設(shè)包含點(diǎn)r′的某空間區(qū)域V的邊界S上滿足邊界條件則分別稱此邊值問(wèn)題的解G(r,

r′)為泊松方程在區(qū)域V內(nèi)的第一類或第二類邊值問(wèn)題的格林函數(shù)，也可以簡(jiǎn)稱為第一類格林函數(shù)或第二類格林函數(shù)。同理可得區(qū)域V內(nèi)的第三類格林函數(shù)。格林函數(shù)滿足對(duì)稱性，即互易性。11.1.2用格林函數(shù)表示邊值問(wèn)題的解設(shè)區(qū)域V內(nèi)的電荷分布為

(r)，則電位分布

(r)滿足泊松方程利用格林函數(shù)所滿足的泊松方程、格林函數(shù)的對(duì)稱性和

函數(shù)的挑選性，可以得到①此式即為用格林函數(shù)表示的有限區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的電位表達(dá)式。如果知道了區(qū)域V中的電荷分布和邊界條件，區(qū)域V中任意點(diǎn)的電位即可由此式求出。對(duì)格林函數(shù)法的進(jìn)一步說(shuō)明可以用于第一類、第二類和第三類邊值問(wèn)題的求解只要求出了待求區(qū)域V內(nèi)的格林函數(shù)，即可用上式求出區(qū)域V內(nèi)的電位分布某區(qū)域的格林函數(shù)的求解本身就是一個(gè)求解邊值問(wèn)題的過(guò)程，但通常其邊界條件相對(duì)待解邊值問(wèn)題的邊界條件簡(jiǎn)單某區(qū)域的格林函數(shù)只與區(qū)域形狀有關(guān)，與待解邊值問(wèn)題的邊界條件無(wú)關(guān)給定區(qū)域的格林函數(shù)可以用多種方法求解，如鏡像法、分離變量法等只有當(dāng)待求區(qū)域的邊界為幾種特殊形狀時(shí)，才能得到其格林函數(shù)無(wú)界空間的格林函數(shù)在無(wú)界空間中，以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，位于r′處的單位正點(diǎn)電荷在r處所產(chǎn)生的電位，即為無(wú)界空間的格林函數(shù)，有半空間的格林函數(shù)考慮到無(wú)限大接地理想導(dǎo)體平板上方有一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)的電位分布情況，可用鏡像法求出上半空間的格林函數(shù)，有其中，r和r′分別為原電荷和像電荷的位置矢量。球內(nèi)、球外空間的格林函數(shù)球內(nèi)和球外空間的格林函數(shù)可以用接地導(dǎo)體球外或球內(nèi)放置點(diǎn)電荷時(shí)，用鏡像法求解電位分布的方法求得，即其中，a為球形區(qū)域的半徑，R1和R2分別為原電荷和像電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。11.1.3用格林函數(shù)求邊值問(wèn)題求解某電荷和邊界條件給定的區(qū)域的電位分布時(shí)，需先求出該區(qū)域的格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)，再利用①式求解。例1在無(wú)限大的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的圓，圓內(nèi)與圓外之間用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓內(nèi)的電位為常數(shù)V0，導(dǎo)體其余部分電位為零，求上半空間電位分布。解：由于上半空間中沒(méi)有電荷分布，所以此問(wèn)題是拉普拉斯方程的第一類邊值問(wèn)題。利用①式，并考慮上半空間第一類格林函數(shù)在導(dǎo)體平面上為零，得上半空間的電位為將上半空間的格林函數(shù)代入，再利用題目給定的邊界條件，可以通過(guò)積分求出上半空間的電位分布。（略）za11.3有限差分法

當(dāng)邊界為任意形狀時(shí)，分離變量法和鏡像法等解析法都無(wú)法使用，通常使用數(shù)值法求解。有限差分法即為最簡(jiǎn)單的一種數(shù)值法。

基本原理以離散點(diǎn)上的電位值替代連續(xù)分布的電位函數(shù)，或者說(shuō)，把求解連續(xù)電位分布的問(wèn)題化成求解離散點(diǎn)電位值的問(wèn)題。求解方法將連續(xù)區(qū)域分割成分離點(diǎn)原則上可以任意劃分，但為方便，采用有規(guī)律的網(wǎng)格劃分。用差商代替電位

的偏導(dǎo)數(shù)選節(jié)點(diǎn)0，1，2，3，4，各點(diǎn)電位分別為

0，

1，

2，

3，

4，等步長(zhǎng)劃分。12340xyh一階中心差商二階中心差商至此，已用差商代替了偏導(dǎo)數(shù)?；绽狗匠虨椴罘址匠淘贠點(diǎn)利用以差商表示的偏導(dǎo)數(shù)，可將拉方程表示成差分方程這是一個(gè)代數(shù)方程這是在任意點(diǎn)上電位的表達(dá)式，它由相鄰4個(gè)點(diǎn)的電位決定。即如果知道了這4個(gè)點(diǎn)的電位，這個(gè)點(diǎn)的電位也就知道了。問(wèn)題：相鄰4個(gè)點(diǎn)的電位也是未知。怎么辦？求解差分方程組采用迭代法求解?；舅枷胧侵鸫伪平?。步驟為：（1）給所有的

ij賦初值；（2）利用差分方程求新的

ij，順序?yàn)閺淖笾劣遥瑥南轮辽?；?）以得到的新的

ij為基礎(chǔ)，再利用差分方程求更新的

ij