2015

年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試真題試卷數學一試題一、選擇題:1～8

小題，每小題

4

分，共

32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答．題．紙．指定位置上.1、設函數

f

(x)

在（-

,+

）連續(xù)，其

2

階導函數

f

(x)

的圖形如下圖所示，則曲線

y

f

(x)

的拐點個數為（）（A）0

（B）1（C）2

（D）321

1

3

x2

x

x

2、設

y

e

x

e

是二階常系數非齊次線性微分方程

y

ay

by

ce的一個特解，則（

）（A）

a

3,b

1,

c

1.（B）

a

3,b

2,

c

1.（C）

a

3,b

2,

c

1.（D）

a

3,b

2,

c

1.n

3、若級數

an

1

第1

頁共18

頁nn

n

1

條件收斂，則

x

3

與

x

3

依次為冪級數

na

x

1

的：（ ）（A）收斂點，收斂點（C）發(fā)散點，收斂點（B）收斂點，發(fā)散點（D）發(fā)散點，發(fā)散點4、設

D是第一象限中曲線2xy

1,

4xy

1與直線

y

x,

y

3x

圍成的平面區(qū)域，函數

f

(x,

y)

在

D上連續(xù)，則

f

(x,

y)dxdy

（D）4

1

1

2sin

2

（A）2d

sin2

f(rcos

,r

sin

)rdr

14

12sin

2

（B）2d

sin2

f

(rcos

,rsin

)rdr

1

1

4 2sin

2

（C）3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)dr

1第2

頁共18

頁4

12sin

2

（D）3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)dr

2

11

5、設矩陣

A

1

12

1

12 a

，b

d

，若集合

{1,

2}

，則線性方程組

Ax

b4 a d有無窮多個解的充分必要條件為（ ）（A）

a

,

d

（B）

a

,

d

（C）

a

,

d

（D）

a

,

d

6、設二次型

f

(x

,

x

,

x

)

在正交變換

x

Py

下的標準形為

2

y2

y2

y2

，其中1 2 3 1 2 3P

(e1

,

e2

,

e3

)

，若

Q

(e1,

e3

,

e2

)

，則

f

(x1

,

x2

,

x3

)

在正交變換

x

Qy

下的標準形為（ ）（A）

2y2

y2

y2 （B）

2y2

y2

y21 2 3 1 2 3（C）

2y2

y2

y2 （D）

2y2

y2

y21 2 3 1 2 37、若

A,

B

為任意兩個隨機事件，則（）（A）

P(

AB)

P(

A)P(B) （B）

P(

AB)

P(

A)P(B)（C）

P(

AB)

P(

A)

P(B)（D）

P(

AB)

P(

A)

P(B)2 28、設隨機變量X,

Y

不相關，且

EX

2,

EY

1,

DX

3,

則

E

X

X

Y

2

（ ）（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5二、填空題：9～14小題,每小題

4

分,共

24

分.請將答案寫在答．題．紙．指定位置上.

9、limln

cos

xx

0

10、-22

(x2sin

x

x)dx

1

cos

x

11、若函數

z

z(

x,

y)

由方程ez

xyz

+x

cos

x

2

確定，則

dz

.(0,1)12、設

是由平面

x

y

z

1與三個坐標平面所圍成的空間區(qū)域，則

(x

2

y

3z)dxdydz

13、n

階行列式

02 0

0

2-1

2

0

2

0 0

2

20

-12

14、設二維隨機變量(X,Y)服從正態(tài)分布N(1,0,1,1,0)，

則P(XY

Y

0)

第3

頁共18

頁.第4

頁共18

頁三、解答題：15～23

小題,共

94

分.請將解答寫在答．題．紙．指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分

10

分）設函數

f

(x)

x

a

ln(1

x)

bx

sin

x

，g

(x)

kx3

，若

f

(x)

與

g

(x)

在

x

0

是等價無窮小，求

a

，

b

，

k

值。16、（本題滿分

10

分）設函數在

f

(x)

定義域

I

上的導數大于零，若對任意的

x0

I

，曲線

y

f

(x)

在點(x0

,

f

(x0

))

處的切線與直線

x

x0

及

x

軸所圍成的區(qū)域的面積為

4，且

f

(0)

2

，求

f

(x)

的表達式.第5

頁共18

頁17、（本題滿分

10

分）已知函數

f

(x,

y)

x

y

xy

，曲線C

:

x

2

y

2

xy

3

，求

f

(x,

y)

在曲線C

上的最大方向導數.18、（本題滿分

10

分）(Ⅰ)設函數u(

x),

v(

x)

可導，利用導數定義證明[u(x)v(x)]'=u

'(x)v(x)

u(x)v(x)'(

Ⅱ

)

設函數

u1

(x),u2

(x)...un

(x)

可導，

f

(x)

u1

(x)u2

(x)...un

(x),

寫出f

(

x)

的求導公式.19、（本題滿分

10

分）

z

2

x2

y2

,已知曲線

L

的方程為

起點為

A(0,

2,

0)

，終點為

B(0,

2,

0)，第6

頁共18

頁

z

x,計算曲線積分

I

L

(

y

z)dx

(z

x

y)dy

(x

y

)dz2 2 2 220、（本題滿分

11

分）設向量組

,

,

是

3

維向量空間

3

的一個基，

2

2k

，

2

，1 2 3 1 1 3 2 2

3

1

(k

1)

3。1 2 3（Ⅰ）證明向量組

,

,

是

3

的一個基；（Ⅱ）當

k

為何值時，存在非零向量

在基

1,

2,

3與基

1,

2

,

3

下的坐標相同，并求出所有的

。第7

頁共18

頁21、（本題滿分

11

分）設矩陣

A

-1

a

1

1

0

0 2 -3

1 -2 0

3

3

相似于矩陣

B

0 b 0

.-2 3（Ⅰ）求a,b

的值.（Ⅱ）求可逆矩陣

P

，使得

P

1

AP

為對角陣.22、（本題滿分

11

分）設隨機變量

X

的概率密度為

2-x

ln

2 x

00 x

0f(x)=

對

X

進行獨立重復的觀測，直到第

2個大于

3

的觀測值出現時停止，記Y

為觀測次數.（Ⅰ）求Y

的概率分布；（Ⅱ）求

EY

.23、（本題滿分

11

分）設總體

X

的概率密度為

1第8

頁共18

頁f(

x;

)=

1

0

x

1其他其中

為未知參數，

X1，X

2

.....Xn

為來自該總體的簡單隨機樣本.（Ⅰ）求

的矩估計.（Ⅱ）求

的最大似然估計.2015

年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試真題試卷數學一試題參考答案及解析一、選擇題（答案）【答案】(C)【考點】拐點的定義【難易度】★★【詳解】拐點出現在二階導數等于

0，或二階導數不存在的點上，并且在這點的左右兩側二階導數異號，因此，由

f

(x)

的圖形可知，曲線

y

f(x)

存在兩個拐點，故選(C).【答案】(A)【考點】常系數非齊次線性微分方程的解法【難易度】★★1 1【詳解】

e2

x

,

ex

為齊次方程的解，所以

2、1

為特征方程

2

+a

b

0

的根，2 3從

而a

1

2

3,b

1

2

2,再將

特

解 y

xex 代入方

程y

3y

2

y

cex

得：

c

1.（3）【答案】(B)【考點】級數的斂散性【難易度】★★★

【詳解】因為

an

1

n

n

n

1

n條件收斂，故

x

2

為冪級數

a

x

1

的條件收斂點，進

n

n

1

n

而得 a x

1 的收斂半徑為

1，收斂區(qū)間為

0,

2

，又由于冪級數逐項求導不

nn

n

1

改變收斂區(qū)間，故 na x

1 的收斂區(qū)間仍為

0,

2

，因而

x

3

與

x

3

依第9

頁共18

頁

nn

n

1

次為冪級數

na

x

1

的收斂點、發(fā)散點.（4）【答案】(D)【考點】二重積分的極坐標變換【難易度】★★★

【詳解】由

y

x

得，

；由

y

4

33x

得，

1sin

2

由2xy

1得，

2r

2

cos

sin

1,

r

12

sin

2

由4xy

1得，

4r

2

cos

sin

1,

r

1第10

頁共18

頁

1D 4 2sin

2

所以 f(x,

y)dxdy

3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)rdr

（5）【答案】(D)【考點】非齊次線性方程組的解法【難易度】★★

11

【詳解】

A,

b

11a

11d

1

1 1

1 1

2 a d

0 1

1 4 a2 d

2

0

0

a

1

a

2

d

1

d

2

Ax

b

有無窮多解

R(

A)

R(

A,

b)

3

a

1或a

2

且

d

1或

d

2（6）【答案】(A)【考點】二次型【難易度】★★【詳解】

由1 2 3x

Py，故f

xTAx

yT(PTAP)y

2y2

y2

y2且

：

20

0

0PTAP

0 1

0 0

1

10

20

0

Q

P

0

0 0

0 1

PC,QT

AQ

CT

(PT

AP)C

0

1

0

1 0

0 0 1

所以1 2f

xTAx

yT(QTAA)y

2y2

y2

y

23

，故選(A)（7）【答案】(C)【考點】【難易度】★★【詳解】

P(

A)

P(

AB),

P(B)

P(

AB)

P(

A)

P(B)

2P(

AB)2

P(

AB)

P(

A)

P(B)

故選（C）【答案】(D)【考點】【難易度】★★★【詳解】E

X

X

Y

2

E

X2

XY

2X

E

X2

E

XY

2E

X

D

X

E2

X

E

X

E

Y

2E

X

5二、填空題（答案）【答案】

12【考點】極限的計算【難易度】★★2x2 x2x2x

0x

0

x

0

x

0

1

x2【詳解】lim

ln

cos

x

lim

ln(1

cos

x

1)

lim

cos

x

1

lim

12（10）【答案】x2

24【考點】積分的計算【難易度】★★【詳解】0第11

頁共18

頁-22

(sin

x

24x)dx

22xdx

1

cosx

（11）【答案】【考點】隱函數求導【難易度】★★【詳解】令

F

(x,

y,

z)

ez

xyz

x

cos

x

2

，則

F

yz

1

sin

x

，

F

xz

，x yz(0,1)zF

xy

，又當

x

0,

y

1

時，z

0

，所以

z

x

Fx

1，(0,1)z

zF

F

y

Fy

0

，因而

dz

(0,1)

dx（12）【答案】14【考點】三重積分的計算【難易度】★★★【詳解】由輪換對稱性，得

x

2y

3zdxdydz

6 zdxdydz

01

6 zdz dxdyDz

z其中D

為平面z

z12

2截空間區(qū)域

所得的截面，其面積為 1

z

.所以

x

2y

3zdxdydz

6 zdxdydz

12

6 z

1

z

201

3 2

dz

3 z

2z

zdz

01

14（13）【答案】

2n

1

2【考點】行列式的計算【難易度】★★★【詳解】按第一行展開得

2n

1

2（14）【答案】12第12

頁共18

頁【考點】【難易度】★★【詳解】

(

X

,Y

)

~

N

(1,

0,1,1,

0)

，

X

~

N

(1,1),Y

~

N

(0,1),

且

X

,Y

獨立

X

1

~

N

(0,1)

，

P

XY

Y

0

P

(

X

1)Y

0

P

X

1

0,Y

0

P

X

1

0，Y

0

1

1

1

1

12 2 2 2 2三、解答題（答案）（15）【考點】等價無窮小量，極限的計算【難易度】★★★【詳解】

f

(x)

x

a

ln(1

x)

bx

sin

x

332 33!x2 x3x3

x

a

x

x

bx

x

x

2 332 3a

a

1

a

x

b

x

x

x

f

(x)與g(x)

kx3

是等價無窮小123a

1+a

0

a

1

b

0

b

2a

k3

k

1

（16）【考點】微分方程【難易度】★★★【詳解】如下圖：第13

頁共18

頁x

x0

處的切線方程為l

：

y

f

(x0

)(x

x0

)

f

(x0

)0f

(x

)0 00f

(x

)l

與

x

軸的交點為：

y

0

時，

x

x

f

(

x0

)

，則

AB

f

(

x0

)

x

x

，0 002 2f

(x

)8y2因此，

S

1

AB

f

(

x

)

1

f

(

x0

)

f

(

x

)

4

.即滿足微分方程：

y

1

，1 1解得：

x

c

.y 818又因

y(0)

2

，所以c

，故

y

4

x.2（17）【考點】方向導數，條件極值【難易度】★★★【詳解】根據方向導數與梯度的關系可知，方向導數沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故gradf

(x,

y)

1

y,1

x

故

f

(x,

y)

在曲線

C

上的最大方向導數為

1

y

2

(1

x)2

，

其中

x,

y

滿足x2

y2

xy

3，即就求函數z

(1

y)2

(1

x)2在約束條

件x

2

y

2

xy

3

0

下的最值.構造拉格朗日函數

F

(x,

y,

)

(1

y)2

(1

x)2

(x

2

y

2

xy

3)

第14

頁共18

頁

x2

y2

xy

3

0

F

F

x

F

2(1

x)

2

x

y

0令

y

2(1

y)

2

y

x

0

可得(1,1),(

1,

1)

,

(2,

2),(

1,2)其中

z(1,1)

4,

z(

1,

1)

0,

z(2,

1)

9

z(

1,2)綜上根據題意可知

f

(x,

y)

在曲線C

上的最大方向導數為3

.（18）【考點】導數定義【難易度】★★【詳解】

u

x

v

x

lim

x

0

x

0

u'

x

v(

x)

u

x

v'(

x)' u

x

x

v

x

x

u

x

v

(x

)

x

lim

u

x

x

u

(x)

v

x

x

u

x

v(x

x)

v(x)

x

''1''''232 n1 2 n 12 n1 2 n 1n1 2 n 1 2 n 1 2 nf(x)

u(x)

u(x)

u

(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'

(x)（19）【考點】曲線積分的計算【難易度】★★★

x

cos

,

z

cos

,2 2【詳解】曲線

L

的參數方程為

y

2

sin

,

從

到

I

L

(

y

z)dx

(z

x

y)dy

(x

y

)dz2 2 2 22第15

頁共18

頁23202122

2

2

2

2

1

2

2

(2sin

cos

)

sin

2

sin

2

cos

(cos

2

2

sin

2

)

sin

d

2

sin

sin

2

sin

sin

d

2sin2

d

222sin2

d

2

2

（20）【考點】線性無關，基下的坐標【難易度】★★★1 2 3

1 2 3

2 0 1【詳解】（Ⅰ）

(

,

,

)

(

,

,

)

0 2 0

2k 0k

1

2 0 1因為

0 2 0

22 12k k

12k 0 k

1

4

0

，所以

,

,

線性無關，

,

,

是

3

的一個基。1 2 3 1 2 3

（Ⅱ）設

P

0

k

1

1 2 3 1 2 3

2 0 12 0

，

P

為從基

,

,

到基

,

,

的過渡矩陣，又

2k 0設

在基

,

,

下的坐標為

x

(x

,

x

,

x

)T

，則

在基

,

,

下的坐標為1 2 3 1 2 3 1 2 3P

1x

，由

x

P

1x

，得

Px

x

，即(P

E)x

01 12k k1 0 1由P

E

0 1 0

2k 0 k

1

1

k

0

，得

k

0

，并解得

x

c

0

,

c

為任意常數。從而

c

1

c

3

,

c

為任意常數。（21）【考點】相似矩陣，相似對角化【難易度】★★★

0

3

【詳解】由

A

1

1a

3

1

2 0

0

23

3

相似于

B

0 b

2

01

0

3

a

1

b

1第16

頁共18

頁

0

則2

3 1

2 0

1 3

3

0 b 02 a 0 3 1

1,

解得

a

4,b

5f

A

(

)

|

E

A

|

1 2

2 31

3 3

(

1)2(