§2

數(shù)學(xué)建模的主要步驟自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解如何提出數(shù)學(xué)建模問題.2.掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟.3.通過掌握建模步驟,體會數(shù)學(xué)建模的思想.

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、數(shù)學(xué)建模問題【問題思考】1.如何提出數(shù)學(xué)建模問題?提示:在實(shí)際生活中,我們會遇到各種問題,當(dāng)我們對這些問題進(jìn)行思考時,我們可以提出數(shù)學(xué)建模所需要的問題.數(shù)學(xué)建模問題的提出來源于生活中存在的實(shí)際問題.2.數(shù)學(xué)建模中提出的問題的依據(jù)有哪些?提示:具有實(shí)用性,具有數(shù)據(jù)采集可操作性,問題本身的需求性.二、建立數(shù)學(xué)模型【問題思考】1.建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意哪些問題?提示:首先為了排除眾多的不同和不確定性干擾因素,建模有一個重要環(huán)節(jié)——假設(shè).其次,建模問題需要大量的數(shù)據(jù),需要收集問題涉及的數(shù)據(jù).最后考慮數(shù)學(xué)建模所涉及的數(shù)量有哪些.2.為什么要檢驗(yàn)結(jié)果?提示:結(jié)合數(shù)學(xué)建模進(jìn)行實(shí)地調(diào)查,對結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn),若沒有明顯誤差,就可以使用這個模型,否則再修改假設(shè),重新建模.3.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)是什么?提示:數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要過程包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,確立參數(shù)、計算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題.4.數(shù)學(xué)建模的一般步驟是什么?提示:(1)提出問題實(shí)際情境中的問題往往是模糊的和籠統(tǒng)的,原始的問題往往是一個希望得到優(yōu)化的期待,或是某個不良現(xiàn)象的消失.這就需要透過現(xiàn)象,明確地提出問題.(2)建立模型在一定的知識積累的基礎(chǔ)上,預(yù)測建立的數(shù)學(xué)模型,抓住主要因素,摒棄次要因素,做出適當(dāng)簡化和假設(shè).(3)求解模型這個過程是求解數(shù)學(xué)問題.值得注意的是,如果目標(biāo)是求值,一般不容易求得精確值,這就要根據(jù)需要求近似解.(4)檢驗(yàn)結(jié)果用實(shí)際現(xiàn)象或數(shù)據(jù)檢驗(yàn)求得的解是否符合實(shí)際.如果不符合實(shí)際情況,就要重新建模.

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究四探究五探究六探究一

傳送帶效率問題的數(shù)學(xué)模型問題情境:在機(jī)械化生產(chǎn)車間里,排列整齊的工作臺旁工人們緊張地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,工作臺上放一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn),帶上設(shè)置若干鉤子,工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走.當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后,每名工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的,而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機(jī)的.衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人生產(chǎn)的產(chǎn)品帶走.很明顯,在工人人數(shù)不變的情況下傳送帶速度越快,帶上鉤子數(shù)越多,效率越高.探究二

問題重述構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo),并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人人數(shù)、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系.探究三

模型假設(shè)與符號說明1.有n名工人,其生產(chǎn)是獨(dú)立的,生產(chǎn)周期是常數(shù),有n個工作臺均勻排列.2.生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài),即每名工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的.3.在一周期內(nèi)有m個鉤子通過每一工作臺上方,鉤子均勻排列,到達(dá)第一個工作臺上方的鉤子都是空的.4.每名工人在任何時刻都能觸到一只鉤子,且只能觸到一只,在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間,如果他能觸到的鉤子是空的,則可將產(chǎn)品掛上帶走;如果非空,則他只能將產(chǎn)品放下,放下的產(chǎn)品就永遠(yuǎn)退出這個傳送系統(tǒng).4.每名工人在任何時刻都能觸到一只鉤子,且只能觸到一只,在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間,如果他能觸到的鉤子是空的,則可將產(chǎn)品掛上帶走;如果非空,則他只能將產(chǎn)品放下,放下的產(chǎn)品就永遠(yuǎn)退出這個傳送系統(tǒng).探究四

模型建立及求解將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比,記作D,設(shè)帶走的產(chǎn)品數(shù)為s,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為n,則

,需求出s.如果從工人的角度考慮,分析每名工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率,這與工人所在的位置有關(guān)(如第1名工人一定可掛上),這樣使問題復(fù)雜化.我們從鉤子角度考慮,在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序,處于同等地位.若能對一周期內(nèi)的m只鉤子求出每只鉤子非空的概率p,則s=mp.當(dāng)n=10,m=40時,上式給出的結(jié)果為D=87.5%,而精確表達(dá)式①計算得D≈89.5%.提高傳送系統(tǒng)效率,即增大D減小E,在工人數(shù)n一定的情況下,E與鉤子數(shù)m成反比,即m增大一倍,E減少50%.探究五

模型優(yōu)化及改進(jìn)問題:如何改進(jìn)模型使“效率E”(可理解為相反意義的效率)降低?解決方案:通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法.在原有的每一個鉤子的位置,放置兩個鉤子構(gòu)成雙鉤組,即有2m個鉤子,那么傳送系統(tǒng)的效率如何呢?與只是增加鉤子數(shù)目至2m相比,哪個效率更高呢?易知,在雙鉤組的情況下,每組鉤組在傳送系統(tǒng)結(jié)束后有三種情況:1.空鉤組2.滿鉤組3.不滿鉤組而如果只是增加鉤子數(shù)目至2m,那么D=93.75%,所以這種雙鉤組改進(jìn)方案更加優(yōu)越.探究六

模型評價及推廣這個模型是在