南京市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)2023.01一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可得出關(guān)于x的不等式，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，則，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要條件．故選：A．3.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：xy則下列選項(xiàng)中對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，代入各函數(shù)，計(jì)算驗(yàn)證可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)，，代入計(jì)算，可以排除；根據(jù)，，代入計(jì)算，可以排除、；將各數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)，函數(shù)最接近，可知滿足題意故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式的確定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.《九章算術(shù)》是一部中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著.全書分為九章，共收有246個(gè)問(wèn)題，內(nèi)容豐富，而且大多與生活實(shí)際密切聯(lián)系.第一章《方田》收錄了38個(gè)問(wèn)題，主要講各種形狀的田畝的面積計(jì)算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形天地稱為“環(huán)田”.書中提到這樣一塊“環(huán)田”：中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步，如圖所示，則其所在扇形的圓心角大小為（）（單位：弧度）（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝.）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】設(shè)中周的半徑是，外周的半徑是，圓心角為，根據(jù)中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步，列關(guān)系式即可.【詳解】設(shè)中周半徑是，外周的半徑是，圓心角為，，解得.故選：C5.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，故.故選：B.6.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)在時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，從而得出結(jié)論．【詳解】由函數(shù)定義域?yàn)?,故為奇函數(shù)，故它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以排除C和D；又函數(shù)在時(shí),函數(shù)，可以排除B，所以只有A符合．故選:A．7.在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以為底的對(duì)數(shù)，這種對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù).若取，，則（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.8.函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,再由確定范圍,即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】已知,,函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則

又因,這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,解得.故選:D二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）9.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.若，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷；對(duì)于B：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷；對(duì)于C：構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷；對(duì)于D：利用作差法比較大小.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋詥握{(diào)遞減.因?yàn)?，所?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以單調(diào)遞增.因?yàn)椋?故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋詥握{(diào)遞減.因，所以.故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所?故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.的最小值為2 D.在上為增函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】先利用三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)得，再利用周期函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式即可判斷A正確；舉反例即可排除B；取特殊值計(jì)算即可判斷C錯(cuò)誤；利用三角函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，設(shè)的正周期為，則，即，所以，由誘導(dǎo)公式可得，即，又，故，即，則，故，所以的最小值為，即的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，又與不關(guān)于軸對(duì)稱，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所?不是的最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故在上單調(diào)遞減，且，又在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，對(duì)于任意，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過(guò)賦值法，取具體函數(shù)，基本不等式等結(jié)合已知條件分選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】令，故A正確；由已知，①令滿足題干要求，則，故B錯(cuò)誤；由①可知，令，則，又因?yàn)?，則，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，又由①，令，則，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)_________中心對(duì)稱.（寫出一個(gè)正確的點(diǎn)坐標(biāo)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足，取得到【詳解】對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足：，取得到對(duì)稱中心為.故答案為：14.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)不等式的解集可得的關(guān)系及的符號(hào)，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】由的解集為，可得，且方程的解為，所以，則，所以，即關(guān)于的不等式的解集為.故答案為：.15.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則___________.【答案】1【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的周期為4，根據(jù)題意結(jié)合周期性可得答案.【詳解】由可得的函數(shù)周期為4，則，由，則，解得.故答案為：1.16.對(duì)于非空集合，定義，若，是兩個(gè)非空集合，且，則___________；若，，且存在，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空分，和且三種情況來(lái)研究，第二空根據(jù)已知分析出a的大致范圍，最后列出不等式求解即可.【詳解】即則一定有，所以分三段研究：時(shí)，，，即；時(shí)，，，即；且時(shí)，，，即.綜上所述，；由已知且，要滿足題意則，此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度時(shí)一定滿足，故下研究時(shí)，（其中，即為集合的補(bǔ)集中一段的區(qū)間長(zhǎng)）此時(shí)，因此滿足題意的反面情況有或，解得或，因此滿足題意的范圍為.四、解答題（本題共6小題，共70分.）17.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）128（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.18.若.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，平方得到，得到答案.（2）根據(jù)得到，解得，得到答案.【小問(wèn)1詳解】，則，，，，則；【小問(wèn)2詳解】，所以，即，，.，解得，19.已知集合，.（1）若，求；（2）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.若_________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）選①；若選②.【解析】【分析】(1)代入的值，求出集合B，用并集的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.(2)若選①，即，則對(duì)的值進(jìn)行分類討論，根據(jù)集合包含關(guān)系即可得到的取值范圍.若選②，對(duì)的值進(jìn)行分類討論，依次根據(jù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，即，而，即，所以；【小問(wèn)2詳解】若選①即時(shí)，，即，要滿足題意則，與前提矛盾，舍；時(shí)，，即，符合題意；時(shí)，，即，要滿足題意則，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.若選②，若，時(shí)，，即，要滿足題意則，則滿足，解得，則；若時(shí)，，即，滿足；時(shí)，，即，要滿足題意則解得，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，設(shè)，證明：為偶函數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由圖得到，求得，代入點(diǎn)，求得，結(jié)合題意得到，即可求得函數(shù)的解析式；（2）由三角函數(shù)的圖象變換求得，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可.【小問(wèn)1詳解】由最值得，由相鄰兩條對(duì)稱軸距離得，則，即，此時(shí)，代入點(diǎn)得：，則，即，又因?yàn)椋?，?【小問(wèn)2詳解】由題意得，則，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).21.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）.（1）要使不超過(guò)7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；（2）設(shè)備占地面積為多少時(shí)，的值最小？【答案】（1）（2）設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.【解析】【分析】（1）由題意解不等式，即可求得；（2）利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得.要滿足題意,則，即，解得：.即設(shè)備占地面積的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.22.已知函數(shù)，.（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）已知，其中是大于1的實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，判斷與的大小，并注明你的結(jié)論.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】按照函數(shù)單調(diào)性的定義的證明步驟：設(shè)值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論，即可證明；（2）先換元，再分離常數(shù)，最后再利用基本不等式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）采