第2課時空間向量基本定理的初步應(yīng)用第一章

§1.2空間向量基本定理1.會用基底表示空間向量.2.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法.學習目標道生一，一生二，二生三，三生萬物”這句話出自老子《道德經(jīng)》，它表示“道”生萬物從少到多，從簡單到復(fù)雜的一個過程.導(dǎo)語聯(lián)系到我們學過的平面向量基本定理，可以概括為給出一組二維的基底可以生成平面中所有的向量；推廣到三維空間，仍然為給出一組三維的基底，可以生成空間中的所有向量.隨堂演練課時對點練一、證明平行、共面問題二、夾角、垂直問題內(nèi)容索引一、證明平行、共面問題1.對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使

.2.如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝

.3.直線平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題.a＝λbxa＋yb知識梳理例1

如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別是A′D′，DD′，D′C′的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明：(1)EG∥AC；又EG，AC無公共點，所以EG∥AC.(2)平面EFG∥平面AB′C.又FG，AB′無公共點，所以FG∥AB′.又FG?平面AB′C，AB′?平面AB′C，所以FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.反思感悟證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點共線或直線平行.(2)利用空間向量基本定理證明點線共面或線面平行.跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面.二、夾角、垂直問題問題如何利用空間向量解決空間幾何中的垂直問題，以及求解夾角問題？(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.注意點：區(qū)分向量的夾角與異面直線所成的角的范圍.例2

在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，點G在棱CD上，且CG＝(1)證明：EF⊥B1C；則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個正交基底.所以EF⊥B1C.(2)求EF與C1G所成角的余弦值.延伸探究設(shè)這個正方體中線段A1B的中點為M，證明：MF∥B1C.又MF，B1C無公共點，所以MF∥B1C.反思感悟求夾角、證明線線垂直的方法跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為______.解析

如圖所示，(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD和A1C1的中點.證明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；則{i，j，k}構(gòu)成空間的一個單位正交基底.∴AB1∥GE.∴AB1⊥EH②A1G⊥平面EFD.∴A1G⊥DF.∴A1G⊥DE.又DE∩DF＝D，DE，DF?平面EFD，∴A1G⊥平面EFD.1.知識清單：(1)空間向量基本定理.(2)空間向量共線、共面的充要條件.(3)向量的數(shù)量積及應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.3.常見誤區(qū)：(1)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆.(2)轉(zhuǎn)化目標不清：表示向量時沒有轉(zhuǎn)化目標，不理解空間向量基本定理的意義.課堂小結(jié)隨堂演練1.在棱長為1的正四面體ABCD中，直線AB與CDA.相交

B.平行C.垂直

D.無法判斷位置關(guān)系√12342.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點，若AB＝a，則MN的長為√12343.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是√1234根據(jù)題意可得，故其所成角的余弦值為0.4.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是_____.1234課時對點練1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，則AC1與CE的位置關(guān)系是A.重合 B.垂直C.平行 D.無法確定√基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)正方體的棱長為1，2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1與AB，AC都成60°角，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為√12345678910111213141516則a·b＝0，a·c＝2，b·c＝2，123456789101112131415163.已知l，m是異面直線，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，則異面直線l，m所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°√12345678910111213141516所以異面直線l，m所成的角等于60°.√123456789101112131415165.如圖，三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝

則SC與AB所成角的大小為A.90° B.60°C.45° D.30°√12345678910111213141516因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以a·c＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，12345678910111213141516所以SC與AB所成角的大小為60°.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵AM⊥平面BCD，MC?平面BCD，∴AM⊥MC，解析由共面向量基本定理和空間向量基本定理可知，M∈平面BCD，N∈直線AC，當AM，BN最短時，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，∴M為△BCD的中心，N為AC的中點，123456789101112131415167.正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為_____.12345678910111213141516解析如圖，畫出對應(yīng)的正四面體，12345678910111213141516設(shè)異面直線DM與CN所成的角為θ，8.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點，則MN______AB(填“∥”或“⊥”).⊥12345678910111213141516由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量兩兩夾角均為60°.9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點，正方體的棱長為1.123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖，已知在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點.(1)求證：CE⊥A′D；12345678910111213141516根據(jù)題意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.12345678910111213141516A.－3 B.－1 C.1 D.3√12345678910111213141516綜合運用1234567891011121314151612.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則異面直線EF和BC1所成的角是A.30°

B.45° C.90° D.60°√12345678910111213141516因為點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，設(shè)所求異面直線的夾角為θ，13.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中點，N是A1B1的中點，則直線ON與AM的位置關(guān)系是A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.無法判斷12345678910111213141516√1234567891011121314151614.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，則線段AO的長度為12345678910111213141516√∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，∴a2＝b2＝4，c2＝9，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×2×cos60°＝3，1234567891011121314151615.在