2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)機(jī)，“為直線，a、夕為平面，則加_La的一個(gè)充分條件可以是（）

A.a工。，aC\/3=n9m±nB.al1p,mA.(3

C.aA./39ml1(3D.〃ua,m±n

2.已知復(fù)數(shù)二滿足言?彳=2-i（其中三為z的共朝復(fù)數(shù)），貝“z|的值為（）

A.1B.2c.8D.75

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)匕（

)

1

A.-l+iB.-l-iC.l+iD.l-i

4.設(shè)且a>。，則下列不等式成立的是（）

11b,

A.c-avc-bB.ac1>be2C.-<-D.-<1

aba

5.a〃a/〃/。//萬，貝!與。位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

6.函數(shù)/（%）=4sin>0）的最小正周期是3萬,則其圖象向左平移弓個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對(duì)

稱軸是（）

7171C.x=WD.m也

A.X=——B.x=——

43612

7.在復(fù)平面內(nèi)，」復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共扼復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知向量函=（-3,4）,礪+礪=（-1,5）,則向量礪在向量而上的投影是（）

A.一短B,正22

C.一一D.-

5555

9.已知z=i(3-2i),則z.I=()

A.5B.V5C.13D.V13

_TTTT

10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+〃cos2x的圖象的一條對(duì)稱軸為x=一,將函數(shù)/(x)的圖象向右平行移動(dòng)」個(gè)單位長度

124

后得到函數(shù)g(x)圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為()

JI,71

A.g(x)=2sin(2x-—)B.g(x)=2sin(2x+五)

JI4

C.g(x)=2sin(2x---)D.g(x)=2sin(2xd——)

66

11.設(shè)a,//為兩個(gè)平面，則a〃4的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/?平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與《平行

C.a,“平行于同一條直線

D.a,“垂直于同一平面

12.數(shù)列｛斯｝,滿足對(duì)任意的"GN+,均有an+an+l+a,l+2為定值.若。7=2,“9=3,施8=4,則數(shù)列3｝的前100項(xiàng)的和Sioo=()

A.132B.299C.68D.99

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在矩形A5C。中，/W=2,4)=1,點(diǎn)E,F分別為8C,CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足跖=1，則荏.赤的最大

值為,

14.已知圓C：f+y2+8x+ay—5=0經(jīng)過拋物線E：/=4),的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是

22

15.已知雙曲線「-5=l(a>0,30)與拋物線，=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)尸，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)

a~b~

F到雙曲線的漸近線的距離為.

16.已知定義在R上的函數(shù)“力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,g(x)=(x-1了+1,若函數(shù)/(x)圖象與函數(shù)g(x)圖象的

2019

交點(diǎn)為（X[,M,（%2,%），…，（”2019,%019）,則Z（%+刀）=,

i=l

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P—ABC。中，平面ABC。，AB=BC=2,CD=AD=不，NABC=120°.

（I）證明：BD1PC；

（II）若M是PO中點(diǎn)，與平面Q46所成的角的正弦值為主叵，求Q4的長.

10

22￡7

18.（12分）設(shè)橢圓。：=+與=1（4>〃>0）的離心率為衛(wèi)，左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，點(diǎn)O在橢圓C上，△。片工

a-b-2

的周長為2&+2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

（2）過圓后：/+丫2=一上任意一點(diǎn)尸作圓6的切線/,若/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：ZAOB

3

為定值.

19.（12分）已知等腰梯形ABCO中（如圖1）,AB=4,BC=CD=DA=2,尸為線段CD的中點(diǎn)，E、M為

線段A3上的點(diǎn)，AE=EM=1,現(xiàn)將四邊形AEFD沿E/折起（如圖2）

D.

圖1圖2

(1)求證：AM〃平面BCD；

(2)在圖2中，若BD=6求直線8與平面BC五E所成角的正弦值.

20.(12分)已知/(x)=asin(l-x)+lnx,其中aeR.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-f,求函數(shù)g(x)的極值.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上遞增，求”的取值范圍；

〃1

(3)證明：Ysin—~-^<ln3-ln2.

普(2+攵廠

21.(12分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).

4

(I)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為［1,；),求直線/的方程；

(II)若直線/過點(diǎn)(4,0),點(diǎn)P(%，0)滿足際M+%V=。小，攵吶分別為直線PM,PN的斜率)，求％的值.

22.(10分)已知函數(shù)〃x)=",直線y為曲線>=/(x)的切線(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)用min{〃2,〃}表示加，〃中的最小值，設(shè)函數(shù)g(x)=min{/(x),x-Jj(x>0),若函數(shù)

〃(x)=g(x)一62為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)尸=〃，時(shí)，由于“不在平面夕內(nèi)，故無法得出/

對(duì)于B選項(xiàng)，由于二//力，所以〃?_La.故B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)根//力時(shí)，，”可能含于平面。，故無法得出他」a.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)〃ua,加_1_〃時(shí)，無法得出/〃J_a.

綜上所述，加_La的一個(gè)充分條件是“a///，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出三，再寫出z,進(jìn)而求出忖.

【詳解】

1+z(l+i)22i.

1口一(If)—5一乙

--z=2-z^z-z=2-z^z=—=-z(2-z)=-l-2z,

1-zz

z=—1+2z=>|z|=’(-I)?+2?=y/5?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共匏復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模，考查基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)「一=1-i,即可求解，得到答案.

1

【詳解】

1+i(l+i)(-i)

由題意，復(fù)數(shù)一='.=l—i,故選D.

1ix(-i)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

A項(xiàng)，由“>〃得至a<—/?,則c—a<c—〃，故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，當(dāng)。=0時(shí)，該不等式不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)。=1,。=-2時(shí)，1>—,，即不等式」〈，不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

2ab

bb

D項(xiàng)，當(dāng)。=一1,卜=-2時(shí)，-=2>1,即不等式一<1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

aa

綜上所述，故選A.

5.D

【解析】

結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況，可得a與方的關(guān)系分別是平行、異面或相交.

選D.

6.D

【解析】

由三角函數(shù)的周期可得。=券，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為y=4sin(gx+?],再求其

對(duì)稱軸方程即可.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=4sin|/x+q](o〉0)的最小正周期是3萬，則函數(shù)/(x)=4sin(gx+q),經(jīng)過平移后得到函數(shù)

jkid4.2(7r\7i(24?)24萬7兀q6

解析式為y~4sin—x4—H——4sin—xd-----,由一x-\---------k?iH—(ksZ),

3\6J3J(39)392

37i19)

得X=+w(ZeZ),當(dāng)Z=1時(shí)，X=-jy-.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得z=l+2z,z=1-2"即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-2)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

z==M翳=1+2~八1-萬，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，難度容易.

8.A

【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求解0B，再利用向量方在向量而上的投影公式即得解

【詳解】

由于向量函=(—3,4),9+麗=(—1,5)

故期=(2,1)

OAOB-3x2+4xl275

向量Q4在向量。8上的投影是否二-----忑----=―一1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9.C

【解析】

先化簡復(fù)數(shù)z=i(3-2i),再求三,最后求zG即可.

【詳解】

解：z=i(3-2z)=2+3z,Z=2-3Z

z?z=22+32=13>

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

TT

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合X=一為函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸可求得。，代入輔助角公式得/(幻的解析式.

12

根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)g(x)的解析式.

【詳解】

函數(shù)/(x)=sin2x+acos2x,

由輔助角公式化簡可得f(x)—J1+助sin(2x+6),tan6=a,

TT

因?yàn)閄=—為函數(shù)/(X)=sin2x+acos2x圖象的一條對(duì)稱軸，

12

代人可得sin2x-^-^+?cos^2x^^=±71+a2,

即:+*―/+a"化簡可解得(。一6『=0,

即。=>/3，

所以/(x)=sin2x+\/3cos2x

2sinf2x+y

TT

將函數(shù)，的圖象向右平行移町個(gè)單位長度可得g。),

、

7兀1C.(c乃)

貝ijg(x)=2sin|2卜-？H——2sin2x---,

3I6J

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對(duì)稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.B

【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與父平行是尸的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若a//0,

則a內(nèi)任意一條直線都與￡平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與P平行是a//〃的必要條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

a(za,bai/3,a//b,則a//夕”此類的錯(cuò)誤.

12.B

【解析】

由4+a“+i+?！?2為定值，可得怎+3=則｛?！保且?為周期的數(shù)列，求出即求

【詳解】

對(duì)任意的〃GN+,均有4+an+i+an+2為定值，

(a，，M+%+2+%+3)一(《，++%+2)=。'

故%+3=4,，

..?｛4｝是以3為周期的數(shù)列，

故4—Clq—2,6^==4,=3,

5]go—(q+ciy+/)+???+(%;+%8+/9)+Goo=33(q++%)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E,尸的坐標(biāo)，由所=1可得（。-1）2+e-2）2=1,利用數(shù)量積運(yùn)算求得

AE-AF^2b+a＞再利用線性規(guī)劃的知識(shí)求出。=a+2Z?的最大值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：

???^(2-/?)2+(1-?)2=1.

又荏?府:=28+4，

令。=a+?,其中04a〈l,0＜匕＜2,

當(dāng)直線r=a+%經(jīng)過點(diǎn)/（0,2）時(shí)，/取得最大值f=4.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.476

【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出。的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利

用勾股定理可以求出弦長的一半，進(jìn)而求出弦長.

【詳解】

拋物線E:/=4），的準(zhǔn)線為丁=-1,焦點(diǎn)為（0,1）,把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得。=4,所以圓心的坐標(biāo)為

（-4,-2）,半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,

所以弦長=2>/F=I7=4布.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式.

15.6

【解析】

設(shè)點(diǎn)P為（玉）,%），由拋物線定義知，|陽=毛+2=5,求出點(diǎn)尸坐標(biāo)代入雙曲線方程得到。力的關(guān)系式，求出雙曲

線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【詳解】

由題意得尸（2,0）,因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線V=8x上，\FP\=5,設(shè)點(diǎn)P為（小,%），

由拋物線定義知，|川=/+2=5,解得7底,

r-Y2v2Q24

不妨取尸（3,2"），代入雙曲線0-4=1,得7T=1,

abzab

b

又因?yàn)闆?護(hù)=4,解得4=1,b=6,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

所以雙曲線的漸近線為y=±Gx,由點(diǎn)到直線的距離公式可得，

故答案為：百

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力；靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是

求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.

16.4038.

【解析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)"X)圖象與函數(shù)g(x)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，則

2

玉+々019=X2+-^2018=七+X2CM7=…=2^010=2>M+必019=%+%018=%+%。17=…=2Moi0=，即

2019

2(毛+匕)=4038,得解.

/=1

【詳解】

由g(x)=(x-l)'+l知：g(x)+g(2-x)=2

得函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

又函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

則函數(shù)/(X)圖象與函數(shù)g(x)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

則X]+X20|9=工2+X2O18=工3+X2017=…=2%|010=2

X+%019=%+^2018=%+>20”=…=2701。=2

故X]+x2+,?,+-^2018+12019=2019,%+%+―+,2018+3^2019=2019

2019

即Z(X，+X)=4038

/?=]

本題正確結(jié)果：4038

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析；(II)V6

【解析】

(I)取AC的中點(diǎn)。，連接。8,。力，由AB=BC,A￡?=CD,得8,0,。三點(diǎn)共線，且AC_L3O,又BD_LB4,

再利用線面垂直的判定定理證明.

(II)設(shè)B4=x,則PB=G+4,P￡>=6+7,在底面ABC。中，BD=3,在△夫所中，由余弦定理得：

PB2=BM'z+PM2-2-BM-PM-cos4PMB，在ADBM中，由余弦定理得

222，兩式相加求得，再過。作，剛，則

DB=BM+DM-2.BM-DM-cosADMBBM=J；.DHj_

nu

平面PLB,即點(diǎn)。到平面A43的距離，由M是夕。中點(diǎn)，得到M到平面Q4B的距離一，然后根據(jù)3M與平面

2

Q46所成的角的正弦值為速求解.

10

【詳解】

(I)取AC的中點(diǎn)。，連接08,0。，

由=AD=CD,得民O,。三點(diǎn)共線，

且又B￡>_LE4,ACoPA^A,

所以BO_1_平面PAC,

所以80_LPC.

(ID設(shè)PA=x，PB=Jf+4,PD=6+7,

在底面ABC。中，80=3,

在APBM中，由余弦定理得：PB&=BM2+PM2-2.BM-PM-cos/PMB，

在ADBM中，由余弦定理得如2=BM2+DM2_2.BM.DM-cos4DMB，

兩式相加得：DB?+PB?=2BM2+2DM2，

/+19

BM=

過。作。則￡>〃_!_平面P43,

即點(diǎn)O到平面PAB的距離DH=BD-sin60°=—

2

因?yàn)锳/是尸。中點(diǎn)，所以為“到平面Q46的距離〃'=也=土巨

24

因?yàn)锽M與平面Q46所成的角的正弦值為史，

10

解得x=V6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔

題.

18.(1)、+丁=1(2)見解析

【解析】

(1)由e=￡=也，周長2a+2c=2夜+2,解得a=啦,。=c=l即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

a2

jr

(2)通過特殊情況/的斜率不存在時(shí)，求得ZAOB=萬,再證明/的斜率存在時(shí)OA-OB^O，即可證得NAO3為定值.通過

設(shè)直線/的方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求得OAOB=X,X2+必%=+(3+m)(3+m)，

利用直線/與圓相切，即d=-7tL=-，求得m,k的關(guān)系代入,化簡即可證得OA-OB=()即可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意得e=￡=也，周長2a+2c=2拒+2,且〃一〃=/.

a2

聯(lián)立解得。=&,h=c=\,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為,+y2=i.

(2)①當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)其方程為x=X5,

3

則4~T'~，B--r，

__________JI

所以礪?礪=0=>5，礪，即N4OB=,.

②當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為1"+機(jī)，并設(shè)A(&x),8仇,必)，

y-kx+m

2=＞（2/+1卜2+4江+（2/一2）=0,

由?x2i

—+y=1

2,

2

△=8（2k2—加2+1）＞0,4km2m-2

X]+/=一

2k2+]

由直線1與圓E相切，得"=L^L=j2=3??—2/一2=0.

JfiTFN3

=XX

所以麗?麗=XjX2+XM\2+（何+〃2）（A%2+加）=（1+攵2）%工2+屆（玉+12）+川

22

20+公）（川-1）4k2*23m-2k-2n

=--------\---------------+m=-------z——=0-

1+2-1+2-T1+2公

____JI

從而礪J,麗，即NAOB=,.

綜合上述，得乙4。8=生7T為定值.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題，考查了學(xué)生計(jì)算求解能力，難度較難.

19.(1)見解析；(2)但.

3

【解析】

(1)先連接CM,根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

(2)在圖2中，過點(diǎn)。作OO_LEF,垂足為。，連接08,OC,證明平面BCFEL平面800,得到點(diǎn)。在底

面BCFE上的投影必落在直線08上，記，為點(diǎn)O在底面6CEE上的投影，連接OH,HC,得出NOCH即是直

線8與平面5CFE所成角，再由題中數(shù)據(jù)求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)連接CM,因?yàn)榈妊菪蜛3CD中(如圖1),AM=AE+￡M=2=CO,ABHCD,

所以AM與8平行且相等，即四邊形4WCD為平行四邊形；所以4)〃。0；

又尸為線段CO的中點(diǎn)，E為AM中點(diǎn)，易得：四邊形AEED也為平行四邊形，所以

將四邊形AEED沿族折起后，平行關(guān)系沒有變化，仍有：AD//CM,且AO=CM,

所以翻折后四邊形AMCD也為平行四邊形；酸AMHCD；

因?yàn)锳Mz平面8c。，CDu平面8C。，

所以40〃平面BCD；

(2)在圖2中，過點(diǎn)。作。O_LEE,垂足為。，連接OB,0C,

因?yàn)锳D=2,AE=1，翻折前梯形ABC。的高為RW=￡)E=后二產(chǎn)=百，

所以NOAE=ZD由=60，則。0=。/sin60=且，OF=DF-cos60=1；

22

3

所以O(shè)E=EF—OF=二;

2

又BE=EM+MB=3,NFEM=NDFE=60,

所以BO=J-+9-2x-x3xcos60,即50?+OE2=BE2,所以80J_OE

V422

又DOcBO=O,且DOu平面BOO,8Ou平面80。，

所以EO_L平面80。；因此，平面8CFE_L平面80。；

所以點(diǎn)。在底面3CEE上的投影必落在直線0B上；

記”為點(diǎn)。在底面BCEE上的投影，連接。”，HC,

則平面8CEE；

所以NDCH即是直線CD與平面BCEE所成角，

因?yàn)锽D=?,所以cosNBOD,。獷+*一加=j_,

2OBOD3

因此O"=Z)Osin/OO3=@2^=^,OH=DOcoaZDOB=,

233236

故BH=B()-OH=正-顯=處;

263

因?yàn)锳OFC=AEFC=ZFCB=120°,

所以NHBC=ZOBC=360-1200-120-90°=30°,

因此Ca=yjBH2+BC2-2BH-BC-cosZHBC=手，故C￡>=yjDH2+HC2=叵,

所以sinNDCH=.

CD3

即直線CD與平面BCFE所成角的正弦值為且.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于

?？碱}型.

20.(1)極大值m立-1，無極小值；(2)a<\.(3)見解析

22

【解析】

(1)先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；

(2)先求導(dǎo)，再函數(shù)"X)在區(qū)間(0,1)上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；

(3)取。=1得到sin(l—x)<ln,(0<x<l),取1=1,可得

X(2+攵)

sin-1-=sin3)<](2：?累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.

(2+左丁(2+k)2J(女+1)(左+3)

【詳解】

解：(1)當(dāng)。=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-%2=lnx-x2,%>o,貝[j

.,、1°l-2x2(1-V2x)(l+V2x)

g(x)=一-2x=------=----------------

XXX

令g(x)=o,解得工=在

2

當(dāng)0<x<立時(shí)，g(x)>0,當(dāng)x>走時(shí)，g'(x)<0

22

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(也,+8)上單調(diào)遞減

22

所以當(dāng)x=孝時(shí)，函數(shù)取得極大值，即極大值為g(￥)=—g]n2-無極小值；

(2)因?yàn)?f(x)=asin(l-x)+lnx,

1

所以f(x)=-acos(l-x)+—,

x

因?yàn)?(X)在區(qū)間(0,1)上遞增，

所以/(X)=-acos(l-x)+L20在(0,1)上恒成立,

X

所以小由二在區(qū)間（⑺上恒成立.

當(dāng)a<0時(shí)，?<——--:在區(qū)間(0,1)上恒成立，

xcos(l-x)

當(dāng)a>()時(shí)，—>xcos(l-x),

a

設(shè)t(x)=xcos(l-x),則t\x)=cos(l-x)+xsin(l-x)>0在區(qū)間(0,1)上恒成立.

所以t(x)=xcos(l-x)在(0,1)單調(diào)遞增，則0<t(x)<1,

所以,21,即0<aWl

a

綜上所述aWl.

(3)由(2)可知當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)G(x)=sin(l-x)+lnx在區(qū)間(0,1)上遞增,

所以sin(l-%)+Inx<G(l)=0,即sin(1-x)<In4(()<x<1),

x

取一%=,則

1（2+攵尸

.1(EH

sin---------r

(2+左)2-「用愣

所以

sin[+sin'+…+sin—二<,+2)-]=]n(3.^±^)<ln3=ln3-ln2所以

3242(2+Q2'2x43x5伏+1)(女+3)2k+32

〃1

Vsin—v<ln3-ln2

七（2+Q2

【點(diǎn)睛】

此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題.

21.(I)x+2y-2=0(H)%=1

【解析】

（I）根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得;

（H）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)即N=0,即可求得參數(shù)的值.

【詳解】

I%，』

（1）設(shè)Nd，%），則｛,

今+y；=L

兩式相減，可得依二斗士包+（＞「％）（*+%）=0?（*）

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（I,；）,所以玉+々=2,X+%=L

代入（*）式，得區(qū)誓2+（%一％）=0?

,y,-y21

所以直線/的斜率左=2^2=一彳.

%,-x22

所以直線/的方程為y—g=—g(x—l),即x+2y-2=0.

x=my+4,

(II)設(shè)直線/：x=g，+4(mwO),聯(lián)立

——+y=1.

14?

整理得(〃/+4)/+8陽+12=0.

所以A=64>—4xl2x(加2+4)>0,解得>>12.

bi?8m12

所以X+%=一一^1^2=——?

加+4m+4

s-p,z.+k_MI%x(%2—%)+%&一%)

所以KpM十KpN一一十一-777\

%—X。％2-*0(王一工0)(々一X。)

%乂+%%一(乂+%)%=(陽2+4)y+(，孫+4)%一(弘+必)%

2mMy2+(4—%)(弘+%)=0

(x1-x0)(x2-x0)

所以2毆為+（4-/）（乂+%）=。?

所以2町外+（47。心+%）=2加.品+（玉/4）.含二筆”=。.

因?yàn)橄唷?,所以%=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查中點(diǎn)弦問題的點(diǎn)差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題.

22.（1）a=x0=l；（2）|.

I2e」

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)等于！求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入兩個(gè)曲線的方程，解方程組，可求得。=%=1；

e

（1X--,0<x<x0

⑵設(shè)與x-L交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.%,利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）=min〃尤）/-曰=｛：，從而

12

x------ex,0<x<x0

/?(X)=g(x)_C》2={\，然后利用〃'(x)2()求得