只會選擇a而不會選擇b。一、成效的根本概念與符號(2)無差別“～〞a～b(或記作aIb)的含義是“a無差別于b〞(aisindifferencetob)；也就是說，決策人對選擇或同樣稱心。一、成效的根本概念與符號(3)弱序“≥〞記作aRb，含義是“a不劣于b〞，亦即a優(yōu)于或者無差別于b。一、成效的根本概念與符號(4)展望(prospect)展望指決策的能夠的前景，即各種后果及后果出現(xiàn)的概率的組合，記作P=<p1,c1;p2,c2;…;pr,cr;>.在例3.2的決策問題中，后果集C={1000,2500,0},采取行動a1和a2時的展望分別是:P1=<1.0,1000;0,2500;0,0>P2=<0,1000;0.5,2500;0.5,0>(4)展望(prospect)展望既思索各種后果Ci,又思索了各種后果出現(xiàn)的概率(客觀概率pi或客觀概率πi),全面地描畫了在決策問題中采取某種行動的能夠前景。復(fù)合展望一、成效的根本概念與符號(5)抽獎與確定當(dāng)量由時機(jī)點(diǎn)和該時機(jī)點(diǎn)發(fā)出的n個時機(jī)枝的概率及相應(yīng)后果構(gòu)成的圖形稱為抽獎〔lottery〕，抽獎又稱彩票。假設(shè)C1~(p,C2;(1-P),C3),那么稱確定性后果C1為抽獎(p,C2;(1-P),C3)確實(shí)定當(dāng)量〔certaintyequivalent〕。二、成效的定義根據(jù)上述討論和記號，可以初步給出成效函數(shù)的定義如下。定義3.1在集合P上的實(shí)值函數(shù)u，假設(shè)它和P上的優(yōu)先關(guān)系≥一致，即：假設(shè)P1,P2屬于P，P1≥P2當(dāng)且僅當(dāng)u(P1)≥u(P2)，那么稱u為成效函數(shù)。把成效函數(shù)定義在展望集P上而不是定義在后果集C上，是為了使成效函數(shù)可以反映決策人對風(fēng)險的態(tài)度。3.2.2成效存在性公理定義3.1給出了成效函數(shù)的最根本性質(zhì)，這就是可以根據(jù)它的大小來判別展望P的優(yōu)劣。但是這樣的成效函數(shù)能否一定存在呢?回答是不一定。至于決策人的價值判別在滿足什么條件時存在與之一致的成效函數(shù)，vonNeumann-Morgenstern(1944)給出了成效的存在性公理，又稱理性行為公理。傳送性推導(dǎo):P1P2αP1+(1-α)P1αP2+(1-α)P2αP1+(1-α)P3αP2+(1-α)P3

公理3.3闡明兩個有序的展望各有一樣的比例被相等的量替代后，優(yōu)先關(guān)系不變.例3.3橫過馬路問題:成效有界性證明3.2.3成效的公理化定義和成效的存在性3.2.3成效函數(shù)的存在性3.2.4基數(shù)成效與序數(shù)成效基數(shù)：為實(shí)數(shù)，如1，2，3,π序數(shù)：如第一，二，…，4，3，2，1基數(shù)性成效函數(shù)與序數(shù)成效函數(shù)區(qū)別：基數(shù)成效定義在展望集P上(思索后果及其概率分布),是實(shí)數(shù)；序數(shù)成效定義在后果集C上，不涉及概率，可以是整正數(shù).基數(shù)成效反映偏好強(qiáng)度(正線性變換下獨(dú)一，即原數(shù)列可變換為:b+c,2b+c,3b+c,100b+c;其中b,c∈R1,b＞0.〕序數(shù)成效不反映偏好強(qiáng)度，(保序變換下獨(dú)一),原序數(shù)列可變換為16,9,4,1；或8,6,4,2,或10,7,6,1等.3.2.4基數(shù)成效與序數(shù)成效基數(shù)(cardinalnumber)成效：邊沿成效分析方法總成效〔TOTALUTILITY，TU〕：消費(fèi)者在一定時間內(nèi)從一定數(shù)量商品的消費(fèi)中所得到的成效量的總和;邊沿成效〔MARGINALUTILITY，MU〕：消費(fèi)者在一定時間內(nèi)添加一單位商品的消費(fèi)所得到的成效量的增量.序數(shù)(ordinalnumber)成效：無差別曲線分析方法希克斯以為，成效的數(shù)值表現(xiàn)只是為了表達(dá)偏好的順序，并非成效的絕對數(shù)值。如今比較通用的是序數(shù)成效。3.3成效函數(shù)的構(gòu)造1．估計成效函數(shù)值的方法2．離散型后果的成效設(shè)定3．延續(xù)型后果的成效函數(shù)構(gòu)造4．用解析函數(shù)近似成效曲線1．估計成效函數(shù)值的方法⑴概率當(dāng)量法⑵確定當(dāng)量法⑶增益當(dāng)量法⑷損失當(dāng)量法

從純實(shí)際角度看，這四種方法并沒有本質(zhì)性的區(qū)別；但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果闡明，運(yùn)用確定當(dāng)量法時決策人對最優(yōu)后果〔增益〕的保守性和對損失的冒險性都比概率當(dāng)量法嚴(yán)重(Hershey，1982〕；采用增益當(dāng)量法與損失當(dāng)量法時產(chǎn)生的誤差也比用概率當(dāng)量法大，因此只需有能夠，應(yīng)該盡能夠運(yùn)用概率當(dāng)量法。⑴概率當(dāng)量法2．離散型后果的成效設(shè)定后果為離散型隨機(jī)變量時，后果集C中元素為有限個，構(gòu)造后果集上的成效函數(shù)有兩方面的內(nèi)容:(1)確定各后果之間的優(yōu)先序;(2)確定后果之間的優(yōu)先程度。離散型后果成效值的設(shè)定可以采用概率當(dāng)量法，簡稱NM法。NM法步驟如下：例3.6例3.6天氣預(yù)告說球賽時能夠有雨，一個足球喜好者要決議能否去球場看球。首先作該問題的決策樹如下圖。由題意可知決策人對四種后果優(yōu)劣的排序是：c2c3c4c1。步驟:第一步:令u(c1)=0,u(c2)=1。第二步:訊問決策人，下雨在家看電視這種后果與去球場看球有多大約率下雨被淋相當(dāng)，假設(shè)決策人的回答是0.3，那么c30.7c2+0.3c1，u(c3)＝0.7u(c2)＝0.7。第三步:訊問決策人，無雨看電視這種后果與去球場看球有多大約率下雨被淋相當(dāng)，假設(shè)決策人的回答是0.6，那么c40.4c2+0.6c1，得u(c4)＝0.4c2＝0.4。第四步:進(jìn)展一致性校驗(yàn)。c30.4c2+0.6c4，那么u’(c3)=0.64≠0.7。反復(fù)二、三，假設(shè)u(c3)不變，那么調(diào)整u(c4)=0.5，決策人仍以為c30.4c2+0.6c4，那么經(jīng)過校驗(yàn)。3．延續(xù)型后果的成效函數(shù)構(gòu)造當(dāng)后果c為延續(xù)變量時，上述方法就不再適用。但是假設(shè)能經(jīng)過分析找到u(c)的假設(shè)干特征值，求特征點(diǎn)的成效后，再連成光滑曲線；或者u(c)是延續(xù)、光滑的,那么可以分段構(gòu)造u(c)。每天學(xué)習(xí)時間與成效隨著學(xué)習(xí)時間的添加，成效值也會有所添加但是由于進(jìn)入形狀需求一定的時間，所以在t較小時，成效的添加較慢；過了一小段時間后，成效與所化時間根本上是線性關(guān)系；隨著學(xué)習(xí)時間的不斷添加，人會疲勞，效率會下降；時間太長，這時的效果不如時間適度，即存在成效值最大的點(diǎn)tm；再添加學(xué)習(xí)時間又會從成效最大值處下降。其中與成效最大值對應(yīng)的tm是因人而異。由于成效函數(shù)的獨(dú)一性(即在正線性變換下獨(dú)一，見成效的公理化定義)，成效的值域可以是整個實(shí)軸，而不用限于[0,1]區(qū)間。4．用解析函數(shù)近似成效曲線為了分析和運(yùn)算方便，分析人員通常希望可以用某種解析函數(shù)式u(x)來近似地表達(dá)成效。常用的函數(shù)有冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù).3.4風(fēng)險與成效3.4.1風(fēng)險的含義3.4.2成效函數(shù)包含的內(nèi)容3.4.3相對風(fēng)險態(tài)度3.4.1風(fēng)險的含義風(fēng)險包含有兩個方面的內(nèi)容:(1)后果的損失嚴(yán)重程度;(2)出現(xiàn)損失的能夠性的大小.普通的，可以用以下幾種目的來度量風(fēng)險。(1)方差(2)自方差(3)臨界概率(4)Fishburn的風(fēng)險定義3.4.2成效函數(shù)包含的內(nèi)容1.對風(fēng)險的態(tài)度2.對后果的偏好強(qiáng)度3.可測價值函數(shù)1.對風(fēng)險的態(tài)度如下圖為幾種典型的成效函數(shù)曲線。曲線A是下凹的，曲線N是線性的，曲線P是凸函數(shù)。這三種外形的曲線分別反映了決策人的三種風(fēng)險態(tài)度：風(fēng)險厭惡(riskaversion)、風(fēng)險中立(riskneutralness)和風(fēng)險追求(riskproneness)。風(fēng)險酬金2．對后果的偏好強(qiáng)度調(diào)查一下錢的邊緣價值：設(shè)某人現(xiàn)有積存為0，添加1000元對此人的作用(價值)與有了1000元后再加1500元相等,那么此人的財富的價值函數(shù)是凹函數(shù)，如右圖。假設(shè)訊問貨幣后果對這個決策人的實(shí)踐價值即成效時，決策人以為1000元(0.5,0;0.5,2500),那么與其說此人是風(fēng)險厭惡不如說他是相對風(fēng)險中立。為此有必要對確定性后果的偏好強(qiáng)度加以量化，這就是可測價值函數(shù)。3.可測價值函數(shù)——確定性后果偏好強(qiáng)度的量化定義：在后果空間X上的實(shí)值函數(shù)v，對w，x，y，z∈X有I、(w→x)>(y→z)當(dāng)且僅當(dāng)v(w)－v(x)≥v(y)－v(z),II、v對正線性變換是獨(dú)一確定的。那么稱v為可測價值函數(shù)。可測價值函數(shù)的表示圖如右。3.可測價值函數(shù)3.4.3相對風(fēng)險態(tài)度決策人的真實(shí)的風(fēng)險態(tài)度被稱作相對風(fēng)險態(tài)度(relativeriskattitude)。設(shè)成效函數(shù)和測價值函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，且延續(xù)二次可微。1．成效函數(shù)反映的風(fēng)險的部分測度>0u在x處凹,風(fēng)險厭惡r(x)=-u〞(x)/u’(x)=0u在x處線性,風(fēng)險中立<0u在x處凸,風(fēng)險追求2．可測價值函數(shù)反映的偏好強(qiáng)度的部分測度>0在x處有遞減的邊緣價值m(x)=-v〞(x)/v’(x)=0在x處有不變的邊緣價值<0在x處有遞增的邊緣價值3．決策人真正的風(fēng)險態(tài)度假設(shè)r(x)>m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險厭惡r(x)＝m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險中立r(x)＜m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險追求3.5貨幣的成效3.6阿萊斯悖論(Allais’sparadox)法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者阿萊斯〔Allais，1953〕進(jìn)展了彩票選擇實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，被試者被要求在兩組彩票組合中分別進(jìn)展選擇：推導(dǎo)〔1〕：假設(shè)：u($5m)=1,u($0m)=0。假設(shè)斷策人選擇X，那么有：0.9u($0)+0.1u($5m)>0.89u($0)+0.11u($1m)0.1>0.11u($1m)0.1/0.11>u($1m)

u($1m)<0.1/0.11推導(dǎo)〔2〕：假設(shè)：u($5m)=1,u($0m)=0。假設(shè)斷策人選擇A，那么有：u($1m)>0.89u($1m)+0.1u($5m)+0.01u($0m)u($1m)>0.89u($1m)+0.1u($1m)>0.1/0.11“阿萊斯悖論〞的啟示：“阿萊斯悖論〞的解釋：人們偏好確定性的結(jié)果，而厭惡不確定性的結(jié)果?！布慈说某尚Ш瘮?shù)往往低估一些只具有能夠性的結(jié)果，而相對高估確定性的結(jié)果。〕“阿萊斯悖論〞闡明了真實(shí)的個體決策行為會系統(tǒng)地違反期望成效實(shí)際中的期望成效最大化原理，從而動搖了決策科學(xué)的實(shí)際基石。成效實(shí)際的最新成果：卡尼曼和特沃斯基〔KahnemanandTversky，1979〕提出的展望實(shí)際〔prospecttheory〕。他們對促使人們無法做出符合傳統(tǒng)理性決策模型的要素歸納出三個效果：1)確定效果(certaintyeffect)在下命兩個博彩間進(jìn)展選擇：博彩A：33%的時機(jī)得到2500元，66%的時機(jī)得到2400元，1%的時機(jī)什么也得不到；博彩B：100%的時機(jī)得到2400元。如今思索下面兩個博彩：博彩C：33%的時機(jī)得到2500元，67%的時機(jī)什么也得不到；博彩D：34%的時機(jī)得到2400元，66%的時機(jī)什么也得不到。1)確定效果(certaintyeffect)在A和B中，問卷的結(jié)果顯示有82%的受訪者選擇博彩B。在C和D中問卷顯示有83%的人選擇了博彩C。根據(jù)期望成效實(shí)際，在第一個博彩中：0.33U(2500)+0.66U(2400)<U(2400)，即0.33U(2500)<0.34U(2400)；但是在第二個博彩中卻有0.33U(2500)>0.34U(2400)，兩者在邏輯上矛盾。產(chǎn)生矛盾的緣由是，人們在面臨不確定性時的選擇表現(xiàn)出一些與傳統(tǒng)的成效實(shí)際不符的特征，人的成效函數(shù)低估一些只具有能夠性的結(jié)果，而相對高估確定性的結(jié)果，稱之為確定效果。2)反射效果(reflectioneffect)在下命兩個博彩間進(jìn)展選擇：博彩A：80%的時機(jī)得到4000元；博彩B：100%的時機(jī)得到3000元。如今思索下面兩個博彩：博彩C：80%的時機(jī)損失4000元；博彩D：100%的時機(jī)損失3000元。2)反射效果(reflectioneffect)